Matematik Konu Anlatımı – Çarpanlar ve Katlar 8. Sınıf

Pozitif Tam Sayıların Çarpanları

Her pozitif tam sayı, iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu sayıların her birine o sayının çarpan veya bölen denir. Örneğin, 24 sayısını çarpan ağacı oluşturarak düşünelim. Bu ağaca göre 24'ün çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür. Bunların hepsi 24'ü kalansız böler.

Asal çarpanlar ise özel çarpanlardır. Asal sayı, 1'den büyük, 1 ve kendisinden başka böleni olmayan doğal sayıdır (örneğin 2, 3, 5, 7, 11...). Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için "asal çarpan algoritması" kullanılır. Bu yöntemde sayı, en küçük asal sayıdan başlayarak sürekli asal sayılara bölünür.

Örneğin 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• 72 ÷ 2 = 36
• 36 ÷ 2 = 18
• 18 ÷ 2 = 9
• 9 ÷ 3 = 3
• 3 ÷ 3 = 1

Bu durumda 72 = 2³ × 3² şeklinde yazılır.

Dikkat! Asal sayılar kümesinde 2'den başka çift sayı yoktur. 2, tek asal çift sayıdır.

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne en büyük ortak bölen (EBOB) denir. EBOB iki farklı yöntemle bulunabilir:

İlk yöntemde sayıların tüm bölenlerini yazıp ortak olanların en büyüğü bulunur. Örneğin:

• 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• 24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6
• EBOB(18, 24) = 6

İkinci yöntemde asal çarpanlar algoritması kullanılır. Sayılar en küçük asal sayıdan başlanarak bölünür ve her iki sayıyı birlikte bölen asal sayılar işaretlenir. İşaretlenen asal sayıların çarpımı EBOB'u verir.

Örneğin 24, 36 ve 72 sayılarının EBOB'unu bulalım:

• 24, 36 ve 72 sayıları 2'ye bölünür → 12, 18, 36
• 12, 18 ve 36 sayıları 2'ye bölünür → 6, 9, 18
• 6, 9 ve 18 sayıları 3'e bölünür → 2, 3, 6
• EBOB(24, 36, 72) = 2 × 2 × 3 = 12

Pratik bilgi: EBOB problemlerinde genellikle eşit parçalara ayırma veya eşit hacimli kap problemleriyle karşılaşırız.

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne en küçük ortak kat (EKOK) denir. EKOK da iki farklı yöntemle bulunabilir:

İlk yöntemde sayıların katları yazılır ve ortak olanların en küçüğü bulunur. Örneğin:

• 12'nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108...
• 18'in katları: 18, 36, 54, 72, 90, 108...
• Ortak katlar: 36, 72, 108...
• EKOK(12, 18) = 36

İkinci yöntemde asal çarpanlar algoritması kullanılır. Sayılar en küçük asal sayıdan başlanarak bölünür ve bulunan bütün asal sayıların çarpımı EKOK'u verir.

Örneğin 8 ve 10 sayılarının EKOK'unu bulalım:

• 8 = 2³, 10 = 2 × 5
• EKOK(8, 10) = 2³ × 5 = 40

İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB ve EKOK'unun çarpımına eşittir: A × B = EKOK(A, B) × EBOB(A, B)

Aralarında Asal Sayılar: İki veya daha fazla sayının 1'den başka ortak böleni yoksa, bu sayılar aralarında asal olarak adlandırılır. Aralarında asal sayıların EBOB'u 1, EKOK'u ise bu sayıların çarpımıdır.

Asal Çarpanlar ve Üslü İfadeler

Sayıları asal çarpanlarına ayırmak, pek çok matematik probleminde karşımıza çıkar. Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için çarpan ağacı kullanabiliriz veya sayıyı adım adım asal sayılara bölebiliriz.

Örneğin 108 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• 108 ÷ 2 = 54
• 54 ÷ 2 = 27
• 27 ÷ 3 = 9
• 9 ÷ 3 = 3
• 3 ÷ 3 = 1

Böylece 108 = 2² × 3³ olarak yazılır.

Diğer örnekler:

• 144 = 2⁴ × 3²
• 500 = 2² × 5³
• 81 = 3⁴
• 48 = 2⁴ × 3

Pozitif tam sayıları üslü ifade şeklinde yazmak, sayıların yapısını anlamak ve işlemler yapmak için kolaylık sağlar. Özellikle sayılar büyüdükçe üslü ifadeler çok daha kullanışlı olur.

İpucu: Sayıyı asal çarpanlarına ayırırken, her zaman en küçük asal sayıdan (2'den) başlayın ve mümkün olduğunca bölebildiğiniz kadar bölün.

EBOB ve EKOK Hesaplama Alıştırmaları

EBOB ve EKOK hesaplama yeteneğinizi geliştirmek için farklı sayı gruplarıyla çalışmak önemlidir. Bu sayı gruplarını çözerken sistematik bir yaklaşım izlemelisiniz.

Örneğin 12 ve 18 sayılarının EBOB'unu bulalım:

• 12 ve 18 sayılarını 2'ye bölelim → 6, 9
• 6 ve 9'un ortak böleni 3 → 2, 3
• EBOB(12, 18) = 2 × 3 = 6

Aynı şekilde EKOK(12, 18) = 2² × 3² = 36 olur.

