Dersler

Matematik

•

3 Ara 2025

•

5 sayfa

Matematikte Fonksiyonlar: Temel Bilgiler ve Örnekler

Ayşenur Çalık

@aysenurr

Fonksiyonlar konusu matematik dünyasının temel yapı taşlarından biridir. İki küme... Daha fazla göster

1 / 5

☐ FONKSİYONLAR
A ve B boş olmayan iki küme olsun,
A'nın her elemanın
B'nin
bid ve
yanlız bir elemanına eşleyen her ba-
gintiya fonk denir.
Ö

Fonksiyonlar ve Temel Kavramlar

Fonksiyon, A ve B boş olmayan iki küme arasında, A'nın her elemanını B'nin yalnızca bir elemanına eşleyen özel bir bağıntıdır. Bir fonksiyon için tanım kümesi (A) ve değer kümesi (B) mutlaka belirtilmelidir.

Fonksiyonlarda F: A→B gösteriminde, F(x)=y şeklinde ifade edilir. Eğer F(x) fonksiyonunda x yerine başka bir ifade yazılmışsa, örneğin F $x²-3x-1$ , bu durumda x yerine $x²-3x-1$ ifadesini koyarız. Fonksiyonun görüntü kümesi, F(A) şeklinde gösterilir ve tanım kümesindeki tüm elemanların değer kümesindeki karşılıklarının oluşturduğu kümedir.

Fonksiyonların birçok özelliği ve çözüm yöntemi vardır. Mesela F $x+1$ =F(x)+x gibi özel durumlarda, sırayla F(1), F(2), F(3)... değerlerini bularak ilerleyebiliriz.

İpucu: Fonksiyon problemlerinde önce verilen fonksiyon kuralını doğru anlamak, sonra değerleri yerine koymak çözümü kolaylaştırır. Özellikle F(2), F(-1) gibi değerleri bulurken, x yerine doğrudan o değeri yazıp işlemleri yapmak yeterlidir!

Fonksiyonlarda İşlemler ve Özel Fonksiyonlar

Fonksiyonlarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılabilir. Eğer f ve g fonksiyonları aynı tanım kümesine sahipse, bu işlemleri şöyle tanımlarız:

$f+g$ (x) = f(x) + g(x)
$f-g$ (x) = f(x) - g(x)
(f.g)(x) = f(x) . g(x)
$f/g$ (x) = f(x) / g(x) (g(x)≠0 için)

Matematikte bazı özel fonksiyon türleri vardır:

Sabit fonksiyon: f(x) = c şeklindedir, c sabit bir sayıdır.
Birim fonksiyon: f(x) = x olarak tanımlanır.
Doğrusal fonksiyon: f(x) = ax + b formundadır (a≠0).

Fonksiyonlarda bir diğer önemli kavram, f(x) = $ax+b$ / $cx+d$ biçimindeki rasyonel fonksiyonlardır. Eğer a/c = b/d ise, bu durumda fonksiyon sabittir ve değeri a/c'dir.

Not: Doğrusal fonksiyonların grafiği her zaman bir doğrudur ve f(x) = ax + b formülündeki a katsayısı, doğrunun eğimini belirler. a = 0 olduğunda fonksiyon sabit fonksiyon olur!

Birebir, Örten Fonksiyonlar ve Ters Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesinin farklı her elemanının değer kümesinde farklı elemanlara eşlenmesi gerekir. Yani, x₁≠x₂ iken f(x₁)≠f(x₂) olmalıdır.

Örten fonksiyon ise değer kümesinin her elemanının, tanım kümesinden en az bir elemanın görüntüsü olduğu fonksiyondur. Bir başka deyişle, değer kümesinde boşta eleman kalmamalıdır.

İçine fonksiyonda ise, değer kümesinde kullanılmayan elemanlar vardır. Örneğin, f: N→N ve f(x) = x+2 fonksiyonu içine bir fonksiyondur çünkü 1 sayısı değer kümesindeki hiçbir elemanın görüntüsü değildir.

