Türev Tanımları ve Özellikleri

Türev kavramı, bir fonksiyonun değişim oranından gelir. Ortalama değişim oranı iki nokta arasındaki eğimi verirken $Δy/Δx = [f(b)-f(a)]/(b-a)$, anlık değişim oranı ise tek bir noktadaki eğimi verir ve türevin temelini oluşturur: f'(x) = limₕ→₀$f(x+h)-f(x)$/h.

Bazı temel türev kuralları hayatımızı kolaylaştırır: Sabitin türevi sıfırdır, x'in türevi 1'dir ve x^n'in türevi nx^$n-1$'dir. Ayrıca, türev alırken toplama-çıkarma işlemlerinde türevler de toplanır-çıkarılır: [f(x)±g(x)]' = f'(x)±g'(x).

Çarpım ve bölüm türevlerinde ise özel formüller kullanırız. Bileşke fonksiyonların türevi için zincir kuralı geçerlidir: (fog)(x)' = f'(g(x))·g'(x). Grafikte ani kırılma olan noktalarda ve uç noktalarda türev yoktur.

Önemli! Türev alırken bir fonksiyonun türevlenebilir olması için sağdan ve soldan türevlerinin eşit olması gerekir. Örneğin, f(x)=|x-2| fonksiyonunun x=2'de türevi yoktur çünkü sağdan limit 1, soldan limit -1 bulunur ve bu değerler eşit değildir.