8
1
Belinay Öykü Karaman
28.11.2025
Matematik
9. Sınıf matematik sayılar ünitesi
145
•
28 Kas 2025
•
Belinay Öykü Karaman
@belinayykaraman
Matematik dünyasında sayılar ve kümeler, bütün matematiksel kavramların temel yapı... Daha fazla göster
Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle belirli sayıda çarpılmasını kısaca göstermenin harika bir yoludur. Örneğin, 5'i 5 kere toplamak yerine 5⁵ yazabiliriz.
Üslü sayıların bazı temel kuralları vardır. Her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir . Negatif kuvvetler, sayının ters çevrilmiş halini gösterir. Negatif sayıların bütün kuvvetleri de pozitiftir (istisnalar dışında).
Üslü sayılarda işlemler yaparken, tabanlar aynı ise üsleri toplanır . Tabanlar farklı, üsler aynı ise tabanlar çarpılır . Bölmede ise tabanlar aynı ise üsler çıkarılır.
Püf Nokta: Çok büyük veya çok küçük sayıları belirtmek için bilimsel gösterim kullanılır . Bu yöntemi kullanarak karmaşık hesaplamaları daha kolay yapabilirsiniz.
Köklü sayılar aslında üslü sayıların farklı bir gösterimidir. Örneğin, 5^(2/3) = ∛(5²) şeklinde yazılabilir. Her köklü sayı bir üslü sayı olarak ifade edilebilir ve bu dönüşüm işlemleri kolaylaştırır.
Köklü sayıların gerçek sayı olup olmaması kök derecesine ve kök içindeki sayıya bağlıdır. Eğer kök derecesi tek ise, kök içindeki sayı her zaman gerçek sayıdır. Ancak kök derecesi çift ise, kök içindeki sayının pozitif olması gerekir.
Kök dışına çıkarma işlemi, köklü ifadeleri sadeleştirmek için çok kullanışlıdır. Örneğin, √4 = √(2²) = 2 veya ∛8 = ∛(2³) = 2 şeklinde sadeleştirilebilir. Bu işlem, özellikle karmaşık köklü ifadeleri çözerken zaman kazandırır.
Köklü ifadelerde işlem yaparken dikkat edilmesi gereken noktalar vardır. İki köklü sayının toplamı, toplamlarının kökü değildir (√1 + √3 ≠ √4). Çarpma ve bölme işlemlerinde ise daha basit kurallar geçerlidir: √x · √y = √(x·y) ve √x ÷ √y = √.
Önemli İpucu: Kökten kurtulmak için eşlenik alma yöntemini kullanabilirsiniz. √a'nın eşleniği -√a'dır. Paydada kök varsa, pay ve paydayı bu eşlenikle çarparak kökten kurtulabilirsiniz.
Köklü ifadelerin daha kolay hesaplanması için kök derecesini değiştirme işlemi de yapılabilir. Bu işlemle, √ = x^ şeklinde sadeleştirmeler yapabilirsiniz.
Kök derecesini değiştirme, köklü ifadelerle işlem yaparken çok kullanışlı bir tekniktir. Örneğin, ∛(2⁴) = 2^(4/3) = 4·∛2 şeklinde yazılabilir. Bu yöntemle karmaşık köklü ifadeler daha anlaşılır hale getirilebilir.
Köklü ifadelerde kökün içine girme ve kökün dışına çıkma işlemleri de önemlidir. Örneğin 3·∛2 ifadesini ∛(3³·2) = ∛54 şeklinde yazabiliriz. Bu dönüşümler, köklü ifadeleri sadeleştirmek veya işlemleri kolaylaştırmak için kullanılır.
İç içe kök içeren ifadelerde, en içteki kökten başlayarak sadeleştirme yapılır. Örneğin, ⁶√(60 + ⁶√(18 - 2∛2)) ifadesini sadeleştirirken önce 2∛2 = ∛54 olduğunu bulup, adım adım ilerlemelisiniz.
Kolay Çözüm: Kök içindeki köklerden kurtulmak için eşlenik alma yöntemini kullanabilirsiniz. Örneğin 1/√5 ifadesini (√5)/(5) şekline dönüştürebilirsiniz.
Eşlenik alma yöntemi özellikle paydada kök olan ifadelerde kullanışlıdır. √a + √b ifadesinin eşleniği √a - √b'dir ve bu iki ifadenin çarpımı a - b sonucunu verir.
