İntegral Konusuna Giriş

İntegral, matematiğin en temel ve kullanışlı konularından biridir. Fizik, ekonomi, mühendislik gibi birçok alanda karşımıza çıkar. Bu ünitede integral tanımı, özellikleri ve uygulamaları üzerinde duracağız.

İntegral temel olarak üç başlık altında incelenir:

• Belirsiz İntegral: Bir fonksiyonun türevinin tersi olarak düşünülebilir.
• Belirli İntegral: Belirli sınırlar arasındaki integral değerini verir.
• İntegralde Alan Hesabı: Fonksiyon grafikleri altında kalan alanları hesaplamak için kullanılır.

Hatırlatma: İntegral ile türev arasında sıkı bir ilişki vardır. Türevin tersi işlemi olarak integral, eğrilerin altında kalan alanların hesaplanmasından karmaşık fiziksel problemlerin çözümüne kadar birçok alanda kullanılır.

İntegral Hesabının Temel Teoremi

İntegral hesabının temel teoremi, türev ve integral arasındaki ilişkiyi açıklar. Eğer f fonksiyonunun bir F antitürevi varsa, yani F'(x) = f(x) ise, bu durumda:

∫f(x)dx = F(x) + c şeklinde gösterilir. Burada c, integral sabitidir.

Belirsiz İntegral

Belirsiz integral, bir fonksiyonun antitürevini bulmaktır. F'(x) = f(x) olacak şekilde bir F fonksiyonuna f'nin antitürevi denir.

∫f(x)dx = F(x) + c formunda gösterilir.

Belirsiz İntegralin Özellikleri

1. ∫$f(x) + g(x)$dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
2. ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (k ∈ R)
3. d/dx(∫f(x)dx) = f(x)
4. ∫f'(x)dx = f(x) + c
5. ∫aⁿdx = aⁿ⁺¹/$n+1$ + c, n≠-1
6. ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/$n+1$ + c, n≠-1

Değişken Değiştirme Yöntemi

İntegrali alınacak ifadedeki çarpanlar birbirinin türevi oluyorsa, çarpanlardan birine u diyelim. u'nun diferansiyelini alarak integrali daha kolay çözülebilir duruma getiririz.

Önemli: İntegralde u-dönüşümü yaparken, dx yerine du yazarak dönüşümü tamamlamalısınız. Bu, zor integralleri çözmek için en temel yöntemlerden biridir.

Belirli İntegral ve Alan Hesabı

Belirli İntegral, $a, b$ aralığında tanımlı f fonksiyonu için:

∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a) şeklinde hesaplanır.

Bir Aralığın Bölüntüsü

$a, b$ aralığı n eşit parçaya bölündüğünde, P = {x₀, x₁, x₂, ..., xₙ} kümesine "düzgün bölüntü" denir. Her bir aralığın uzunluğu $b-a$/n'dir.

Riemann Toplamları

Bir fonksiyonun belirli integrali, aslında fonksiyonun grafiği ile x ekseni arasında kalan alanın ölçüsüdür. Bu alan, Riemann toplamları ile yaklaşık olarak hesaplanabilir.

• Riemann Alt Toplamı: Fonksiyonun her alt aralıktaki minimum değerini kullanarak oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı.
• Riemann Üst Toplamı: Fonksiyonun her alt aralıktaki maksimum değerini kullanarak oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı.

n sonsuza giderken, alt ve üst toplamlar birbirine yaklaşır ve belirli integralin değerini verir.

Belirli İntegralin Özellikleri

1. ∫ₐᵇ f(x)dx = -∫ᵇₐ f(x)dx
2. ∫ₐᵃ f(x)dx = 0
3. ∫ₐᵇ f(x)dx = ∫ₐᶜ f(x)dx + ∫ᶜᵇ f(x)dx
4. ∫ₐᵇ $f(x) ± g(x)$dx = ∫ₐᵇ f(x)dx ± ∫ₐᵇ g(x)dx
5. ∫ₐᵇ k·f(x)dx = k·∫ₐᵇ f(x)dx (k ∈ R)

Alan Hesabı İpucu: Bir fonksiyon grafiği ile x ekseni arasındaki alanı hesaplarken, fonksiyonun negatif olduğu bölgelerdeki alanlar negatif değer verir. Mutlak alan hesabı için |f(x)| kullanmalısınız.

İntegralde Alan Hesabı

İntegral yardımıyla alan hesabı yaparken, fonksiyonun grafiği ile x ekseni arasında kalan alanı hesaplamak için belirli integral kullanırız.

