Sayma ve Olasılık: Permütasyon ve Kombinasyon

Matematikte sayma metodları, belirli durumların kaç farklı şekilde gerçekleşebileceğini hesaplamamıza yardımcı olur. Birbirinden bağımsız işlerin sayısını bulmak için iki temel kural vardır:

• Toplama Kuralı: r tane işten biri (1. veya 2. veya... r.) gerçekleştirilecekse, toplam $n_1 + n_2 + ... + n_r$ farklı yoldan yapılabilir.
• Çarpma Kuralı: r tane iş birlikte gerçekleştirilecekse, toplam $n_1 \times n_2 \times ... \times n_r$ farklı yoldan yapılabilir.

Bir lokantada 3 çeşit çorba, 4 çeşit et yemeği ve 5 çeşit tatlı varsa, sadece bir çeşit yemek seçmek için 3+4+5=12 farklı seçeneğimiz var. Ama tam bir menü (1 çorba, 1 et, 1 tatlı) seçmek için 3×4×5=60 farklı kombinasyon oluşturabiliriz!

Permütasyon, nesnelerin belli bir sırada dizilmesidir. n elemanlı bir kümenin r elemanının sıralanışlarını hesaplamak için kullanılır:

$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

💡 İpucu: Permütasyon sıralama işlemidir! Örneğin, 7 kişiden 3 kişiyi seçip sırayla dizmenin 7×6×5=210 farklı yolu vardır.

Kombinasyon ise sıralamadan bağımsız olarak seçim yapmaktır. n elemanlı bir kümeden r elemanlı alt kümeler seçme işlemidir:

$C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

Örneğin, 10 kişilik bir sınıftan 3 kişilik bir ekip oluşturmanın $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!7!} = 120$ farklı yolu vardır.

Faktöriyel kavramını unutma! n! = n×$n-1$×...×2×1 şeklinde hesaplanır. Örneğin: 5! = 5×4×3×2×1 = 120

Sayma ve Olasılık: Binom ve Olasılık

Binom açılımı, $(x+y)^n$ şeklindeki ifadelerin açılmış halini bulmamızı sağlar:

$(x+y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}y + \binom{n}{2}x^{n-2}y^2 + ... + \binom{n}{n}y^n$

Örneğin, $(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$

Binom açılımında toplam $(n+1)$ terim bulunur ve her terimde x ve y'nin üslerinin toplamı n'dir.

Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını ölçen matematiksel bir kavramdır. Bir deneyde gerçekleşebilecek tüm çıktıların kümesine örnek uzay denir ve genellikle E ile gösterilir. E'nin bir alt kümesine ise olay denir.

Bir olayın olasılığı, istenilen durumların sayısının olabilecek tüm durumların sayısına oranıdır:

$P(A) = \frac{s(A)}{s(E)}$

💡 Not: Olasılık her zaman 0 ile 1 arasındadır. P(A)=0 ise olay imkansız, P(A)=1 ise olay kesindir.

Koşullu olasılık, bir olayın başka bir olay gerçekleştiği bilindiğinde gerçekleşme olasılığıdır:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Örneğin, zarda asal sayı geldiğini biliyorsak çift sayı gelme olasılığı $P(A|B) = \frac{1}{3}$'tür (asal çift sayı sadece 2'dir).

Bağımsız olaylar için birinin gerçekleşmesi diğerini etkilemez:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Bir madeni para ve bir zarı aynı anda attığımızda, paranın yazı gelme olasılığı $\frac{1}{2}$ ile zarın asal sayı gelme olasılığı $\frac{1}{2}$ birbirinden bağımsızdır. İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ olur.

Fonksiyonlar

Fonksiyon, bir kümenin her elemanını başka bir kümenin yalnız bir elemanına eşleyen bir kuraldır. A kümesinin her x elemanına B kümesinin tek bir y elemanını eşleyen f bağıntısına, A'dan B'ye bir fonksiyon denir ve $f: A \rightarrow B$ şeklinde gösterilir.