Köklü sayılarla karşılaştırma yaparken, sayının hangi ardışık tam sayılar arasında olduğunu bulabilirsiniz. Örneğin, 2 < √5 < 3 çünkü 4 < 5 < 9. Kök dereceleri eşit olan ifadelerin karşılaştırılmasında, kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir.
Kümeler, iyi tanımlanmış nesneler topluluğudur. Bir kümeye ait nesnelere "eleman" denir ve a elemanı A kümesinin bir elemanıysa a ∈ A şeklinde gösterilir. Kümelerde her eleman yalnızca bir kez yazılır.
Kümeleri göstermek için üç farklı yöntem kullanılır: Liste yöntemi , ortak özellik yöntemi ve Venn şeması (kapalı eğri ile gösterim).
İyi Bilgi: Boş küme hiç elemanı olmayan kümedir ve ∅ veya {} şeklinde gösterilir. Evrensel küme ise işlem yapılan tüm kümeleri içine alan kümedir ve E ile gösterilir.
Kümelerde tümleyen, kesişim ve birleşim gibi temel işlemler vardır. Tümleyen, bir kümenin dışındaki tüm elemanlardan oluşur. Kesişim, ortak elemanlardan oluşurken, birleşim ise iki kümenin tüm elemanlarını içerir.
Aralıkların kesişimi, iki aralıkta da bulunan ortak sayılardan oluşur. Örneğin, a < x < b aralığı ile c ≤ x ≤ d aralığının kesişimi, bu iki aralıktaki ortak sayıları içerir. Aralıkların birleşimi ise, iki aralıktaki tüm sayıları kapsayan aralıktır.
Aralıkların tümleyeni, bir aralığın dışındaki sayılardan oluşur. Bir aralığın diğerinden farkı ise, birinci aralıkta olup ikinci aralıkta olmayan sayıları içerir. Bu kavramlar, matematik problemlerini çözerken sıklıkla kullanılır.
Mutlak değer, sayı doğrusu üzerindeki bir sayının 0'a olan uzaklığını ifade eder. Herhangi bir x sayısının mutlak değeri |x| şeklinde gösterilir ve x pozitifse x'e, negatifse -x'e eşittir.
Unutmayın: |a-b| = |b-a| olduğundan, iki sayı arasındaki uzaklığı bulmak için farkın mutlak değerini alabilirsiniz. Bu özellik, problemlerde mesafe hesaplamaları yaparken çok işinize yarayacaktır.
Mutlak değerle ilgili bazı önemli özellikler şunlardır: |x·y| = |x|·|y|, |x^n| = |x|^n ve |x| = 0 ise x = 0'dır. Mutlak değer içeren denklemleri çözerken, genellikle durumları ayırarak (x < 0 ve x ≥ 0 için ayrı ayrı) çözüm yapmak gerekir.
Kümelerde birleşim, kesişim ve fark işlemleri oldukça önemlidir. Birleşim (A ∪ B), her iki kümenin de tüm elemanlarını içerir. Kesişim (A ∩ B), yalnızca ortak elemanları alır. Tümleyen ise bir kümenin dışındaki tüm elemanları içerir.
Kümelerde De Morgan kuralları da önemlidir: C(A∩B) → A∪B ve C(A∪B) → A∩B. Bu kurallar, tümleyen işlemlerini dağıtarak küme işlemlerini basitleştirmenizi sağlar. Ayrıca, dağılma özellikleri de vardır: A∩(B∪C) → (A∩B)∪(A∩C).
Alt küme kavramı da önemlidir. Eğer A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin de elemanıysa, A, B'nin alt kümesidir ve A⊂B şeklinde gösterilir. Her küme kendisinin alt kümesidir.
Pratik Bilgi: Rakamlar (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) sayıları yazmak için kullandığımız sembollerdir. Sayılar ise sayma ve ölçme için kullanılan matematiksel kavramlardır.
Sayı kümeleri şöyle sıralanabilir: Sayma Sayıları (N⁺), Doğal Sayılar (N), Tam Sayılar (Z), Rasyonel Sayılar (Q), İrrasyonel Sayılar (Q'), ve Gerçek Sayılar (R). Çift sayılar 2 ile tam bölünebilen, asal sayılar ise 1'den ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan 1'den büyük sayılardır.
Sayı doğrusu üzerinde iki nokta arasındaki uzaklığı mutlak değer kullanarak |a-b| şeklinde gösterebiliriz. Bu gösterim, pek çok matematik probleminde mesafeleri hesaplamak için kullanılır.
