AYT Matematik El Yazısı Ders Notları

AYT Matematik dersine hazırlık için tasarlanmış bu kapsamlı ders notları, derece öğrencileri tarafından özenle hazırlanmıştır.

Notlar, ÖSYM sınav formatına %100 uygun olarak tasarlanmış ve uzman hocalar tarafından onaylanmıştır. Bu sayede sınava en doğru şekilde hazırlanabileceksin.

İpucu: Bu notları düzenli tekrar ederek ve çözümlü sorularla destekleyerek sınava hazırlık sürecini daha verimli hale getirebilirsin!

Fonksiyon Kavramı ve İşlemler

Fonksiyon, A kümesinin her elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanıyla eşleyen bir kuraldır. Bunu $f: A \to B$ şeklinde gösterebiliriz. A kümesi tanım kümesi, B kümesi ise değer kümesi olarak adlandırılır.

Fonksiyonda $y = f(x)$ ifadesinde y, x'in görüntüsü; f(x) fonksiyonun kuralı ve x ise bağımsız değişkendir. A kümesinin tüm elemanlarının görüntülerinin oluşturduğu kümeye görüntü kümesi denir ve $f(A)$ şeklinde gösterilir.

Bir grafiğin fonksiyon grafiği olup olmadığını anlamak için dikey çizgi testi yapılır. Eğer dikey çizgi grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, bu bir fonksiyon grafiği değildir!

Fonksiyonlarda özel işlemler:

1. $f(x·y) = f(x)+f(y)$ ve $f(\frac{x}{y}) = f(x)-f(y)$ → logaritmik fonksiyonlar: $f(x) = \log_a x$
2. $f(x+y) = f(x)·f(y)$ ve $f(x-y) = \frac{f(x)}{f(y)}$ → üstel fonksiyonlar: $f(x) = a^x$
3. $f(x+y) = f(x)+f(y)$ → doğrusal fonksiyonlar: $f(x) = mx$

Unutma: Bir grafiğin fonksiyon olması için tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde tam olarak bir elemanla eşleşmelidir!

Fonksiyon Türleri

Birebir Fonksiyon: Tanım kümesindeki farklı elemanlar görüntü kümesinde de farklı elemanlarla eşleşir. Yani $f(x_1) = f(x_2)$ ise $x_1 = x_2$ olmalıdır.

Örten Fonksiyon: Değer kümesindeki her eleman, tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsüdür. Bu durumda $f(A) = B$ olur ve grafiğe çizilen her dikey doğru grafiği kesmelidir.

İçine Fonksiyon: Değer kümesinde görüntüsü olmayan elemanlar vardır. Yani $f(A) \neq B$ olur $(f(A) \subset B)$.

Eşit Fonksiyon: İki fonksiyon, tanım kümesindeki her eleman için aynı değeri alıyorsa eşittir. $f = g \iff \forall x \in A$, $f(x) = g(x)$ olur.

Sabit Fonksiyon: Görüntü kümesi tek elemanlıdır. Grafiği x eksenine paralel bir doğrudur.

Birim Fonksiyon: Her elemanı kendisiyle eşleştiren fonksiyondur. $f(x) = x$ olarak yazılır.

Doğrusal Fonksiyon: $f(x) = ax + b$ biçimindeki fonksiyonlardır.

Dikkat: Belli bir noktadan geçen ve eğimi bilinen doğrunun denklemi $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülüyle bulunur. Bu formülü doğrusal fonksiyonları çözerken kullanabilirsin.

Fonksiyon Sayıları ve Bileşke İşlemler

Tanım kümesinin eleman sayısı a ve değer kümesinin eleman sayısı b olan kümeler için:

• A'dan B'ye tanımlanabilecek fonksiyonların sayısı: $b^a$
• A'dan B'ye tanımlanabilecek birebir fonksiyonların sayısı: $\frac{b!}{(b-a)!}$ (a≤b olmalı)
• A'dan B'ye tanımlanabilecek sabit fonksiyonların sayısı: b

A'dan kendisine (A→A) ve s(A)=a olmak üzere:

• Birebir ve örten fonksiyon sayısı: a!
• İçine fonksiyon sayısı: $a^a - a!$

Bileşke İşlemler: f: A→B ve g: B→C fonksiyonları verildiğinde, A'dan C'ye oluşturulan fonksiyona "g bileşke f" denir ve (gof)(x) = g(f(x)) şeklinde gösterilir.

Bileşke işlemlerin özellikleri:

• Değişme özelliği yoktur: (fog)(x) ≠ (gof)(x)
• Birleşme özelliği vardır: fogoh = (fog)oh = fo(goh)
• Birim fonksiyon I ile: (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)

Ters Fonksiyon: Bir fonksiyonun tersi olabilmesi için fonksiyonun birebir ve örten olması gerekir. Ters fonksiyon f⁻¹ ile gösterilir ve f(x)=y ise f⁻¹(y)=x'tir.