Bir fonksiyon hem birebir hem de örten ise, bu durumda fonksiyonun tersi alınabilir. Ters fonksiyon f⁻¹ ile gösterilir ve f(x) = y ise, f⁻¹(y) = x olur. Ters fonksiyon bulurken:

y = f(x) yazılır
x ve y değişkenleri yer değiştirilir
x için çözüm yapılır

İpucu: Bir fonksiyonun grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriği, o fonksiyonun tersinin grafiğidir. Ters fonksiyon hesaplarken adım adım ilerleyin ve işlem hatası yapmamaya dikkat edin!

Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ve Önemli Özellikler

Fonksiyonların bileşkesi, iki fonksiyonun ardışık uygulanmasıdır. f: A→B ve g: B→C fonksiyonları için bileşke fonksiyon (gof): A→C şeklinde tanımlanır ve (gof)(x) = g(f(x)) formülü ile hesaplanır.

Bileşke fonksiyonların bazı önemli özellikleri:

Bileşke işlemi genellikle değişmeli değildir: fog ≠ gof
Bileşke işlemi birleşmelidir: (fog)oh = fo(goh)
Birim fonksiyon ile bileşke, fonksiyonun kendisini verir: foI = Iof = f
Bir fonksiyon ile tersinin bileşkesi birim fonksiyonu verir: fof⁻¹ = f⁻¹of = I
Bileşke fonksiyonun tersi: (fog)⁻¹ = g⁻¹of⁻¹

Bileşke fonksiyon problemlerinde işlemleri sırasıyla yapmalıyız. Örneğin: f(x) = x² + x + 1 ve g(x) = 2x + 1 için gof(x) = g(f(x)) = 2 $x² + x + 1$ + 1 = 2x² + 2x + 3 olur.

Hatırlatma: Bileşke fonksiyon hesaplarken işlem sırasına dikkat edin! gof(x) ifadesi "önce f, sonra g fonksiyonunu uygula" anlamına gelir. Bu sırayı karıştırmak, tamamen farklı sonuçlar verebilir.

Fonksiyon Grafikleri ve Özel Durumlar

Fonksiyonların grafiklerini çizerken, öncelikle birkaç noktanın koordinatlarını bulup bunları birleştiririz. Doğrusal fonksiyonların $f(x) = ax + b$ grafikleri her zaman bir doğrudur.

Tek fonksiyonlar f $-x$ = -f(x) özelliğine sahiptir ve grafikleri orijine göre simetriktir. Örneğin f(x) = x³ + x tek fonksiyondur.

Çift fonksiyonlar ise f $-x$ = f(x) özelliğine sahiptir ve grafikleri y eksenine göre simetriktir. Örneğin f(x) = x² + 3 çift fonksiyondur.

Mutlak değerli fonksiyonlar $örneğin f(x) = |x - 2|$ parçalı fonksiyon olarak ifade edilir:

x ≥ 2 için f(x) = x - 2
x < 2 için f(x) = - $x - 2$ = 2 - x

Bir doğrunun denklemi y = mx + n şeklindedir. Eğimi m ve y eksenini kestiği nokta (0, n) olarak belirlenir.

Önemli: Mutlak değerli fonksiyonları çözerken, tanım aralıklarını doğru belirlemelisiniz. Önce mutlak değer işaretinin içindeki ifadenin sıfıra eşit olduğu x değerini bulup, sonra her aralıkta fonksiyonu ayrı ayrı tanımlayın.

Hiç sormayacaksın sanmıştık...

Knowunity yapay zeka arkadaşı nedir?