Bir aralığı mutlak değer kullanarak göstermek için önce aralığın orta noktasını bulmalıyız. Örneğin, C(-3,9) aralığını mutlak değerle göstermek için orta nokta (9+(-3))/2 = 3 bulunur. Ardından orta noktaya olan uzaklık 6 olduğundan, |x-3|=6 şeklinde gösterilir.
Genel olarak, aralığı mutlak değer gösteriminde |x-/2| = /2 şeklinde yazılabilir. Bu formül, herhangi bir aralığı mutlak değer kullanarak ifade etmenize olanak tanır.
Hızlı Yöntem: Bir aralığı mutlak değerle gösterirken, önce orta noktayı bulun, sonra kenar noktalardan birinin orta noktaya uzaklığını hesaplayın. Böylece |x-(orta nokta)| = uzaklık formülünü kolayca oluşturabilirsiniz.
Birleşim ve kesişim içeren aralıkları da mutlak değerle gösterebilirsiniz. Örneğin, C(-9,4) ∪ (8,∞) aralığını göstermek için, önce (-9,4) aralığının orta noktası ve uzaklığı bulunur, sonra tüm ifade mutlak değer kullanılarak yazılır.
Yapay zeka arkadaşımız öğrencilerin ihtiyaçlarına göre özel olarak tasarlanmıştır. Platformda bulunan milyonlarca içeriğe dayanarak öğrencilere gerçekten anlamlı ve ilgili yanıtlar verebiliyoruz. Ancak mesele sadece cevaplar değil, refakatçi aynı zamanda kişiselleştirilmiş öğrenme planları, sınavlar veya sohbet içerikleri ve öğrencilerin becerilerine ve gelişimlerine dayalı %100 kişiselleştirme ile öğrencilere günlük öğrenme zorluklarında rehberlik ediyor.
Uygulamayı Google Play Store ve Apple App Store'dan indirebilirsiniz.
Knowunity uygulaması ücretsiz! Uygulamamız çok yakında indirmeye hazır olacak, bekle bizi. 💙
App Store
Google Play
Uygulama çok kolay kullanılıyor ve güzel tasarlanmış. Şu ana kadar aradığım her şeyi buldum ve sunumlardan çok şey öğrendim! Kesinlikle ödevlerim için hep kullanacağım!
A.S.
iOS kullanıcısı
Uygulama çok iyi. Çok fazla ders notu ve yardımlaşma var. Örneğin benim problem yaşadığım bir ders Geometriydi ve ANINDA yardım ettiler beraber hem sorularımı çözdük hem konu anlatımı buldum. Herkese tavsiye ederim.
S.L.
Android kullanıcısı
BEN ŞOK. Reklamını sık sık gördüğüm için uygulamayı denedim ve gerçekten hayran kaldım. Bu uygulama okul için tam ihtiyacım olan şey. Anında ödev yardımı, konu anlatımı, örnek sınavlar, flaşkartlar hepsi hepsi var, şiddetle tavsiye ederim ✅
A.
iOS kullanıcısı
Knowunity'yi keşfedinceye kadar ödevlerimi zamanında tamamlamakta zorlanıyordum, Knowunity sadece kendi ders notlarımı yüklemeyi kolaylaştırmakla kalmıyor, aynı zamanda çalışmamı daha hızlı ve verimli hale getiren harika özetler de sunuyor.
Thomas R
iOS kullanıcısı
Ödevlerim için önemli bilgilerin tümünü bulmak her zaman bir zorluktu - Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, ders notlarımı kolayca yükleyebilir ve başkalarının özetlerinden faydalanabilirim, bu da organizasyon konusunda bana çok yardımcı oluyor.
Lisa M
Android kullanıcısı
Ders çalışırken genellikle yeterince genel bakışa sahip olmadığımı hissederdim, ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri bu artık sorun değil - ders notlarımı yüklüyorum ve platformda her zaman yardımcı özetler buluyorum, bu da öğrenmemi çok daha kolaylaştırıyor.
David K
iOS kullanıcısı
Uygulama acayip iyi! Konuyu yazıyorum hemen yanıt alıyorum. Bi şeyi anlamak için 10 tane youtube videosu izlemem gerekmiyor. Kesssinlikle tavsiye ederim!
Sudenaz Ocak
Android kullanıcısı
Matematikte baya kötüydüm ama bu uygulama sayesinde şimdi daha iyiyim. Uygulamayı yapanlara için çok teşekkürler!
G.B.
