Önerme Temelleri ve Doğruluk Değerleri

Önerme dediğimiz şey aslında doğru ya da yanlış olduğunu kesin olarak söyleyebileceğin cümleler. "2 çift sayıdır" gibi matematiksel ifadeler önerme olurken, "Çay içelim mi?" gibi sorular ya da "Sessiz ol" gibi emirler önerme değil.

Her önermenin bir doğruluk değeri vardır - ya 1 (doğru) ya da 0 (yanlış). Örneğin "5-4=1" önermesinin doğruluk değeri 1'dir çünkü matematiksel olarak doğru.

Önemli: n tane önermenin 2^n farklı doğruluk durumu vardır. 5 önerme varsa 2^5 = 32 farklı durum olur!

Bir önermenin olumsuzu (p' şeklinde gösterilir) o önermenin tam tersini ifade eder. "5 asal sayıdır" önermesinin olumsuzu "5 asal sayı değildir" şeklinde yazılır.

Bileşik Önermeler ve Mantık İşlemleri

Önermeler arasında mantık bağlaçları kullanarak yeni önermeler oluşturabilirsin. En önemlileri şunlar: ∧ (ve), ∨ (veya), → (ise), ↔ (ancak ve ancak).

Koşullu önerme (p → q) "p ise q'dur" anlamına gelir. "Melis uzun boylu ise çalışkan değildir" önermesi p → q' şeklinde gösterilir.

Pratik İpucu: Doğruluk tabloları çizerken (1∧1)=1, (1∨0)=1, (0→1)=1 gibi temel kuralları hatırla!

Mantık işlemleri sınavlarda sık çıkar: p∧0=0, p∨1=1, p∨p'=1 gibi temel özellikleri ezberlemen gerekiyor. Bu formüller karmaşık bileşik önermeleri sadeleştirmek için kullanılır.

Bileşik Önermelerin Sadeleştirilmesi

Karmaşık görünen bileşik önermeleri temel kurallları kullanarak sadeleştirebilirsin. En önemli kurallar: (p')'=p, (p∧q)'=p'∨q', p∨q≡¬(p'∧q').

Tautoloji her zaman doğru olan önermeler $p∨p'=1 gibi$, çelişki ise her zaman yanlış olan önermelerdir $p∧p'=0 gibi$.

Doğruluk tabloları kullanarak karmaşık önermelerin hangi değerlerde doğru olduğunu bulabilirsin. p→q ile p'∨q aynı doğruluk değerlerine sahiptir.

Sınav Tüyosu: (p∧q)∨r gibi önermelerde önce parantez içini, sonra dışarıyı hesapla!

De Morgan kuralları özellikle önemli: (p∧q)'=p'∨q' ve (p∨q)'=p'∧q'. Bu kurallar karmaşık önermelerin olumsuzunu almak için kullanılır.

İleri Mantık İşlemleri

Bileşik önermelerin tersi, karşıtı ve karşıt tersini ayırt edebilmen önemli. p→q önermesinin tersi q→p, karşıtı p'→q', karşıt tersi q'→p'dir.

Denklik (≡) iki önermenin aynı doğruluk değerlerine sahip olması demek. p→q ile p'∨q birbirine denktir.

Dikkat Et: Bir önerme ile karşıt tersi her zaman denktir, ama tersi ve karşıtı her zaman denk değildir!

Sorularda sık karşılaştığın sadeleştirme teknikleri: Önce 0 ve 1'lerle işlemleri yap, sonra temel kuralları uygula, en son denklik kontrolü yap.

Niceleyiciler ve Açık Önermeler

Açık önerme içinde değişken bulunan, bu değişkenin değerine göre doğru ya da yanlış olan ifadeler. p(x): "x çift sayıdır" gibi.

Evrensel niceleyici (∀) "her" anlamına gelir: ∀x∈Z, x²≥0 "Her tam sayının karesi sıfırdan büyük eşittir" demek. Varlık niceleyici (∃) ise "en az bir" anlamına gelir.

Önemli: Niceleyicili önermelerin olumsuzunu alırken ∀ ile ∃ yer değiştirir ve önermerin kendisinin olumsuzu alınır!

Doğruluk kümesi açık önermeyi doğru yapan x değerlerinin kümesidir. p(x): "x²<9, x∈Z" için doğruluk kümesi {-2,-1,0,1,2}'dir.