Yapay zeka arkadaşımız öğrencilerin ihtiyaçlarına göre özel olarak tasarlanmıştır. Platformda bulunan milyonlarca içeriğe dayanarak öğrencilere gerçekten anlamlı ve ilgili yanıtlar verebiliyoruz. Ancak mesele sadece cevaplar değil, refakatçi aynı zamanda kişiselleştirilmiş öğrenme planları, sınavlar veya sohbet içerikleri ve öğrencilerin becerilerine ve gelişimlerine dayalı %100 kişiselleştirme ile öğrencilere günlük öğrenme zorluklarında rehberlik ediyor.

Knowunity uygulamasını nereden indirebilirim?

Uygulamayı Google Play Store ve Apple App Store'dan indirebilirsiniz.

Knowunity ücretsiz mi?

Knowunity uygulaması ücretsiz! Uygulamamız çok yakında indirmeye hazır olacak, bekle bizi. 💙

Aradığını bulamıyor musun? Diğer derslere göz at.

Kullanıcılarımızdan yorumlar. Onlar her şeyi çok beğendi — sen de beğeneceksin.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Uygulama çok kolay kullanılıyor ve güzel tasarlanmış. Şu ana kadar aradığım her şeyi buldum ve sunumlardan çok şey öğrendim! Kesinlikle ödevlerim için hep kullanacağım!

A.S.

iOS kullanıcısı

Uygulama çok iyi. Çok fazla ders notu ve yardımlaşma var. Örneğin benim problem yaşadığım bir ders Geometriydi ve ANINDA yardım ettiler beraber hem sorularımı çözdük hem konu anlatımı buldum. Herkese tavsiye ederim.

S.L.

Android kullanıcısı

BEN ŞOK. Reklamını sık sık gördüğüm için uygulamayı denedim ve gerçekten hayran kaldım. Bu uygulama okul için tam ihtiyacım olan şey. Anında ödev yardımı, konu anlatımı, örnek sınavlar, flaşkartlar hepsi hepsi var, şiddetle tavsiye ederim ✅

iOS kullanıcısı

Knowunity'yi keşfedinceye kadar ödevlerimi zamanında tamamlamakta zorlanıyordum, Knowunity sadece kendi ders notlarımı yüklemeyi kolaylaştırmakla kalmıyor, aynı zamanda çalışmamı daha hızlı ve verimli hale getiren harika özetler de sunuyor.

Thomas R

iOS kullanıcısı

Ödevlerim için önemli bilgilerin tümünü bulmak her zaman bir zorluktu - Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, ders notlarımı kolayca yükleyebilir ve başkalarının özetlerinden faydalanabilirim, bu da organizasyon konusunda bana çok yardımcı oluyor.

Lisa M

Android kullanıcısı

Ders çalışırken genellikle yeterince genel bakışa sahip olmadığımı hissederdim, ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri bu artık sorun değil - ders notlarımı yüklüyorum ve platformda her zaman yardımcı özetler buluyorum, bu da öğrenmemi çok daha kolaylaştırıyor.

David K

iOS kullanıcısı

Uygulama acayip iyi! Konuyu yazıyorum hemen yanıt alıyorum. Bi şeyi anlamak için 10 tane youtube videosu izlemem gerekmiyor. Kesssinlikle tavsiye ederim!

Sudenaz Ocak

Android kullanıcısı

Matematikte baya kötüydüm ama bu uygulama sayesinde şimdi daha iyiyim. Uygulamayı yapanlara için çok teşekkürler!

G.B.

Android kullanıcısı

Sunumlarım için tüm bilgileri toplamak gerçekten zordu. Ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, notlarımı yüklüyorum ve başkalarından harika özetler buluyorum - bu da çalışmamı çok daha verimli hale getiriyor!

Julia S

Android kullanıcısı

Tüm çalışma materyalleriyle sürekli stres altındaydım, ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, notlarımı yüklüyor ve başkalarının harika özetlerine bakıyorum - her şeyi daha iyi yönetmemi sağlıyor ve çok daha az stresli.