Android kullanıcısı
Sunumlarım için tüm bilgileri toplamak gerçekten zordu. Ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, notlarımı yüklüyorum ve başkalarından harika özetler buluyorum - bu da çalışmamı çok daha verimli hale getiriyor!
Julia S
Android kullanıcısı
Tüm çalışma materyalleriyle sürekli stres altındaydım, ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, notlarımı yüklüyor ve başkalarının harika özetlerine bakıyorum - her şeyi daha iyi yönetmemi sağlıyor ve çok daha az stresli.
Marco B
iOS kullanıcısı
Ödevlerim için doğru materyalleri bulmak her zaman zordu. Şimdi sadece notlarımı Knowunity'ye yüklüyorum ve başkalarından en iyi özetleri alıyorum - her şeyi daha hızlı anlamama yardımcı oluyor ve notlarımı yükseltiyor.
Sarah L
Android kullanıcısı
Eskiden okul materyallerini Google'da aramakla saatler harcardım, ama şimdi sadece notlarımı Knowunity'ye yüklüyorum ve başkalarının faydalı özetlerine bakıyorum - sınavlara hazırlanırken kendimi çok daha güvende hissediyorum.
Paul T
iOS kullanıcısı
Uygulama çok kolay kullanılıyor ve güzel tasarlanmış. Şu ana kadar aradığım her şeyi buldum ve sunumlardan çok şey öğrendim! Kesinlikle ödevlerim için hep kullanacağım!
A.S.
iOS kullanıcısı
Uygulama çok iyi. Çok fazla ders notu ve yardımlaşma var. Örneğin benim problem yaşadığım bir ders Geometriydi ve ANINDA yardım ettiler beraber hem sorularımı çözdük hem konu anlatımı buldum. Herkese tavsiye ederim.
S.L.
Android kullanıcısı
BEN ŞOK. Reklamını sık sık gördüğüm için uygulamayı denedim ve gerçekten hayran kaldım. Bu uygulama okul için tam ihtiyacım olan şey. Anında ödev yardımı, konu anlatımı, örnek sınavlar, flaşkartlar hepsi hepsi var, şiddetle tavsiye ederim ✅
A.
iOS kullanıcısı
Knowunity'yi keşfedinceye kadar ödevlerimi zamanında tamamlamakta zorlanıyordum, Knowunity sadece kendi ders notlarımı yüklemeyi kolaylaştırmakla kalmıyor, aynı zamanda çalışmamı daha hızlı ve verimli hale getiren harika özetler de sunuyor.
Thomas R
iOS kullanıcısı
Ödevlerim için önemli bilgilerin tümünü bulmak her zaman bir zorluktu - Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, ders notlarımı kolayca yükleyebilir ve başkalarının özetlerinden faydalanabilirim, bu da organizasyon konusunda bana çok yardımcı oluyor.
Lisa M
Android kullanıcısı
Ders çalışırken genellikle yeterince genel bakışa sahip olmadığımı hissederdim, ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri bu artık sorun değil - ders notlarımı yüklüyorum ve platformda her zaman yardımcı özetler buluyorum, bu da öğrenmemi çok daha kolaylaştırıyor.
David K
iOS kullanıcısı
Uygulama acayip iyi! Konuyu yazıyorum hemen yanıt alıyorum. Bi şeyi anlamak için 10 tane youtube videosu izlemem gerekmiyor. Kesssinlikle tavsiye ederim!
Sudenaz Ocak
Android kullanıcısı
Matematikte baya kötüydüm ama bu uygulama sayesinde şimdi daha iyiyim. Uygulamayı yapanlara için çok teşekkürler!
G.B.
Android kullanıcısı
Sunumlarım için tüm bilgileri toplamak gerçekten zordu. Ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, notlarımı yüklüyorum ve başkalarından harika özetler buluyorum - bu da çalışmamı çok daha verimli hale getiriyor!
Julia S
Android kullanıcısı
Tüm çalışma materyalleriyle sürekli stres altındaydım, ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, notlarımı yüklüyor ve başkalarının harika özetlerine bakıyorum - her şeyi daha iyi yönetmemi sağlıyor ve çok daha az stresli.
Marco B
iOS kullanıcısı
Ödevlerim için doğru materyalleri bulmak her zaman zordu. Şimdi sadece notlarımı Knowunity'ye yüklüyorum ve başkalarından en iyi özetleri alıyorum - her şeyi daha hızlı anlamama yardımcı oluyor ve notlarımı yükseltiyor.
