Sayı Kümeleri

Matematik dünyasında farklı sayı kümeleriyle karşılaşırız. Her kümenin kendine özgü özellikleri vardır.

Sayma sayıları $N+$, nesnelerin kaç tane olduğunu bulmak için kullandığımız sayılardır. N+ = {1, 2, 3, 4, ...} şeklinde gösterilir ve en küçük elemanı 1'dir.

Doğal sayılar (N), sayma sayılarına 0'ın eklenmesiyle oluşan kümedir. N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} şeklinde ifade edilir. Doğal sayılar kümesinin en küçük elemanı 0'dır ve en büyük elemanı yoktur.

Tam sayılar (Z), doğal sayılara negatif sayıların eklenmesiyle elde edilir. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} şeklinde gösterilir. Tam sayıları pozitif tam sayılar $Z+$, negatif tam sayılar $Z-$ ve sıfır olarak üç gruba ayırabiliriz.

İpucu: Sayı kümelerini birbirleriyle ilişkilerini düşünün: N+ ⊂ N ⊂ Z. Yani her sayma sayısı bir doğal sayıdır ve her doğal sayı bir tam sayıdır!

Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar

Rasyonel sayılar (Q), iki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen sayılardır. a/b biçiminde gösterilirler (b ≠ 0). Tüm tam sayılar aynı zamanda rasyonel sayıdır çünkü her x tam sayısı için x = x/1 yazılabilir.

Paydası sıfır olan ifadeler $örneğin 2/0$ tanımsızdır ve rasyonel sayı değildir. Ancak payı sıfır olan ifadeler $örneğin 0/3$ rasyonel sayıdır ve değeri sıfırdır.

İrrasyonel sayılar (Q'), iki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılardır. √2, √3, π ve e gibi sayılar irrasyonel sayılara örnektir. İrrasyonel sayıların ondalık açılımları sonsuz ve tekrarsızdır.

Gerçek sayılar (R), rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir: R = Q ∪ Q'. Gerçek sayılar, tüm sayı kümelerini kapsayan en geniş kümedir.

Sayı kümelerinin aralarındaki ilişkileri şöyle özetleyebiliriz: N+ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Rasyonel ve irrasyonel sayıların kesişimi boş kümedir, yani Q ∩ Q' = ∅.

İşlem Önceliği ve Sıralama Özellikleri

Gerçek sayılarda işlem yaparken belli bir öncelik sırası izleriz:

1. Parantezler
2. Üslü ifadeler
3. Çarpma ya da bölme
4. Toplama ya da çıkarma

Gerçek sayıların sıralama özellikleri matematik işlemlerinde sık kullandığımız kuralları içerir:

Her a gerçek sayısı için a ≤ a olur. İki sayı eşitse $a = b$, hem a ≤ b hem de b ≤ a doğrudur.

Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklendiğinde ya da çıkarıldığında eşitsizliğin yönü değişmez. Yani a < b ise a+c < b+c'dir.

Bir eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir sayıyla çarpıldığında eşitsizliğin yönü değişmez. Ama negatif bir sayıyla çarpıldığında eşitsizliğin yönü değişir! Örneğin, 10 < 20 ise 10·(-5) > 20·(-5) yani -50 > -100'dür.

Dikkat: Eşitsizliklerde negatif sayılarla işlem yaparken işaretin yön değiştirmesini unutmayın. Bu, öğrencilerin en sık yaptığı hatalardandır!

Sayıların Üs Özellikleri ve Sıralama

0 ile 1 arasındaki sayıların üssü büyüdükçe, sayı küçülür. Örneğin (1/2) < (1/2)² < (1/2)³... yani 1/2 > 1/4 > 1/8...

Pozitif sayıların pozitif tam sayı kuvvetleri alınırsa eşitsizliğin yönü aynı kalır. Eğer 0 < a < b ve n pozitif bir tam sayıysa, aⁿ < bⁿ olur.

Negatif sayıların kuvvetleri alınırken üssün tek veya çift olması önemlidir:

• Negatif sayıların pozitif çift tam sayı kuvvetleri alınırsa eşitsizliğin yönü değişir. Örneğin, -5 < -3 ise (-5)² > (-3)² yani 25 > 9'dur.
• Negatif sayıların pozitif tek tam sayı kuvvetleri alınırsa eşitsizliğin yönü değişmez. Örneğin, -5 < -3 ise (-5)³ < (-3)³ yani -125 < -27'dir.