Marco B

iOS kullanıcısı

Ödevlerim için doğru materyalleri bulmak her zaman zordu. Şimdi sadece notlarımı Knowunity'ye yüklüyorum ve başkalarından en iyi özetleri alıyorum - her şeyi daha hızlı anlamama yardımcı oluyor ve notlarımı yükseltiyor.

Sarah L

Android kullanıcısı

Eskiden okul materyallerini Google'da aramakla saatler harcardım, ama şimdi sadece notlarımı Knowunity'ye yüklüyorum ve başkalarının faydalı özetlerine bakıyorum - sınavlara hazırlanırken kendimi çok daha güvende hissediyorum.

Paul T

iOS kullanıcısı

Uygulama çok kolay kullanılıyor ve güzel tasarlanmış. Şu ana kadar aradığım her şeyi buldum ve sunumlardan çok şey öğrendim! Kesinlikle ödevlerim için hep kullanacağım!

A.S.

iOS kullanıcısı

S.L.

Android kullanıcısı

iOS kullanıcısı

Thomas R

iOS kullanıcısı

Lisa M

Android kullanıcısı

David K

iOS kullanıcısı

Uygulama acayip iyi! Konuyu yazıyorum hemen yanıt alıyorum. Bi şeyi anlamak için 10 tane youtube videosu izlemem gerekmiyor. Kesssinlikle tavsiye ederim!

Sudenaz Ocak

Android kullanıcısı

Matematikte baya kötüydüm ama bu uygulama sayesinde şimdi daha iyiyim. Uygulamayı yapanlara için çok teşekkürler!

G.B.

Android kullanıcısı

Julia S

Android kullanıcısı

Marco B

iOS kullanıcısı

Sarah L

Android kullanıcısı

Paul T

iOS kullanıcısı

Dersler

Matematik

•

3 Ara 2025

•

5 sayfa

Matematikte Fonksiyonlar: Temel Bilgiler ve Örnekler

Ayşenur Çalık

@aysenurr

Fonksiyonlar konusu matematik dünyasının temel yapı taşlarından biridir. İki küme arasındaki özel eşleşme biçimi olan fonksiyonlar, matematiğin birçok alanında ve günlük hayatta kullanılır. Bu notlar, fonksiyonların tanımından özel türlerine, grafiklerinden bileşke işlemlerine kadar detaylı bilgiler içermektedir.

Ders notlarını görmek için kaydolÜcretsiz!

Tüm belgeleri görebilirsin

Notlarını Yükselt

Milyonlarca öğrenciye katıl

Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun

Fonksiyonlar ve Temel Kavramlar

Fonksiyonların birçok özelliği ve çözüm yöntemi vardır. Mesela F $x+1$ =F(x)+x gibi özel durumlarda, sırayla F(1), F(2), F(3)... değerlerini bularak ilerleyebiliriz.

İpucu: Fonksiyon problemlerinde önce verilen fonksiyon kuralını doğru anlamak, sonra değerleri yerine koymak çözümü kolaylaştırır. Özellikle F(2), F(-1) gibi değerleri bulurken, x yerine doğrudan o değeri yazıp işlemleri yapmak yeterlidir!

Ders notlarını görmek için kaydolÜcretsiz!

Tüm belgeleri görebilirsin

Notlarını Yükselt

Milyonlarca öğrenciye katıl

Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun

Fonksiyonlarda İşlemler ve Özel Fonksiyonlar

Fonksiyonlarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılabilir. Eğer f ve g fonksiyonları aynı tanım kümesine sahipse, bu işlemleri şöyle tanımlarız:

$f+g$ (x) = f(x) + g(x)
$f-g$ (x) = f(x) - g(x)
(f.g)(x) = f(x) . g(x)
$f/g$ (x) = f(x) / g(x) (g(x)≠0 için)

Matematikte bazı özel fonksiyon türleri vardır:

Sabit fonksiyon: f(x) = c şeklindedir, c sabit bir sayıdır.
Birim fonksiyon: f(x) = x olarak tanımlanır.
Doğrusal fonksiyon: f(x) = ax + b formundadır (a≠0).