Sarah L
Android kullanıcısı
Eskiden okul materyallerini Google'da aramakla saatler harcardım, ama şimdi sadece notlarımı Knowunity'ye yüklüyorum ve başkalarının faydalı özetlerine bakıyorum - sınavlara hazırlanırken kendimi çok daha güvende hissediyorum.
Paul T
iOS kullanıcısı
Belinay Öykü Karaman
@belinayykaraman
Matematik dünyasında sayılar ve kümeler, bütün matematiksel kavramların temel yapı taşlarıdır. Bu notta üslü sayılar, köklü sayılar ve kümeler konularında bilmeniz gereken önemli bilgileri bulacaksınız. Bu konuların günlük hayatımızda ve ileride öğreneceğiniz birçok matematik konusunda nasıl kullanıldığını göreceksiniz.
Tüm belgeleri görebilirsin
Notlarını Yükselt
Milyonlarca öğrenciye katıl
Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun
Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle belirli sayıda çarpılmasını kısaca göstermenin harika bir yoludur. Örneğin, 5'i 5 kere toplamak yerine 5⁵ yazabiliriz.
Üslü sayıların bazı temel kuralları vardır. Her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir . Negatif kuvvetler, sayının ters çevrilmiş halini gösterir. Negatif sayıların bütün kuvvetleri de pozitiftir (istisnalar dışında).
Üslü sayılarda işlemler yaparken, tabanlar aynı ise üsleri toplanır . Tabanlar farklı, üsler aynı ise tabanlar çarpılır . Bölmede ise tabanlar aynı ise üsler çıkarılır.
Püf Nokta: Çok büyük veya çok küçük sayıları belirtmek için bilimsel gösterim kullanılır . Bu yöntemi kullanarak karmaşık hesaplamaları daha kolay yapabilirsiniz.
Köklü sayılar aslında üslü sayıların farklı bir gösterimidir. Örneğin, 5^(2/3) = ∛(5²) şeklinde yazılabilir. Her köklü sayı bir üslü sayı olarak ifade edilebilir ve bu dönüşüm işlemleri kolaylaştırır.
Tüm belgeleri görebilirsin
Notlarını Yükselt
Milyonlarca öğrenciye katıl
Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun
Köklü sayıların gerçek sayı olup olmaması kök derecesine ve kök içindeki sayıya bağlıdır. Eğer kök derecesi tek ise, kök içindeki sayı her zaman gerçek sayıdır. Ancak kök derecesi çift ise, kök içindeki sayının pozitif olması gerekir.
Kök dışına çıkarma işlemi, köklü ifadeleri sadeleştirmek için çok kullanışlıdır. Örneğin, √4 = √(2²) = 2 veya ∛8 = ∛(2³) = 2 şeklinde sadeleştirilebilir. Bu işlem, özellikle karmaşık köklü ifadeleri çözerken zaman kazandırır.
Köklü ifadelerde işlem yaparken dikkat edilmesi gereken noktalar vardır. İki köklü sayının toplamı, toplamlarının kökü değildir (√1 + √3 ≠ √4). Çarpma ve bölme işlemlerinde ise daha basit kurallar geçerlidir: √x · √y = √(x·y) ve √x ÷ √y = √.
Önemli İpucu: Kökten kurtulmak için eşlenik alma yöntemini kullanabilirsiniz. √a'nın eşleniği -√a'dır. Paydada kök varsa, pay ve paydayı bu eşlenikle çarparak kökten kurtulabilirsiniz.
Köklü ifadelerin daha kolay hesaplanması için kök derecesini değiştirme işlemi de yapılabilir. Bu işlemle, √ = x^ şeklinde sadeleştirmeler yapabilirsiniz.
Tüm belgeleri görebilirsin
Notlarını Yükselt
Milyonlarca öğrenciye katıl
Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun
Kök derecesini değiştirme, köklü ifadelerle işlem yaparken çok kullanışlı bir tekniktir. Örneğin, ∛(2⁴) = 2^(4/3) = 4·∛2 şeklinde yazılabilir. Bu yöntemle karmaşık köklü ifadeler daha anlaşılır hale getirilebilir.
Köklü ifadelerde kökün içine girme ve kökün dışına çıkma işlemleri de önemlidir. Örneğin 3·∛2 ifadesini ∛(3³·2) = ∛54 şeklinde yazabiliriz. Bu dönüşümler, köklü ifadeleri sadeleştirmek veya işlemleri kolaylaştırmak için kullanılır.