Fonksiyon ve X-Ekseni Arasındaki Alan

Eğer f(x) fonksiyonu $a, b$ aralığında sürekli ve f(x) ≥ 0 ise, grafiği ile x ekseni arasında kalan alan:

A = ∫ₐᵇ f(x)dx

Eğer f(x) fonksiyonunun işareti değişiyorsa, alanı doğru hesaplamak için mutlak değer kullanmalıyız:

A = ∫ₐᵇ |f(x)|dx

İki Eğri Arasındaki Alan

Eğer f(x) ve g(x) fonksiyonları $a, b$ aralığında sürekli ve f(x) ≥ g(x) ise, iki eğri arasındaki alan:

A = ∫ₐᵇ $f(x) - g(x)$dx

Tek ve Çift Fonksiyonlarda Alan

Eğer f(x) tek bir fonksiyon ise $f(-x) = -f(x)$:

• ∫₍₋ₐ₎ᵃ f(x)dx = 0
• ∫₀ᵃ f(x)dx = -∫₍₋ₐ₎⁰ f(x)dx

Eğer f(x) çift bir fonksiyon ise $f(-x) = f(x)$:

• ∫₍₋ₐ₎ᵃ f(x)dx = 2∫₀ᵃ f(x)dx
• ∫₍₋ₐ₎⁰ f(x)dx = ∫₀ᵃ f(x)dx

Pratik İpucu: Bir parabolün simetri ekseninden geçen doğru ile parabolün sınırladığı alanı hesaplarken, S = 2·h·b/3 formülünü kullanabilirsiniz (h: yükseklik, b: taban).

Belirsiz İntegral Örnekleri

Belirsiz integral problemlerinde, bir fonksiyonun antitürevini bulmak amaçlanır. İşte bazı temel integral örnekleri:

Örnek 1: Basit İntegral

∫3dx = 3x + c

Örnek 2: Polinom İntegrali

∫$x²-x$dx = $x³/3$ - $x²/2$ + c

Örnek 3: Üs Fonksiyonu İntegrali

∫4x³dx = 4·$x⁴/4$ + c = x⁴ + c

Örnek 4: Değişken Değiştirme

∫$2x+1$dx, u = 2x+1 için: du = 2dx, dx = du/2 ∫$2x+1$dx = ∫u·$du/2$ = (1/2)∫udu = (1/2)·$u²/2$ + c = $u²/4$ + c = $(2x+1)²/4$ + c

Örnek 5: Bileşik Fonksiyon İntegrali

∫$3x²+4x-1$dx = 3·$x³/3$ + 4·$x²/2$ - x + c = x³ + 2x² - x + c

Problem Çözme Stratejisi: İntegral alırken, fonksiyonu parçalara ayırıp her parçanın integralini ayrı ayrı hesaplamak işinizi kolaylaştırır. Özellikle polinom integrallerde bu yöntem çok işe yarar.

Belirli İntegral Örnekleri

Belirli integral, belirsiz integralin belirli sınırlar arasındaki değerini hesaplamak için kullanılır. Aşağıda bazı belirli integral örnekleri verilmiştir:

Örnek 1: Temel Belirli İntegral

∫₁² 3dx = 3x |₁² = 3·2 - 3·1 = 6 - 3 = 3

Örnek 2: Polinom İntegrali

∫₁³ 4x dx = 4·$x²/2$ |₁³ = 4·(3²/2 - 1²/2) = 4·(9/2 - 1/2) = 4·4 = 16

Örnek 3: Tek/Çift Fonksiyon İntegrali

f(x) tek fonksiyon ise, ∫₍₋ₐ₎ᵃ f(x)dx = 0 f(x) çift fonksiyon ise, ∫₍₋ₐ₎ᵃ f(x)dx = 2∫₀ᵃ f(x)dx

Örnek 4: |x-1| İntegrali

∫₀³ |x-1|dx = ∫₀¹ $1-x$dx + ∫₁³ $x-1$dx = $(x - x²/2)$₀¹ + $(x²/2 - x)$₁³ = (1 - 1/2) - (0 - 0) + (9/2 - 3) - (1/2 - 1) = 1/2 + 9/2 - 3 + 1/2 = 4

Dikkat Edilmesi Gereken Nokta: Mutlak değer içeren integrallerde, mutlak değerin sıfıra eşit olduğu noktalar kritik noktalardır ve integrali bu noktalara göre parçalara ayırmalısınız.

İntegralde Alan Hesabı Örnekleri

İntegral yardımıyla alan hesabı yaparken kullanılan farklı durumlar için çeşitli örnekler inceleyelim.