Bir fonksiyonda:

• A kümesi tanım kümesidir
• B kümesi değer kümesidir
• A'daki her elemanın B'deki görüntülerinin oluşturduğu kümeye görüntü kümesi (f(A)) denir

💡 İpucu: Tanım kümesindeki her eleman mutlaka bir görüntüye sahip olmalı ve bu görüntü tek olmalıdır!

Fonksiyon çeşitleri arasında önemli olanlar:

• Bire-bir fonksiyon: Tanım kümesindeki farklı elemanlar değer kümesinde farklı görüntülere sahipse
• Örten fonksiyon: Değer kümesinde boşta eleman kalmazsa $f(A) = B$
• İçine fonksiyon: Değer kümesinde boşta eleman kalırsa (f(A) ⊂ B)
• Birim fonksiyon: Her x'i kendisine eşleyen fonksiyon $f(x) = x$
• Tek fonksiyon: f$-x$ = -f(x) özelliğini sağlayan fonksiyon
• Çift fonksiyon: f$-x$ = f(x) özelliğini sağlayan fonksiyon

Fonksiyonların bileşkesi, iki fonksiyonun ardışık olarak uygulanması işlemidir: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$

Bir fonksiyonun tersi, fonksiyonun eşlemesini tersine çevirir. Bire-bir ve örten bir fonksiyonun tersi vardır ve $f^{-1}$ ile gösterilir. Eğer $f(x) = y$ ise, $f^{-1}(y) = x$ olur.

Doğrusal fonksiyon $f(x) = ax + b$ şeklindedir ve grafiği düz bir doğrudur. Bu grafiği çizmek için en az iki nokta bulup bu noktaları birleştiririz.

Polinomlar

Polinom, bir değişkenli cebirsel bir ifadedir. $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$ şeklindedir. Burada:

• $a_n, a_{n-1}, ..., a_0$ polinomun katsayılarıdır
• $a_n$ en büyük dereceli terimin katsayısı olup baş katsayı olarak adlandırılır
• $a_0$ değişkensiz terim olup sabit terim adını alır
• Terimler arasındaki en yüksek üs olan $n$ sayısı polinomun derecesidir

İki polinomun eşit olması için, dereceleri ve aynı dereceli terimlerinin katsayıları eşit olmalıdır.

💡 Önemli: Bir polinomda $x$ yerine $1$ yazılırsa, polinomun katsayılar toplamı bulunur. $x$ yerine $0$ yazılırsa, sabit terim bulunur.

Kalan teoremi polinomların bölme işleminde çok kullanışlıdır:

1. $P(x)$ polinomunun $(x-a)$ ile bölümünden kalan, $P(a)$ değeridir.
2. $P(x)$ polinomunun $(ax+b)$ ile bölümünden kalan, $P(-\frac{b}{a})$ değeridir.
3. $P(x)$ polinomunun $(x^n-a)$ ile bölümünden kalanı bulmak için polinomda $x^n$ yerine $a$ yazılır.

Polinomların dereceleri arasında önemli ilişkiler vardır:

• $\text{der}[P(x) \cdot Q(x)] = \text{der}[P(x)] + \text{der}[Q(x)]$
• $\text{der}[\frac{P(x)}{Q(x)}] = \text{der}[P(x)] - \text{der}[Q(x)]$
• Eğer $\text{der}[P(x)] > \text{der}[Q(x)]$ ise $\text{der}[P(x) + Q(x)] = \text{der}[P(x)]$

Polinomları çarpım faktörlerine ayırmak ve kökleri bulmak, matematikte sıkça karşılaşacağın işlemlerdir. Bir $P(x)$ polinomunun $(x-a)$ ve $(x-b)$ ile tam bölünüyorsa, $a$ ve $b$ bu polinomun kökleridir.