İç içe kök içeren ifadelerde, en içteki kökten başlayarak sadeleştirme yapılır. Örneğin, ⁶√(60 + ⁶√(18 - 2∛2)) ifadesini sadeleştirirken önce 2∛2 = ∛54 olduğunu bulup, adım adım ilerlemelisiniz.
Kolay Çözüm: Kök içindeki köklerden kurtulmak için eşlenik alma yöntemini kullanabilirsiniz. Örneğin 1/√5 ifadesini (√5)/(5) şekline dönüştürebilirsiniz.
Eşlenik alma yöntemi özellikle paydada kök olan ifadelerde kullanışlıdır. √a + √b ifadesinin eşleniği √a - √b'dir ve bu iki ifadenin çarpımı a - b sonucunu verir.
Tüm belgeleri görebilirsin
Notlarını Yükselt
Milyonlarca öğrenciye katıl
Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun
Köklü sayılarla karşılaştırma yaparken, sayının hangi ardışık tam sayılar arasında olduğunu bulabilirsiniz. Örneğin, 2 < √5 < 3 çünkü 4 < 5 < 9. Kök dereceleri eşit olan ifadelerin karşılaştırılmasında, kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir.
Kümeler, iyi tanımlanmış nesneler topluluğudur. Bir kümeye ait nesnelere "eleman" denir ve a elemanı A kümesinin bir elemanıysa a ∈ A şeklinde gösterilir. Kümelerde her eleman yalnızca bir kez yazılır.
Kümeleri göstermek için üç farklı yöntem kullanılır: Liste yöntemi , ortak özellik yöntemi ve Venn şeması (kapalı eğri ile gösterim).
İyi Bilgi: Boş küme hiç elemanı olmayan kümedir ve ∅ veya {} şeklinde gösterilir. Evrensel küme ise işlem yapılan tüm kümeleri içine alan kümedir ve E ile gösterilir.
Kümelerde tümleyen, kesişim ve birleşim gibi temel işlemler vardır. Tümleyen, bir kümenin dışındaki tüm elemanlardan oluşur. Kesişim, ortak elemanlardan oluşurken, birleşim ise iki kümenin tüm elemanlarını içerir.
Tüm belgeleri görebilirsin
Notlarını Yükselt
Milyonlarca öğrenciye katıl
Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun
Aralıkların kesişimi, iki aralıkta da bulunan ortak sayılardan oluşur. Örneğin, a < x < b aralığı ile c ≤ x ≤ d aralığının kesişimi, bu iki aralıktaki ortak sayıları içerir. Aralıkların birleşimi ise, iki aralıktaki tüm sayıları kapsayan aralıktır.
Aralıkların tümleyeni, bir aralığın dışındaki sayılardan oluşur. Bir aralığın diğerinden farkı ise, birinci aralıkta olup ikinci aralıkta olmayan sayıları içerir. Bu kavramlar, matematik problemlerini çözerken sıklıkla kullanılır.
Mutlak değer, sayı doğrusu üzerindeki bir sayının 0'a olan uzaklığını ifade eder. Herhangi bir x sayısının mutlak değeri |x| şeklinde gösterilir ve x pozitifse x'e, negatifse -x'e eşittir.
Unutmayın: |a-b| = |b-a| olduğundan, iki sayı arasındaki uzaklığı bulmak için farkın mutlak değerini alabilirsiniz. Bu özellik, problemlerde mesafe hesaplamaları yaparken çok işinize yarayacaktır.
Mutlak değerle ilgili bazı önemli özellikler şunlardır: |x·y| = |x|·|y|, |x^n| = |x|^n ve |x| = 0 ise x = 0'dır. Mutlak değer içeren denklemleri çözerken, genellikle durumları ayırarak (x < 0 ve x ≥ 0 için ayrı ayrı) çözüm yapmak gerekir.
Tüm belgeleri görebilirsin
Notlarını Yükselt
Milyonlarca öğrenciye katıl
Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun
Kümelerde birleşim, kesişim ve fark işlemleri oldukça önemlidir. Birleşim (A ∪ B), her iki kümenin de tüm elemanlarını içerir. Kesişim (A ∩ B), yalnızca ortak elemanları alır. Tümleyen ise bir kümenin dışındaki tüm elemanları içerir.
Kümelerde De Morgan kuralları da önemlidir: C(A∩B) → A∪B ve C(A∪B) → A∩B. Bu kurallar, tümleyen işlemlerini dağıtarak küme işlemlerini basitleştirmenizi sağlar. Ayrıca, dağılma özellikleri de vardır: A∩(B∪C) → (A∩B)∪(A∩C).
