Pozitif Tam Sayıların Pozitif Tam Sayı Çarpanları

Bir sayıyı kalansız bölebilen sayılara o sayının çarpanları denir. Bu çarpanlar aynı zamanda o sayının bölenleridir.

Örneğin 18 sayısını düşünelim. 18'i kalansız bölebilenler: 1, 2, 3, 6, 9 ve 18'dir. Bu yüzden 18 sayısının 6 tane çarpanı vardır. Bunu şöyle de gösterebiliriz:

• 18 = 18 × 1
• 18 = 9 × 2
• 18 = 6 × 3

Çarpanları bulmanın kolay bir yöntemi, sayıları eşleştirmektir. Gökkuşağı modelinde, eşleşen sayıların çarpımı her zaman ana sayıya eşit olur.

Biliyor muydun? Tam kare sayıların (1, 4, 9, 16, 25, 36...) pozitif çarpan sayısı her zaman tek sayıdır. Çünkü sadece tam kare sayılarda bazı çarpanlar eşleşir!

Bir sayının çarpanlarını bulmak için bölünebilme kuralları çok işimize yarar:

• 2 ile bölünebilen sayılar: Son rakamı çift olan sayılar (0, 2, 4, 6, 8)
• 3 ile bölünebilen sayılar: Rakamları toplamı 3'ün katı olan sayılar
• 5 ile bölünebilen sayılar: Son rakamı 0 veya 5 olan sayılar

Dikdörtgenlerin kenar uzunlukları da sayıların çarpanlarıyla ilgilidir. Örneğin, alanı 24 cm² olan dikdörtgenin kenar uzunlukları 24'ün çarpanları olan sayılardan oluşabilir: 1×24, 2×12, 3×8, 4×6.

Pozitif Tam Sayıları Asal Çarpanlarına Ayırma

Her pozitif tam sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu işleme asal çarpanlara ayırma denir.

Asal sayı nedir? 1 ve kendisinden başka böleni olmayan 1'den büyük doğal sayılardır. İlk asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...

Asal çarpanları bulmanın iki yaygın yöntemi vardır:

1. Asal Sayı Algoritması (Bölen listesi)
2. Çarpan Ağacı (Ağaç diyagramı)

Örneğin, 60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

Bölen listesi yöntemi: 60 ÷ 2 = 30 30 ÷ 2 = 15 15 ÷ 3 = 5 5 ÷ 5 = 1

Dolayısıyla 60 = 2² × 3 × 5

Çarpan ağacı yöntemi:

     60
    /  \
   2   30
      /  \
     2   15
        /  \
       3    5

Sonuç yine aynı: 60 = 2² × 3 × 5

İpucu: Asal sayıların kendisi dışında başka asal çarpanı yoktur. Örneğin 7 = 7¹

Unutma! Asal çarpanlara ayırma işleminde, sayıyı bölebilen en küçük asal sayıyla bölmeye başlarsın. Daha sonra elde ettiğin sayıyı tekrar bölebilen en küçük asal sayıyla bölmeye devam edersin.

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyük olanına bu sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) denir.

EBOB'u bulmanın birkaç yolu vardır:

1. Ortak bölenleri listeleme yöntemi: Örneğin, EBOB(12, 18) hesaplayalım:

   • 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
   • 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
   • Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6
   • En büyük ortak bölen: 6

2. Asal çarpanlara ayırma yöntemi: Örneğin, K = 2³ · 3⁴ · 5 ve L = 2² · 3⁵ için EBOB(K, L):

   • Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3
   • Ortak çarpanlarda küçük olan üsleri alırız: 2² ve 3⁴
   • EBOB(K, L) = 2² · 3⁴

3. Asal çarpanlar algoritması: Asal bölenler yardımıyla EBOB bulma:

   30 | 42 | 2
   15 | 21 | 3
    5 |  7 | -
    1 |  1 | -
   

   Ortak bölenler: 2 ve 3 EBOB(30, 42) = 2 × 3 = 6

Dikkat! Birbirinin katı olan iki doğal sayının EBOB'u, bu sayılardan küçük olanına eşittir. Örneğin, EBOB(10, 30) = 10

EBOB günlük hayatta birçok problemi çözmekte kullanılır. Özellikle farklı miktarlardaki nesneleri eşit gruplara ayırma problemlerinde EBOB bize yardımcı olur. Örneğin, 20 kg buğday unu ile 25 kg mısır ununu eşit miktarda poşetlere koyarken, her poşete konulacak en büyük miktarı EBOB(20, 25) = 5 kg olarak bulabiliriz.