Arada olma özelliği: Doğal sayılar ve tam sayılar kümesi arada olma özelliğine sahip değildir, çünkü ardışık iki eleman arasında başka bir eleman yoktur. Rasyonel ve gerçek sayılar kümesi ise arada olma özelliğine sahiptir.

Önermeler ve Özellikleri

Önerme, doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadedir. Bir önermenin mutlaka doğru veya yanlış olması gerekir. Soru cümleleri veya emir cümleleri önerme değildir.

Önerme örnekleri:

• "2 sayısı çifttir." (doğru)
• "5 bir asal sayıdır." (doğru)
• "İstanbul Türkiye'nin başkentidir." (yanlış)

Önerme olmayanlar:

• "Matematiği seviyor musun?"
• "Lütfen defterini aç."

Bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle elde edilen önermeye o önermenin değili (olumsuzu) denir. Bir önerme doğruysa değili yanlış, yanlışsa değili doğrudur.

Sembollerin değilleri şu şekilde gösterilir:

• "<" sembolünün değili "≥"
• "=" sembolünün değili "≠"
• ">" sembolünün değili "≤"

Öneri: Önermeleri günlük hayatta da fark etmeye çalışın. "Bu gömleğin rengi mavidir" bir önermedir, çünkü doğru veya yanlış olabilir. Ama "Keşke şu gömlek mavi olsaydı" bir önerme değildir.

Niceleyiciler ve Bağlaçlar

Matematiksel ifadeleri genelleştirmek için niceleyiciler kullanırız:

Evrensel niceleyici (∀): "Her" anlamına gelir. Bir önermenin tanımlandığı kümenin her elemanı için doğruysa, önerme doğrudur.

Varlıksal niceleyici (∃): "Bazı" veya "en az bir" anlamına gelir. Bir önermenin tanımlandığı kümenin en az bir elemanı için doğruysa, önerme doğrudur.

"Her (∀)" niceleyicisinin değili "Bazı (∃)" niceleyicisidir ve "Bazı (∃)" niceleyicisinin değili "Her (∀)" niceleyicisidir.

Önermeleri birleştirmek için bağlaçlar kullanırız:

Ve bağlacı (∧): p ∧ q önermesi, p ve q önermelerinin her ikisi de doğru olduğunda doğru, diğer durumlarda yanlıştır.

Veya bağlacı (∨): p ∨ q önermesi, p ve q önermelerinden en az biri doğru olduğunda doğru, her ikisi de yanlış olduğunda yanlıştır.

Ya da bağlacı (⊻): p ⊻ q önermesi, p ve q önermelerinden sadece biri doğru olduğunda doğru, diğer durumlarda yanlıştır.

Koşullu Önermeler ve Teoremler

Koşullu önermeler, "ise" ve "ancak ve ancak" bağlaçları ile oluşturulur:

İse bağlacı (→): p → q önermesi, p doğru ve q yanlış olduğunda yanlış, diğer durumlarda doğrudur. Bu ifadeyi "Eğer p doğruysa, q da doğrudur" şeklinde okuyabiliriz.

Ancak ve ancak bağlacı (↔): p ↔ q önermesi, p ve q önermelerinin doğruluk değerleri aynı olduğunda doğru, farklı olduğunda yanlıştır. "p, ancak ve ancak q" şeklinde okunur.

Teorem, doğruluğunu göstermemiz gereken bir önermedir. Bir teorem iki kısımdan oluşur:

1. Hipotez (varsayım): Teoremin başlangıç koşulu
2. Hüküm: Hipotez doğru olduğunda geçerli olan sonuç

Örnek: "a pozitif tam sayı ise a³ pozitiftir." teoreminde:

• Hipotez: "a pozitif tam sayıdır."
• Hüküm: "a³ pozitiftir."

Hatırlatma: Bir teoremi ispatlamak için, hipotezin doğru olduğunu varsayıp hükmün de doğru olduğunu göstermeniz gerekir. Bir teoremi çürütmek için ise sadece bir karşıt örnek bulmanız yeterlidir!