İkinci Dereceden Denklemler

İkinci dereceden denklem, $ax^2 + bx + c = 0$ biçimindeki denklemdir (a ≠ 0). Bu denklemin çözümü için diskriminant önemlidir: $\Delta = b^2 - 4ac$

Denklemin kökleri: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Diskriminantın değerine göre denklemin kök durumları:

• Eğer $\Delta < 0$ ise, denklemin reel kökü yoktur
• Eğer $\Delta = 0$ ise, denklemin çakışık (eşit) iki kökü vardır
• Eğer $\Delta > 0$ ise, denklemin farklı iki reel kökü vardır

💡 Pratik Bilgi: Kökler ile katsayılar arasında her zaman şu bağıntılar vardır: $x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}$ ve $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

$\Delta < 0$ olduğunda reel kök yoktur, ancak karmaşık sayı kökler vardır. Karmaşık sayılar $a + bi$ biçimindedir, burada $i = \sqrt{-1}$ ve $i^2 = -1$'dir.

Karmaşık sayılarda gerçek kısım $a$ ile, sanal kısım ise $bi$ ile gösterilir. Karmaşık sayı kökler her zaman birbirinin eşleniğidir: $x_1 = a + bi$ ve $x_2 = a - bi$

Karmaşık sayılarda temel işlemler:

• Toplama: $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
• Çarpma: $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Karmaşık sayının eşleniği $\overline{z} = a - bi$ olup, $z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2$'dir.

İkinci dereceden denkleme indirgenebilen denklemler de önemlidir. Örneğin:

• $Ax^4 + Bx^2 + C = 0$ denkleminde $x^2 = t$ değişken değişimi yapılır
• $a^2x^2 + B \cdot ax + C = 0$ denkleminde $ax = t$ değişken değişimi yapılır

Dörtgenler ve Çokgenler: Çokgenler ve Yamuk

Matematikte çokgen, düzlemde sonlu sayıda doğru parçasının uç uca birleşmesiyle oluşan kapalı şekillerdir. n kenarlı bir çokgende:

• Ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçaları köşegen olarak adlandırılır
• İç açıların toplamı $(n-2) \cdot 180°$ formülüyle hesaplanır
• Dış açıların toplamı her zaman $360°$'dir

Düzgün çokgen, tüm kenarları ve iç açıları eşit olan çokgendir. n kenarlı bir düzgün çokgende:

• Bir iç açının ölçüsü: $\frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$
• Bir dış açının ölçüsü: $\frac{360°}{n}$

💡 Örnek: Düzgün beşgende bir iç açı $108°$, bir dış açı $72°$'dir. Düzgün altıgende bir iç açı $120°$, bir dış açı $60°$'dir.

Yamuk, karşılıklı yalnızca iki kenarı paralel olan dörtgendir. İç açılarının ölçüleri toplamı her zaman $360°$'dir. Yamukta karşılıklı açıların özellikleri: $x + y = 180°$ ve $z + t = 180°$

Yamuğun alanı, paralel kenarların uzunlukları (a ve c) ve yüksekliği (h) kullanılarak hesaplanır:

$A(yamuk) = \frac{a+c}{2} \cdot h$

Özel yamuk türleri şunlardır:

• Dik yamuk: Yan kenarlarından biri yükseklik olan yamuktur
• İkizkenar yamuk: Yan kenarları eşit olan yamuktur. İkizkenar yamukta karşılıklı açılar eşittir

İkizkenar yamukta köşegenler eşittir ve yamuğun iki eş parçaya ayrılmasını sağlar. Ayrıca bir köşesinden çizilen açıortay, diğer köşeden çizilen açıortayla dik kesişiyorsa, kesişim noktası orta taban üzerindedir.