Önemli Uyarı: Bileşke işlemlerde sağdan sola doğru işlem yapılır! (gof)(x) işleminde önce f(x), sonra g fonksiyonu uygulanır.

Ters Fonksiyonlar ve Özel Tanımlı Fonksiyonlar

Ters Fonksiyon Özellikleri:

• (f⁻¹of)(x) = (fof⁻¹)(x) = x
• (fog)(x) = x ise f(x) = g⁻¹(x) veya f⁻¹(x) = g(x)
• f(x) ile f⁻¹(x) grafikleri y=x doğrusuna göre simetriktir
• Birim fonksiyonun tersi kendisidir
• Sabit fonksiyonun tersi yoktur

Bazı özel ters fonksiyonlar:

• f(x) = $ax+b$/c ise f⁻¹(x) = $cx-b$/a
• f(x) = a-x ise f⁻¹(x) = a-x
• f(x) = a/x ise f⁻¹(x) = a/x

Parçalı Fonksiyon: Farklı tanım aralıklarında farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlardır.

$f(x) = \begin{cases} m(x), & x \in A \text{ ise} \ n(x), & x \in B \text{ ise} \end{cases}$

Parçalı fonksiyonlarda hesaplama yaparken, x değerinin hangi aralıkta olduğunu kontrol edip o aralığa ait kuralı kullanırız.

Mutlak Değerli Fonksiyon:

$|f(x)| = \begin{cases} f(x), & f(x) \ge 0 \ -f(x), & f(x) < 0 \end{cases}$

İpucu: Mutlak değerli fonksiyonlarda önce içerideki ifadenin işaretini kontrol et! Mutlak değerin içini sıfır yapan nokta "kritik nokta" olarak adlandırılır ve parçalı fonksiyonu oluştururken bu noktalar kullanılır.

Fonksiyonların Dönüşümü

y = f(x) + a fonksiyonu:

• a > 0 ise grafik yukarı doğru a birim kaydırılır
• a < 0 ise grafik aşağı doğru |a| birim kaydırılır

y = f$x + a$ fonksiyonu:

• a > 0 ise grafik sola doğru a birim kaydırılır
• a < 0 ise grafik sağa doğru |a| birim kaydırılır

Bu dönüşümleri şöyle hatırlayabiliriz:

• y değerini değiştiren dönüşümler $y = f(x) + a$ grafiği dikey yönde kaydırır
• x değerini değiştiren dönüşümler $y = f(x + a)$ grafiği yatay yönde kaydırır

Aşağıdaki grafiklerde bu dönüşümleri görebilirsiniz:

y = f(x)+3     y = f(x+3)
     ↑             ↑
y = f(x)  →    y = f(x)  →
     ↓             ↓
y = f(x)-3     y = f(x-3)

Hatırlatma: Dönüşümleri ezberlemek yerine, fonksiyonun hareketini grafikle birlikte düşünmeye çalış. Örneğin, f$x+3$ fonksiyonu hesaplarken x yerine $x+3$ yazdığımızdan, aynı y değerini elde etmek için x değerini 3 birim azaltmamız gerekir, bu da grafiği sola kaydırır!

Fonksiyon Dönüşümleri ve Özellikleri

y = a·f(x) fonksiyonu: x değerleri değişmez, y değerleri a katına çıkar. Grafik y ekseninde a kat genişler (a>1) veya daralır (0<a<1).

y = f(a·x) fonksiyonu: y değerleri değişmez, x değerleri 1/a katına iner. Grafik x ekseninde daralır (a>1) veya genişler (0<a<1).

y = -f(x) fonksiyonu: f(x) fonksiyonunun x eksenine göre simetriği alınır.

y = f$-x$ fonksiyonu: f(x) fonksiyonunun y eksenine göre simetriği alınır.

Tek ve Çift Fonksiyonlar:

• Eğer f$-x$ = f(x) ise f(x) çift fonksiyondur ve grafiği y eksenine göre simetriktir. $Örnek: y = x²$
• Eğer f$-x$ = -f(x) ise f(x) tek fonksiyondur ve grafiği orijine göre simetriktir. $Örnek: y = x³$

Bir fonksiyon mutlaka tek veya çift olmak zorunda değildir. Örneğin: f(x) = x³ + x²

Grafik ve Tablo Verilerini Kullanma:

• x eksenini kestiği noktaları bulmak için y = 0 eşitliğini çözmeliyiz
• y eksenini kestiği noktayı bulmak için x = 0 değerini fonksiyonda yerine koyarız

Önemli Not: Çift fonksiyonlarda sadece çift dereceli terimler, tek fonksiyonlarda ise sadece tek dereceli terimler bulunur. Bu özellik, bir fonksiyonun tek mi çift mi olduğunu hızlıca belirlememize yardımcı olur!