Alt küme kavramı da önemlidir. Eğer A kümesinin her elemanı aynı zamanda B kümesinin de elemanıysa, A, B'nin alt kümesidir ve A⊂B şeklinde gösterilir. Her küme kendisinin alt kümesidir.
Pratik Bilgi: Rakamlar (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) sayıları yazmak için kullandığımız sembollerdir. Sayılar ise sayma ve ölçme için kullanılan matematiksel kavramlardır.
Sayı kümeleri şöyle sıralanabilir: Sayma Sayıları (N⁺), Doğal Sayılar (N), Tam Sayılar (Z), Rasyonel Sayılar (Q), İrrasyonel Sayılar (Q'), ve Gerçek Sayılar (R). Çift sayılar 2 ile tam bölünebilen, asal sayılar ise 1'den ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan 1'den büyük sayılardır.
Tüm belgeleri görebilirsin
Notlarını Yükselt
Milyonlarca öğrenciye katıl
Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun
Sayı doğrusu üzerinde iki nokta arasındaki uzaklığı mutlak değer kullanarak |a-b| şeklinde gösterebiliriz. Bu gösterim, pek çok matematik probleminde mesafeleri hesaplamak için kullanılır.
Bir aralığı mutlak değer kullanarak göstermek için önce aralığın orta noktasını bulmalıyız. Örneğin, C(-3,9) aralığını mutlak değerle göstermek için orta nokta (9+(-3))/2 = 3 bulunur. Ardından orta noktaya olan uzaklık 6 olduğundan, |x-3|=6 şeklinde gösterilir.
Genel olarak, aralığı mutlak değer gösteriminde |x-/2| = /2 şeklinde yazılabilir. Bu formül, herhangi bir aralığı mutlak değer kullanarak ifade etmenize olanak tanır.
Hızlı Yöntem: Bir aralığı mutlak değerle gösterirken, önce orta noktayı bulun, sonra kenar noktalardan birinin orta noktaya uzaklığını hesaplayın. Böylece |x-(orta nokta)| = uzaklık formülünü kolayca oluşturabilirsiniz.
Birleşim ve kesişim içeren aralıkları da mutlak değerle gösterebilirsiniz. Örneğin, C(-9,4) ∪ (8,∞) aralığını göstermek için, önce (-9,4) aralığının orta noktası ve uzaklığı bulunur, sonra tüm ifade mutlak değer kullanılarak yazılır.
Yapay zeka arkadaşımız öğrencilerin ihtiyaçlarına göre özel olarak tasarlanmıştır. Platformda bulunan milyonlarca içeriğe dayanarak öğrencilere gerçekten anlamlı ve ilgili yanıtlar verebiliyoruz. Ancak mesele sadece cevaplar değil, refakatçi aynı zamanda kişiselleştirilmiş öğrenme planları, sınavlar veya sohbet içerikleri ve öğrencilerin becerilerine ve gelişimlerine dayalı %100 kişiselleştirme ile öğrencilere günlük öğrenme zorluklarında rehberlik ediyor.
Uygulamayı Google Play Store ve Apple App Store'dan indirebilirsiniz.
Knowunity uygulaması ücretsiz! Uygulamamız çok yakında indirmeye hazır olacak, bekle bizi. 💙
8
Akıllı Araçlar YENİ
Bu notu şunlara dönüştür: ✓ 50+ Alıştırma Sorusu ✓ Etkileşimli Flash Kartları ✓ Tam Deneme Sınavı ✓ Kompozisyon Taslakları
App Store
Google Play
Uygulama çok kolay kullanılıyor ve güzel tasarlanmış. Şu ana kadar aradığım her şeyi buldum ve sunumlardan çok şey öğrendim! Kesinlikle ödevlerim için hep kullanacağım!
A.S.
iOS kullanıcısı
Uygulama çok iyi. Çok fazla ders notu ve yardımlaşma var. Örneğin benim problem yaşadığım bir ders Geometriydi ve ANINDA yardım ettiler beraber hem sorularımı çözdük hem konu anlatımı buldum. Herkese tavsiye ederim.
S.L.