EKOK ve Aralarında Asal Sayılar

En Küçük Ortak Kat (EKOK), iki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçük olanıdır. EKOK, sayıları tam bölen en küçük pozitif sayıdır.

EKOK'u bulmanın birkaç yolu vardır:

1. Ortak katları listeleme yöntemi: EKOK(3, 4) hesaplayalım:

   • 3'ün katları: 3, 6, 9, 12, 15...
   • 4'ün katları: 4, 8, 12, 16...
   • Ortak katlar: 12, 24...
   • En küçük ortak kat: 12

2. Asal çarpanlara ayırma yöntemi: A = 2² · 3³ ve B = 2³ · 3 · 5 için EKOK(A, B):

   • Her asal çarpanın en büyük üslüsünü alırız: 2³, 3³, 5
   • EKOK(A, B) = 2³ · 3³ · 5

Kolaylık! İki sayının çarpımı = EBOB × EKOK formülünü de kullanabilirsin. Yani, A × B = EBOB(A, B) × EKOK(A, B)

Aralarında asal sayılar, EBOB'ları 1 olan sayılardır. Örneğin, 8 ve 15 sayıları aralarında asaldır çünkü EBOB(8, 15) = 1'dir.

Aralarında asal sayılar için:

• EKOK değeri çarpımlarına eşittir. Örneğin, EKOK(8, 15) = 8 × 15 = 120
• Ortak bölenleri sadece 1'dir

Aralarında asal sayılar şunları gerektirir:

• Mutlaka asal sayılar olmak zorunda değildir
• Ortak asal çarpanları yoktur

EKOK günlük hayatta da sıkça kullanılır. Örneğin, iki otobüsün aynı durakta tekrar buluşacağı süreyi hesaplarken, farklı sürelerde çalan alarmların aynı anda çalacağı anı belirlerken EKOK kullanılır.

Üslü Sayılar ve Bilimsel Gösterim

Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle belirli sayıda çarpımını kısaca göstermenin yoludur. Örneğin, 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.

Tam Sayı Kuvvetleri

Üslü sayılarda tam sayı kuvvetleri:

• Pozitif kuvvetler: a^n = a × a × ... × a (n kere)
• Sıfır kuvveti: a⁰ = 1 (a ≠ 0)
• Negatif kuvvetler: a^$-n$ = 1/$a^n$

Örnek: 2⁴ = 16, 5⁰ = 1, 3^(-2) = 1/9

Üslü İfadelerin Kuralları

1. Çarpma kuralı: a^m × a^n = a^$m+n$
2. Bölme kuralı: a^m ÷ a^n = a^$m-n$
3. Kuvvetin kuvveti: $a^m$^n = a^(m×n)
4. Çarpımın kuvveti: (a × b)^n = a^n × b^n
5. Bölümün kuvveti: (a ÷ b)^n = a^n ÷ b^n

Örnek: 2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷ = 128

Ondalık Gösterim ve Çözümleme

Sayıları 10'un kuvvetleriyle çözümlemek: 358 = 3 × 10² + 5 × 10¹ + 8 × 10⁰ 0,45 = 4 × 10^(-1) + 5 × 10^(-2)

Bilimsel Gösterim

Çok büyük veya çok küçük sayıları ifade etmek için kullanılır: a × 10^b şeklinde yazılır (1 ≤ a < 10 ve b bir tam sayı).

• Çok büyük sayılar: 75.000.000 = 7,5 × 10⁷
• Çok küçük sayılar: 0,000034 = 3,4 × 10^(-5)

Not: Bilimsel gösterimde virgülden sonra istenilen sayıda basamak olabilir, ama virgülden önce sadece bir basamak bulunur!

Bilimsel gösterim, astronomide gezegenlerin uzaklıklarını veya mikrobiyolojide bakterilerin boyutlarını ifade ederken çok kullanışlıdır.