Örnek 1: Pozitif Fonksiyonun Alanı

y = x² fonksiyonunun x = 0 ile x = 3 arasında kalan alanı bulalım: A = ∫₀³ x²dx = $x³/3$₀³ = 3³/3 - 0³/3 = 9 birimkare

Örnek 2: İşaret Değiştiren Fonksiyonun Alanı

y = x³ fonksiyonunun x = -2 ile x = 2 arasındaki alanını bulalım: ∫₍₋₂₎² x³dx = $x⁴/4$₍₋₂₎² = 2⁴/4 - (-2)⁴/4 = 4 - 4 = 0

Burada sonuç sıfır çıksa da, gerçek alan sıfır değildir çünkü fonksiyon işaret değiştirir. Doğru yaklaşım: A = ∫₍₋₂₎⁰ |x³|dx + ∫₀² |x³|dx = ∫₍₋₂₎⁰ $-x³$dx + ∫₀² x³dx = 4 + 4 = 8 birimkare

Örnek 3: İki Eğri Arasındaki Alan

y = 2x ve y = x² eğrileri arasında kalan alanı bulalım. Önce kesim noktalarını buluruz: 2x = x² ⟹ x$2-x$ = 0 ⟹ x = 0 veya x = 2

Alan: A = ∫₀² $2x - x²$dx = $x² - x³/3$₀² = (4 - 8/3) - 0 = 4 - 8/3 = 4/3 birimkare

Önemli İpucu: İki eğri arasındaki alanı hesaplarken, önce eğrilerin kesim noktalarını bulun, sonra üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyonu çıkararak integrali alın.

İntegral Uygulamaları: Fiziksel Problemler

İntegral, fiziksel problemleri çözmek için güçlü bir araçtır. Özellikle hız, yol ve ivme arasındaki ilişkiler integral ile modellenebilir.

Hız ve Yol İlişkisi

Bir cismin t anındaki hızı V(t) ise, t₁ ve t₂ anları arasında aldığı yol:

x(t₂) - x(t₁) = ∫ₜ₁ᵗ² V(t)dt

İvme ve Hız İlişkisi

Bir cismin t anındaki ivmesi a(t) ise, t₁ ve t₂ anları arasındaki hız değişimi:

V(t₂) - V(t₁) = ∫ₜ₁ᵗ² a(t)dt

Örnek Problem

Yukarıdan aşağıya V₀ = 30 m/sn hızla atılan bir cisim 5 saniyede yere düşüyor. Cismin atıldığı yükseklik kaçtır?

Çözüm:

• Hız denklemi: V(t) = V₀ + gt $g = 10 m/sn²$
• Yol denklemi: x(t) = V₀t + (g·t²)/2 + c
• Başlangıç koşulu: x(0) = 0 → c = -h (h: yükseklik)
• Son koşul: x(5) = 0
• 0 = 30·5 + (10·5²)/2 - h
• h = 150 + 125 = 275 metre

Fizik Problemi Çözme İpucu: Hareket problemlerinde, genellikle konum fonksiyonu x(t), hız fonksiyonu v(t)'nin integrali, hız fonksiyonu da ivme fonksiyonu a(t)'nin integralidir. Sınır koşullarını doğru belirleyerek integral sabitlerini bulabilirsiniz.

Riemann Toplamları ve Yaklaşık Alan Hesabı

Riemann toplamları, bir fonksiyonun grafiği altında kalan alanı yaklaşık olarak hesaplamak için kullanılır.

Düzgün Bölüntü

$a, b$ aralığını n eşit parçaya böldüğümüzde, her bir alt aralığın uzunluğu Δx = $b-a$/n'dir. Bu bölünmüş aralıklara "düzgün bölüntü" denir.

Riemann Alt Toplamı ve Üst Toplamı

• Alt Toplam: Her bir alt aralıkta fonksiyonun minimum değerini kullanarak oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı.
• Üst Toplam: Her bir alt aralıkta fonksiyonun maksimum değerini kullanarak oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı.

Örnek: f(x) = 9-x² fonksiyonu için Riemann Toplamları

$0, 3$ aralığını 3 eşit parçaya bölelim:

• Alt aralıklar: $0, 1$, $1, 2$, $2, 3$
• Δx = 1

Riemann Alt Toplamı: S₍ₐₗₜ₎ = f(1)·Δx + f(2)·Δx + f(3)·Δx = 8·1 + 5·1 + 0·1 = 13

Riemann Üst Toplamı: S₍üₛₜ₎ = f(0)·Δx + f(1)·Δx + f(2)·Δx = 9·1 + 8·1 + 5·1 = 22

Temel İlke: n sonsuza giderken, alt toplam ve üst toplam belirli integrale yakınsar: lim₍ₙ→∞₎ S₍ₐₗₜ₎ = lim₍ₙ→∞₎ S₍üₛₜ₎ = ∫ₐᵇ f(x)dx