Niceleyiciler ve İspat Yöntemleri

Niceleyicili önermelerin olumsuzunu alırken dikkat et: $∀x∈R, x²-4≥0$' = $∃x∈R, x²-4<0$ şeklinde yazılır.

Matematik teoremler hipotez (varsayım) ve hüküm (sonuç) olmak üzere iki bölümden oluşur. "İki tek sayının toplamı çifttir" teoreminde hipotez "a ve b tek sayı", hüküm "a+b çift sayı"dır.

İspat yöntemleri arasında doğrudan ispat, olmayana ergi, tümevarim ve aksine örnek verme bulunur. Sınavlarda hangi yöntemin kullanıldığını tanıyabilmen gerekiyor.

Sınav İpucu: Aksiyom sorularında "doğruluğu ispatsız kabul edilen önerme" tanımını hatırla!

Kümeler ile İlgili Temel Kavramlar

Küme belirli nesnelerin oluşturduğu topluluklardır. Bir kümenin elemanı olabilmek için nesnenin açık ve kesin özelliklerle tanımlanması gerekir.

Kümeleri iki şekilde yazabilirsin: Liste yöntemi A={1,2,3} gibi, ortak özellik yöntemi A={x|x çift sayı, 0<x<10} gibi.

Eleman sayısı hesaplarken dikkat et: "AZERBAYCAN" kelimesinin harfleri {A,Z,E,R,B,Y,C,N} şeklinde 8 farklı harften oluşur.

Pratik İpucu: Bir kelimenin harflerinden küme oluştururken tekrar eden harfleri bir kez yaz!

Kümelerde ∈ (elemanı), ⊂ (alt kümesi), ⊆ (alt kümesi veya eşitti) sembollerini doğru kullanman önemli.

Alt Küme ve Küme İşlemleri

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2^n'dir. 3 elemanlı kümenin 2³=8 alt kümesi vardır (boş küme ve kendisi dahil).

Öz alt küme bir kümenin kendisi hariç tüm alt kümelerini ifade eder. n elemanlı kümenin 2^n-1 öz alt kümesi vardır.

Dikkat: Eleman sayısı artırılırken alt küme sayısı nasıl değişiyor? 4 elemanlı kümeyi 6 elemanlı yapınca alt küme sayısı 2⁴=16'dan 2⁶=64'e çıkar, yani 48 artar!

Özel durumlar: Belirli elemanları içeren alt küme sayısını bulurken, o elemanları sabit tut, diğerlerinin 2^k kombinasyonunu hesapla.

Küme Problemleri ve Hesaplama Teknikleri

Alt küme problemlerinde sistematik yaklaşım önemli. "1 ve 2'den ikisi de bulunan" alt kümeleri istiyorsa, bu iki elemanı sabit al, diğer elemanların 2^(kalan eleman sayısı) kombinasyonunu hesapla.

"En az biri bulunur" problemlerinde tüm durumlardan "hiçbiri bulunmaz" durumunu çıkar. A={1,2,3,4,5} kümesinde "2 veya 4'ten en az biri" için: 2⁵ - 2³ = 32-8 = 24.

Formül: "a ya da b bulunur" = Toplam - "a yok ve b yok"

Öz alt küme problemlerinde kümenin kendisini çıkarmayı unutma. n elemanlı kümenin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı: 2^n + $2^n-1$ = 2^$n+1$ - 1.

Gelişmiş Küme Problemleri

Belirli eleman sayılı alt kümeler için kombinasyon kullan. A={1,2,3,4,5} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinde "2 bulunur, 4 bulunmaz" istiyorsa: 2'yi sabit al, {1,3,5}'ten 1 eleman seç = C(3,1) = 3.

Çarpım kümeleri problemlerinde elemanları dikkatli hesapla. İki elemanlı alt kümelerin elemanlarının çarpımları yeni bir küme oluşturur.

Sonlu ve sonsuz küme ayrımını bil: "İki basamaklı tam sayılar" sonlu, "çift tam sayılar" sonsuz kümedir.

Son İpucu: A⊆B ise s(A)≤s(B)'dir, ama A⊂B ise s(A)<s(B)'dir!

Karma problemler sınavda sık çıkar: Küme işlemleri, alt küme sayısı ve eleman hesaplarını birlikte yapman gerekebilir.