Fonksiyonların Temel Yapısı

Fonksiyon, bir A kümesinden B kümesine yapılan özel bir eşleştirmedir. Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki temel şart vardır: tanım kümesinde hiçbir eleman dışarıda kalmamalı ve tanım kümesindeki her eleman değer kümesindeki yalnızca bir eleman ile eşleşmelidir.

Fonksiyonlar farklı şekillerde gösterilebilir. Şematik gösterim ile kümelerin elemanları arasındaki ilişkiyi oklar ile, cebirsel gösterim ile f(x) = x+5 gibi formüllerle ve grafik gösterim ile koordinat düzleminde çizgilerle ifade edebiliriz.

Fonksiyonlarda önemli kavramlardan biri de görüntü kümesidir. Görüntü kümesi, tanım kümesindeki elemanların fonksiyon aracılığıyla eşleştiği elemanların oluşturduğu kümedir. Bu küme her zaman değer kümesine eşit olmak zorunda değildir, değer kümesinin bir alt kümesi olabilir.

Dikkat! Fonksiyon tanımlarken tanım ve değer kümelerini belirtmek önemlidir. Örneğin, f: R→R, f: $1,5$→R veya f: (-1,5]→$0,5$ gibi gösterimlerde fonksiyonun hangi kümeden hangi kümeye tanımlandığı açıkça ifade edilir.

Fonksiyon Sayısı ve Değer Bulma

A kümesinden B kümesine kaç farklı fonksiyon yazılabileceğini hesaplamak çok kolaydır. Eğer A kümesinde n eleman, B kümesinde m eleman varsa, yazılabilecek farklı fonksiyon sayısı m^n olur. Örneğin, 3 elemanlı bir A kümesinden 4 elemanlı bir B kümesine 4^3 = 64 farklı fonksiyon yazılabilir.

Bire-bir fonksiyonlarda ise işlem biraz farklıdır. A kümesinden B kümesine yazılabilecek bire-bir fonksiyon sayısını hesaplarken, ilk eleman için B kümesinin m elemanından birini, ikinci eleman için $m-1$ elemanından birini seçeriz. Böylece m×$m-1$×...×$m-n+1$ formülünü kullanırız.

Fonksiyonda değer bulma işlemlerinde bazen fonksiyonun formülünü bildiğimiz halde f$x²+1$ gibi karmaşık ifadelerin değerini bulmamız gerekebilir. Bu durumlarda genellikle verilen eşitlikten fonksiyonun kuralını çıkarıp, istenilen değeri buluruz.

İpucu: Bir fonksiyonu anlamak için "içine girene ne yapıyor?" diye düşünün. Örneğin f(x) = 3x-7 fonksiyonu, içine gireni 3 ile çarpıp 7 çıkarıyor demektir. Bu mantıkla karmaşık fonksiyon ifadelerini çözebilirsiniz.

Fonksiyon Tanımlama ve İlişkileri

Bazı sorularda fonksiyon ile ilgili özel bir kural verilir ve bu kuralı kullanarak fonksiyonu tanımlamamız istenir. Örneğin f$x+1$-f(x) = x gibi bir kural verildiğinde, bunu çözerek f(x) fonksiyonunu bulabiliriz.

Bu tür problemleri çözerken genellikle f(x) = mx+n gibi doğrusal bir fonksiyon varsayarak başlarız. Verilen kurala bu fonksiyonu yerleştirdiğimizde m ve n değerlerini bulabilir ve fonksiyonun tam halini yazabiliriz.

Bazı durumlarda ise f(20)-f(1)=? gibi sorular ile karşılaşabiliriz. Burada fonksiyonun genel bir kuralı varsa, bu kural üzerinden ilerleyerek veya aradaki farkları toplayarak sonuca ulaşabiliriz. Örneğin f$x+1$-f(x)=x kuralında, f(20)-f(1) değerini bulurken araya giren tüm farkları (1+2+3+...+19) toplayabiliriz.

Kolay Yöntem: f$x+1$-f(x)=x gibi ardışık terimler arasında ilişki veren durumlarda, toplam formüllerini kullanmak işinizi çok kolaylaştırır. Örneğin 1+2+3+...+n = n$n+1$/2 formülünü kullanarak hızlıca sonuca ulaşabilirsiniz.

Türev Soruları ve İfade Dönüşümleri

Fonksiyonlarda karşılaştığımız bir diğer soru tipi, bir fonksiyonu başka bir fonksiyon türünden ifade etmektir. Örneğin f$2x-1$'in f$x+1$ türünden değerini bulma sorularıdır.

Bu tür soruları çözerken iki yol izleyebiliriz. Birinci yolda, fonksiyonun kuralı biliniyorsa her iki tarafı da bu kurala göre hesaplayıp eşitlik kurarız. İkinci yolda ise 2x-1 = x+1 denklemini çözerek x değerini bulur ve bunu fonksiyonda yerine koyarız.

