İkinci Dereceden Denklemler ve Karmaşık Sayılar

İkinci dereceden bir denklem ax²+bx+c şeklinde yazılır. Bu denklemin çözümünü belirleyen en önemli değer diskriminanttır. Diskriminant $Δ=b²-4ac$ denklemin kaç kökü olduğunu ve bu köklerin türünü gösterir.

Diskriminantın değerine göre üç farklı durum olabilir: Eğer Δ>0 ise denklemin farklı iki gerçek kökü vardır $x₁,₂= (-b±√Δ)/2a$. Eğer Δ=0 ise denklemin çakışık iki kökü vardır. Δ<0 durumunda ise gerçek kök yoktur ve çözüm kümesi boştur.

İkinci dereceden denklemlerin kökleri arasında önemli ilişkiler vardır. Köklerin toplamı x₁+x₂=-b/a ve köklerin çarpımı x₁·x₂=c/a'dır. Kökleri x₁ ve x₂ olan bir denklemi x²-Tx+Ç=0 şeklinde yazabiliriz $T=x₁+x₂ ve Ç=x₁·x₂$.

İpucu: Bir problemde köklerin toplamı ve çarpımı verilmişse, denklemi hızlıca yazabilirsin. Köklerin toplamı katsayısı -1 ile, köklerin çarpımı ise olduğu gibi yazılır!

Karmaşık sayılar ise gerçek sayı kümesinde çözümü olmayan denklemleri çözmemize yardımcı olur. i²=-1 olan i sayısı sanal birim olarak adlandırılır. Karmaşık bir sayı Z=a+bi şeklinde yazılır; burada a gerçek kısım, b ise sanal kısımdır. Bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmın işaretini değiştirerek bulunur: Z̄=a-bi.

Bazen ikinci dereceden denklemleri çözmek için değişken değiştirme yöntemi kullanılabilir. Örneğin, 9x²-10·3x+9=0 denkleminde 3x=a dersek, a²-10a+9=0 denklemine ulaşır ve çözümü kolaylaştırabiliriz.