Fonksiyonlarda bir diğer önemli kavram, f(x) = $ax+b$ / $cx+d$ biçimindeki rasyonel fonksiyonlardır. Eğer a/c = b/d ise, bu durumda fonksiyon sabittir ve değeri a/c'dir.

Not: Doğrusal fonksiyonların grafiği her zaman bir doğrudur ve f(x) = ax + b formülündeki a katsayısı, doğrunun eğimini belirler. a = 0 olduğunda fonksiyon sabit fonksiyon olur!

Ders notlarını görmek için kaydolÜcretsiz!

Tüm belgeleri görebilirsin

Notlarını Yükselt

Milyonlarca öğrenciye katıl

Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun

Birebir, Örten Fonksiyonlar ve Ters Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesinin farklı her elemanının değer kümesinde farklı elemanlara eşlenmesi gerekir. Yani, x₁≠x₂ iken f(x₁)≠f(x₂) olmalıdır.

Bir fonksiyon hem birebir hem de örten ise, bu durumda fonksiyonun tersi alınabilir. Ters fonksiyon f⁻¹ ile gösterilir ve f(x) = y ise, f⁻¹(y) = x olur. Ters fonksiyon bulurken:

y = f(x) yazılır
x ve y değişkenleri yer değiştirilir
x için çözüm yapılır

İpucu: Bir fonksiyonun grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriği, o fonksiyonun tersinin grafiğidir. Ters fonksiyon hesaplarken adım adım ilerleyin ve işlem hatası yapmamaya dikkat edin!

Ders notlarını görmek için kaydolÜcretsiz!

Tüm belgeleri görebilirsin

Notlarını Yükselt

Milyonlarca öğrenciye katıl

Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun

Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ve Önemli Özellikler

Bileşke fonksiyonların bazı önemli özellikleri:

Bileşke işlemi genellikle değişmeli değildir: fog ≠ gof
Bileşke işlemi birleşmelidir: (fog)oh = fo(goh)
Birim fonksiyon ile bileşke, fonksiyonun kendisini verir: foI = Iof = f
Bir fonksiyon ile tersinin bileşkesi birim fonksiyonu verir: fof⁻¹ = f⁻¹of = I
Bileşke fonksiyonun tersi: (fog)⁻¹ = g⁻¹of⁻¹

Bileşke fonksiyon problemlerinde işlemleri sırasıyla yapmalıyız. Örneğin: f(x) = x² + x + 1 ve g(x) = 2x + 1 için gof(x) = g(f(x)) = 2 $x² + x + 1$ + 1 = 2x² + 2x + 3 olur.

Hatırlatma: Bileşke fonksiyon hesaplarken işlem sırasına dikkat edin! gof(x) ifadesi "önce f, sonra g fonksiyonunu uygula" anlamına gelir. Bu sırayı karıştırmak, tamamen farklı sonuçlar verebilir.

Ders notlarını görmek için kaydolÜcretsiz!

Tüm belgeleri görebilirsin

Notlarını Yükselt

Milyonlarca öğrenciye katıl

Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun

Fonksiyon Grafikleri ve Özel Durumlar

Fonksiyonların grafiklerini çizerken, öncelikle birkaç noktanın koordinatlarını bulup bunları birleştiririz. Doğrusal fonksiyonların $f(x) = ax + b$ grafikleri her zaman bir doğrudur.

Tek fonksiyonlar f $-x$ = -f(x) özelliğine sahiptir ve grafikleri orijine göre simetriktir. Örneğin f(x) = x³ + x tek fonksiyondur.

Çift fonksiyonlar ise f $-x$ = f(x) özelliğine sahiptir ve grafikleri y eksenine göre simetriktir. Örneğin f(x) = x² + 3 çift fonksiyondur.