Fonksiyonların Grafik Özellikleri

Fonksiyonların grafiklerini çözerken önce x ve y eksenlerini kesen noktaları belirlememiz gerekir.

Örnek: f(x) = 3x² + 4x + 1 fonksiyonunun x ve y eksenlerini kestiği noktalar:

• y eksenini kestiği noktayı bulmak için x = 0 yazarız: f(0) = 1, yani (0, 1) noktasıdır.
• x eksenini kestiği noktaları bulmak için f(x) = 0 eşitliğinden: 3x² + 4x + 1 = 0 → çarpanlara ayırırsak: $3x+1$$x+1$ = 0 x = -1/3 veya x = -1, yani (-1/3, 0) ve (-1, 0) noktalarıdır.

Fonksiyonun Artan ve Azalan Aralıkları:

• $a,b$ aralığında $x_1 < x_2$ için $f(x_1) < f(x_2)$ ise f fonksiyonu bu aralıkta artandır.
• $a,b$ aralığında $x_1 < x_2$ için $f(x_1) > f(x_2)$ ise f fonksiyonu bu aralıkta azalandır.
• $a,b$ aralığında $x_1 < x_2$ için $f(x_1) = f(x_2)$ ise f fonksiyonu bu aralıkta sabittir.

Artan ve azalan fonksiyonlar ayrıca hızlanarak/yavaşlayarak artan veya hızlanarak/yavaşlayarak azalan olarak da incelenebilir.

Pratik Bilgi: Bir fonksiyonun grafiğinin tepe veya dip noktalarında fonksiyon artandan azalana veya azalandan artana geçiş yapar. Bu noktaları belirlemek, fonksiyonun artan/azalan aralıklarını bulmamıza yardımcı olur.

Fonksiyonların İşaret ve Ekstremum Değerleri

Fonksiyonun İşareti:

• Fonksiyon grafiği x ekseninin üstünde ise f(x) > 0 (pozitif)
• Fonksiyon grafiği x ekseninin altında ise f(x) < 0 (negatif)
• Fonksiyon grafiği x ekseninin üzerinde ise f(x) = 0

Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Noktaları: Fonksiyonun grafiğinde:

• En yüksek nokta maksimum değer
• En düşük nokta minimum değer
• Bazı fonksiyonlarda maksimum veya minimum değer olmayabilir $örneğin sürekli artan/azalan fonksiyonlarda$

Ortalama Değişim Hızı: Bir fonksiyonun $x₁, x₂$ aralığındaki ortalama değişim hızı:

$$\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{f$x_2$ - f$x_1$}{x_2 - x_1}$$

Doğrusal fonksiyonlarda $f(x) = ax + b$ ortalama değişim hızı her aralıkta aynıdır ve doğrunun eğimine (a) eşittir.

Sınav İpucu: Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları, türevi sıfır olan noktalarda olabilir. Ancak AYT düzeyinde, bu değerleri grafikten okuyabilmek de önemlidir. Maksimum ve minimum noktaları iyi belirlemek, fonksiyonun davranışını anlamak için kritik öneme sahiptir!

Polinomlar

Polinom Kavramı: n bir doğal sayı ve $a_n, a_{n-1},...,a_1,a_0$ gerçek sayılar olmak üzere

$$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +....+a_2x^2 + a_1x + a_0$$

şeklinde yazılan ifadelere n. dereceden polinom denir.

Bir ifadenin polinom olabilmesi için x'in üssü şu özellikleri taşımalıdır:

• Negatif olamaz
• Kesir olamaz
• Köklü sayı olamaz
• Sadece doğal sayı olabilir

Polinomda:

• $a_n, a_{n-1},...,a_1,a_0$ sayılarına katsayılar denir
• Her bir $a_ix^i$ ifadesine terim denir
• $a_0$ terimine sabit terim denir
• En yüksek dereceli terimin üssüne polinomun derecesi denir
• $a_n$ sayısına baş katsayı denir

Sabit Polinom: Sadece sabit terimden oluşan polinomdur (derecesi sıfırdır).

Sıfır Polinom: Tüm katsayıları sıfır olan polinomdur (derecesi belirsizdir).

Önemli: Polinom sorularında, özellikle kök bulma ve çarpanlara ayırma işlemlerinde başarılı olmak için, ikinci dereceden denklemleri çarpanlarına ayırmayı ve kök-katsayı ilişkilerini iyi bilmelisin!