Dörtgenler ve Çokgenler: Dörtgen Çeşitleri

Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel veya eşit olan dörtgendir. En temel özellikleri:

• Karşılıklı kenarlar birbirine eşittir
• Karşılıklı açılar eşittir ve komşu açılar tamamlayıcıdır $x + y = 180°$

Paralelkenarın alanı: A = a × h (taban × yükseklik)

Eşkenar dörtgen, tüm kenarları eşit olan paralelkenardır. Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik keser ve açıortaydır.

💡 İpucu: Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerinin çarpımının yarısıdır: A = (d₁ × d₂)/2

Dikdörtgen, dört açısı da 90° olan paralelkenardır. Dikdörtgende köşegenler birbirine eşittir ve birbirlerini ortalar.

Dikdörtgenin alanı: A = a × b (uzunluk × genişlik)

Kare, tüm kenarları eşit olan dikdörtgendir. Karenin tüm açıları 90°'dir.

Karenin alanı: A = a² (kenar uzunluğunun karesi)

💡 Dikkat: Kare, hem dikdörtgen hem de eşkenar dörtgenin tüm özelliklerini taşır!

Deltoid, tabanları çakışık olan iki farklı ikizkenar üçgenden oluşan dörtgendir. Deltoidin köşegenleri birbirini dik keser ve bir köşegen diğerini ortalar.

Deltoidin alanı: A = (d₁ × d₂)/2 (köşegenlerin çarpımının yarısı)

Her dörtgen türünün kendine özgü özellikleri vardır. Örneğin:

• Paralelkenarda karşılıklı kenarlar paralel ve eşittir
• Eşkenar dörtgende tüm kenarlar eşittir, köşegenler dik kesişir
• Dikdörtgende tüm açılar 90°, köşegenler eşittir
• Karede tüm kenarlar eşit, tüm açılar 90°, köşegenler eşit ve dik kesişir

Uzay Geometrisi: Prizmalar ve Piramitler

Uzay geometrisinde, üç boyutlu şekillerin özelliklerini ve ölçülerini inceleriz. Prizma, tabanları eşit ve paralel olan çok yüzlü bir cisimdir.

Prizmaların alan hesaplamaları:

• Taban alanı: AT (taban çokgeninin alanı)
• Yanal alanı: ÇT × h (taban çevresi × yükseklik)
• Toplam yüzey alanı: 2AT + ÇT × h

Dikdörtgen prizma tabanı dikdörtgen olan prizmadır. Cisim köşegeni: $k = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ Yüzey alanı: 2$ac + ab + bc$

💡 Hatırlatma: Küp, tüm ayrıtları eşit olan özel bir dikdörtgen prizmadır. Küpün yüzey alanı 6a² ve cisim köşegeni a√3'tür.

Prizmaların hacim hesaplamaları:

• Dikdörtgen prizma: V = a × b × c
• Küp: V = a³
• Üçgen prizma: V = taban alanı × yükseklik

Piramit, bir çokgen taban ve bir tepeden oluşan üç boyutlu şekildir. Taban ile tepe arasındaki dik uzaklık piramidin yüksekliğidir (h).

Piramitlerin önemli özellikleri:

• Hacim: V = (taban alanı × yükseklik)/3
• Kare piramitte yanal yüzeyler eşkenar üçgendir
• Üçgen piramitte dört yüzey vardır (taban ve üç yan yüz)

Düzgün dörtyüzlü, tüm yüzeyleri eşkenar üçgen olan özel bir piramittir. Yüksekliği h = a√6/3 ve hacmi V = a³√2/12 formülleriyle hesaplanır.

Düzgün altıgen piramit de önemli bir örnektir. Hacmi, V = (altıgen taban alanı × yükseklik)/3 formülüyle hesaplanır.

Uzay geometrisinde, şekillerin alan ve hacimlerini hesaplarken genellikle tabandan yararlanırız. Prizmalarda hacim, taban alanı × yüksekliktir; piramitlerde ise taban alanı × yüksekliğin 1/3'üdür.