Mutlak değerli fonksiyonlar $örneğin f(x) = |x - 2|$ parçalı fonksiyon olarak ifade edilir:

x ≥ 2 için f(x) = x - 2
x < 2 için f(x) = - $x - 2$ = 2 - x

Bir doğrunun denklemi y = mx + n şeklindedir. Eğimi m ve y eksenini kestiği nokta (0, n) olarak belirlenir.

Önemli: Mutlak değerli fonksiyonları çözerken, tanım aralıklarını doğru belirlemelisiniz. Önce mutlak değer işaretinin içindeki ifadenin sıfıra eşit olduğu x değerini bulup, sonra her aralıkta fonksiyonu ayrı ayrı tanımlayın.

Hiç sormayacaksın sanmıştık...

Knowunity yapay zeka arkadaşı nedir?

Knowunity uygulamasını nereden indirebilirim?

Uygulamayı Google Play Store ve Apple App Store'dan indirebilirsiniz.

Knowunity ücretsiz mi?

Knowunity uygulaması ücretsiz! Uygulamamız çok yakında indirmeye hazır olacak, bekle bizi. 💙

Akıllı Araçlar YENİ

Bu notu şunlara dönüştür: ✓ 50+ Alıştırma Sorusu ✓ Etkileşimli Flash Kartları ✓ Tam Deneme Sınavı ✓ Kompozisyon Taslakları

Deneme Sınavı

Quiz

Flashcard

Kompozisyon

Aradığını bulamıyor musun? Diğer derslere göz at.

Kullanıcılarımızdan yorumlar. Onlar her şeyi çok beğendi — sen de beğeneceksin.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Uygulama çok kolay kullanılıyor ve güzel tasarlanmış. Şu ana kadar aradığım her şeyi buldum ve sunumlardan çok şey öğrendim! Kesinlikle ödevlerim için hep kullanacağım!

A.S.

iOS kullanıcısı

S.L.

Android kullanıcısı

iOS kullanıcısı

Thomas R

iOS kullanıcısı

Lisa M

Android kullanıcısı

David K

iOS kullanıcısı

Uygulama acayip iyi! Konuyu yazıyorum hemen yanıt alıyorum. Bi şeyi anlamak için 10 tane youtube videosu izlemem gerekmiyor. Kesssinlikle tavsiye ederim!

Sudenaz Ocak

Android kullanıcısı

Matematikte baya kötüydüm ama bu uygulama sayesinde şimdi daha iyiyim. Uygulamayı yapanlara için çok teşekkürler!

G.B.

Android kullanıcısı

Julia S

Android kullanıcısı

Marco B

iOS kullanıcısı

Sarah L

Android kullanıcısı

Paul T

iOS kullanıcısı

Uygulama çok kolay kullanılıyor ve güzel tasarlanmış. Şu ana kadar aradığım her şeyi buldum ve sunumlardan çok şey öğrendim! Kesinlikle ödevlerim için hep kullanacağım!

A.S.

iOS kullanıcısı

S.L.

Android kullanıcısı

iOS kullanıcısı

Thomas R

iOS kullanıcısı

Lisa M

Android kullanıcısı

David K

iOS kullanıcısı

Uygulama acayip iyi! Konuyu yazıyorum hemen yanıt alıyorum. Bi şeyi anlamak için 10 tane youtube videosu izlemem gerekmiyor. Kesssinlikle tavsiye ederim!

Sudenaz Ocak

Android kullanıcısı

Matematikte baya kötüydüm ama bu uygulama sayesinde şimdi daha iyiyim. Uygulamayı yapanlara için çok teşekkürler!

G.B.

Android kullanıcısı

Julia S

Android kullanıcısı

Marco B

iOS kullanıcısı

Sarah L

Android kullanıcısı

Paul T

iOS kullanıcısı