Örneğin, f(x) = 2x+1 fonksiyonu için f$2x-1$'in f$x+1$ türünden değerini bulmak istediğimizde, f$2x-1$ = 4x-1 ve f$x+1$ = 2x+3 olduğundan, f$2x-1$ = 2$f(x+1)$-7 şeklinde ifade edebiliriz.

Pratik Yöntem: f$2x-1$'in f$x+1$ türünden değerini bulmak için f(5)'in f(3) türünden değerini hesaplayıp genel kuralı çıkarabilirsiniz. Bu şekilde spesifik bir örnekle çalışmak formülü bulmanızı kolaylaştırır.

Fonksiyon Çeşitleri - I

Matematikte çeşitli fonksiyon türleri vardır. Birim fonksiyon, girdisi ve çıktısı aynı olan fonksiyondur $f(x) = x$. Sabit fonksiyon ise her x değeri için aynı değeri veren fonksiyondur $f(x) = c$.

Doğrusal fonksiyon $y = mx+n$, değişim miktarı sabit olan fonksiyondur. Burada m eğimi (değişim miktarını), n ise y-eksenini kestiği noktayı gösterir. Bu fonksiyonların grafiği daima bir doğrudur.

Doğrusal fonksiyonlarla ilgili problemlerde, genellikle iki nokta verilir ve bu noktaları kullanarak fonksiyonun kuralını bulmanız istenir. İki noktadan geçen doğrunun denklemi bulunarak fonksiyon elde edilir.

Önemli İpucu: Aritmetik diziler ile doğrusal fonksiyonlar arasında yakın bir ilişki vardır. Terimler toplamını hesaplarken "Terim Sayısı × Ortanca Terim" formülünü kullanabilirsiniz veya $Son Terim + İlk Terim$ × Terim Sayısı ÷ 2 şeklinde hesaplayabilirsiniz.

Fonksiyon Çeşitleri - II

Örten fonksiyon, değer kümesindeki tüm elemanların görüntü kümesinde yer aldığı fonksiyondur. Yani değer kümesinde hiçbir eleman kullanılmadan kalmaz. İçine fonksiyon ise değer kümesinin tamamının kullanılmadığı fonksiyonlardır.

Bire-bir fonksiyon ise tanım kümesindeki farklı elemanların değer kümesinde de farklı elemanlara eşlendiği fonksiyondur. Buna "kardeş çocuk olmayacak" kuralı da denir. Bir fonksiyonun bire-bir olması için, grafiğinin herhangi bir yatay doğru ile en fazla bir noktada kesişmesi gerekir.

Bir fonksiyonun örten olabilmesi için S(Tanım Kümesi) ≥ S(Değer Kümesi) olmalıdır. Bire-bir olabilmesi için ise S(Tanım Kümesi) ≤ S(Değer Kümesi) şartı sağlanmalıdır. Bir fonksiyonun hem bire-bir hem de örten olabilmesi için S(Tanım Kümesi) = S(Değer Kümesi) olması gerekir.

Grafik Yorumu: Bir fonksiyonun grafiğini çizdiğinizde, grafiğin herhangi bir dikey doğru ile en fazla bir noktada kesişmesi o fonksiyonun fonksiyon olduğunu gösterir. Herhangi bir yatay doğru ile en fazla bir noktada kesişmesi ise o fonksiyonun bire-bir olduğunu gösterir.

Tek ve Çift Fonksiyonlar

Tek fonksiyon, f$-x$ = -f(x) eşitliğini sağlayan fonksiyondur. Bu fonksiyonların grafiği orijine göre simetriktir. Örneğin f(x) = x³ bir tek fonksiyondur.

Çift fonksiyon ise f$-x$ = f(x) eşitliğini sağlayan fonksiyondur. Bu fonksiyonların grafiği y-eksenine göre simetriktir. Örneğin f(x) = x² bir çift fonksiyondur.

Bir fonksiyon hem tek hem çift olamaz $f(x) = 0 sabit fonksiyonu hariç$. Ayrıca bir fonksiyon ne tek ne de çift olabilir. Örneğin f(x) = x² + x ne tek ne de çift fonksiyondur.

Tek ve çift fonksiyonların çarpımı ve toplamı ile ilgili bazı özellikler vardır. Tek × Tek = Çift, Çift × Çift = Çift, Tek × Çift = Tek, Tek + Tek = Tek, Çift + Çift = Çift olurken, Tek + Çift ne tek ne de çift olur.

Hatırlatma: Bir fonksiyonun tek olması için tanım kümesinin -x değerlerini de içermesi gerekir. Bu yüzden f: $2,7$ → R şeklinde tanımlanan fonksiyonlar tek veya çift fonksiyon olamaz. Fonksiyonun tek veya çift olabilmesi için tanım kümesinin simetrik olması gerekir.