İkiden fazla sayının EBOB ve EKOK'unu da bulabiliriz. Örneğin:

• EBOB(12, 18, 36) = 6
• EKOK(12, 18, 36) = 36
• EBOB(24, 36, 48) = 12
• EKOK(24, 36, 48) = 144

EBOB ve EKOK arasındaki ilişki şöyle formüle edilir: EBOB(A, B) × EKOK(A, B) = A × B

Kolay hatırlama: İki sayıyı çarptığınızda, sonuç EBOB ve EKOK'un çarpımına eşittir. Bu bilgi, birini bildiğinizde diğerini kolayca hesaplamanızı sağlar.

EBOB ve EKOK Problemleri

EBOB ve EKOK kavramlarını günlük hayat problemlerinde kullanabilirsiniz. İşte bazı örnek problemler ve çözümleri:

Problem 1: Boyutları 18 cm, 24 cm ve 42 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutuya eşit büyüklükte en az kaç küp yerleştirilir?

Çözüm: Büyük bir bütünü eşit parçalara ayırırken EBOB kullanırız. EBOB(18, 24, 42) = 6 Dikdörtgenler prizmasının hacmi = 18 × 24 × 42 = 18144 Küplerin sayısı = 18144 ÷ 6³ = 84 küp

Problem 2: Bir hastanede iki doktor sırasıyla 8 ve 10 günde bir nöbet tutuyor. Aynı gün nöbet tuttuktan kaç gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar?

Çözüm: Tekrarlanan olaylarda EKOK kullanırız. EKOK(8, 10) = 2³ × 5 = 40 Doktorlar 40 gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar.

Önemli: EBOB genellikle "eşit parçalara bölme" problemlerinde, EKOK ise "tekrar eden olaylar" problemlerinde kullanılır. Problem ne tür olduğunu anlamak çözümün ilk adımıdır.

EBOB ve EKOK Problemleri - Devam

Günlük hayattan karşılaşabileceğimiz karmaşık problemleri EBOB ve EKOK ile çözebiliriz:

Problem: Kenarları 45 m, 60 m ve 90 m olan üçgen şeklindeki bir arsanın etrafına köşelere de dikmek koşuluyla eşit aralıklarla en az kaç ağaç dikilir?

Çözüm: Eşit aralıklı dikme problemlerinde EBOB kullanırız. EBOB(45, 60, 90) = 15 Bu durumda ağaçlar arasındaki mesafe 15 m olacaktır. Çevre üzerindeki ağaç sayısı = (45 ÷ 15) + (60 ÷ 15) + (90 ÷ 15) = 13 ağaç

Problem: Bir öğretmen kalemlerini 5'erli dağıttığında 4, 6'şarlı dağıttığında 5, 7'şerli dağıttığında 6 kalem artıyor. Kalem sayısı 400-500 arasında olduğuna göre kalem sayısı kaçtır?

Çözüm: Bu tür artma problemlerinde EKOK kullanırız. Öncelikle her gruplamada kalan kalıntılar: 4, 5, 6 Kalıntıların denklemi: Kalem sayısı = EKOK(5, 6, 7) × k + x EKOK(5, 6, 7) = 210 Kalemler 400-500 arasında ise 210 × 2 = 420 Sayı 420+4 = 424 veya 420-1 = 419 olabilir. Koşulları test ederek 419 olduğunu buluruz.

Problem çözme ipucu: EBOB ve EKOK problemlerini çözerken hangi kavramın kullanılacağını belirlemek önemlidir. Eşit parçalara ayırma → EBOB, tekrarlı olaylar → EKOK.

EBOB ve EKOK Problemleri - Alıştırmalar

EBOB ve EKOK kavramları farklı tür problemlerin çözümünde kullanılabilir. Aşağıdaki problemleri çözmeyi deneyebilirsiniz:

Problem: Kenar uzunlukları 24 m ve 18 m olan dikdörtgen şeklindeki bir levhadan eşit büyüklükte en az kaç kare parça elde edilir?

Bu problemi çözmek için dikdörtgenin alanını bulup, karelerin kenar uzunluğunu (EBOB) hesaplayarak çözeriz: Alan = 24 × 18 = 432 m² EBOB(24, 18) = 6 m (karelerin kenar uzunluğu) Kare sayısı = 432 ÷ 6² = 432 ÷ 36 = 12 kare

Problem: Kısa kenarı 60 cm, uzun kenarı 72 cm olan dikdörtgen şeklindeki fayanslardan en az kaç tanesi bir araya getirilerek bir kare oluşturulur?

Bu problemi çözmek için EKOK hesaplamamız gerekir: EKOK(60, 72) = 360 cm (karenin kenar uzunluğu) Karenin alanı = 360² = 129600 cm² Bir fayansın alanı = 60 × 72 = 4320 cm² Gereken fayans sayısı = 129600 ÷ 4320 = 30 fayans

Hatırlatma: Kare elde etme, karesel alanları kaplama gibi problemlerde genellikle hem EBOB hem de EKOK kavramları kullanılır. EBOB küçük parçaların büyüklüğünü, EKOK ise oluşacak şeklin büyüklüğünü belirler.