Android kullanıcısı
BEN ŞOK. Reklamını sık sık gördüğüm için uygulamayı denedim ve gerçekten hayran kaldım. Bu uygulama okul için tam ihtiyacım olan şey. Anında ödev yardımı, konu anlatımı, örnek sınavlar, flaşkartlar hepsi hepsi var, şiddetle tavsiye ederim ✅
A.
iOS kullanıcısı
Knowunity'yi keşfedinceye kadar ödevlerimi zamanında tamamlamakta zorlanıyordum, Knowunity sadece kendi ders notlarımı yüklemeyi kolaylaştırmakla kalmıyor, aynı zamanda çalışmamı daha hızlı ve verimli hale getiren harika özetler de sunuyor.
Thomas R
iOS kullanıcısı
Ödevlerim için önemli bilgilerin tümünü bulmak her zaman bir zorluktu - Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, ders notlarımı kolayca yükleyebilir ve başkalarının özetlerinden faydalanabilirim, bu da organizasyon konusunda bana çok yardımcı oluyor.
Lisa M
Android kullanıcısı
Ders çalışırken genellikle yeterince genel bakışa sahip olmadığımı hissederdim, ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri bu artık sorun değil - ders notlarımı yüklüyorum ve platformda her zaman yardımcı özetler buluyorum, bu da öğrenmemi çok daha kolaylaştırıyor.
David K
iOS kullanıcısı
Uygulama acayip iyi! Konuyu yazıyorum hemen yanıt alıyorum. Bi şeyi anlamak için 10 tane youtube videosu izlemem gerekmiyor. Kesssinlikle tavsiye ederim!
Sudenaz Ocak
Android kullanıcısı
Matematikte baya kötüydüm ama bu uygulama sayesinde şimdi daha iyiyim. Uygulamayı yapanlara için çok teşekkürler!
G.B.
Android kullanıcısı
Sunumlarım için tüm bilgileri toplamak gerçekten zordu. Ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, notlarımı yüklüyorum ve başkalarından harika özetler buluyorum - bu da çalışmamı çok daha verimli hale getiriyor!
Julia S
Android kullanıcısı
Tüm çalışma materyalleriyle sürekli stres altındaydım, ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, notlarımı yüklüyor ve başkalarının harika özetlerine bakıyorum - her şeyi daha iyi yönetmemi sağlıyor ve çok daha az stresli.
Marco B
iOS kullanıcısı
Ödevlerim için doğru materyalleri bulmak her zaman zordu. Şimdi sadece notlarımı Knowunity'ye yüklüyorum ve başkalarından en iyi özetleri alıyorum - her şeyi daha hızlı anlamama yardımcı oluyor ve notlarımı yükseltiyor.
Sarah L
Android kullanıcısı
Eskiden okul materyallerini Google'da aramakla saatler harcardım, ama şimdi sadece notlarımı Knowunity'ye yüklüyorum ve başkalarının faydalı özetlerine bakıyorum - sınavlara hazırlanırken kendimi çok daha güvende hissediyorum.
Paul T
iOS kullanıcısı
Uygulama çok kolay kullanılıyor ve güzel tasarlanmış. Şu ana kadar aradığım her şeyi buldum ve sunumlardan çok şey öğrendim! Kesinlikle ödevlerim için hep kullanacağım!
A.S.
iOS kullanıcısı
Uygulama çok iyi. Çok fazla ders notu ve yardımlaşma var. Örneğin benim problem yaşadığım bir ders Geometriydi ve ANINDA yardım ettiler beraber hem sorularımı çözdük hem konu anlatımı buldum. Herkese tavsiye ederim.
S.L.
Android kullanıcısı
BEN ŞOK. Reklamını sık sık gördüğüm için uygulamayı denedim ve gerçekten hayran kaldım. Bu uygulama okul için tam ihtiyacım olan şey. Anında ödev yardımı, konu anlatımı, örnek sınavlar, flaşkartlar hepsi hepsi var, şiddetle tavsiye ederim ✅
A.
iOS kullanıcısı
Knowunity'yi keşfedinceye kadar ödevlerimi zamanında tamamlamakta zorlanıyordum, Knowunity sadece kendi ders notlarımı yüklemeyi kolaylaştırmakla kalmıyor, aynı zamanda çalışmamı daha hızlı ve verimli hale getiren harika özetler de sunuyor.
Thomas R
iOS kullanıcısı
Ödevlerim için önemli bilgilerin tümünü bulmak her zaman bir zorluktu - Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, ders notlarımı kolayca yükleyebilir ve başkalarının özetlerinden faydalanabilirim, bu da organizasyon konusunda bana çok yardımcı oluyor.
Lisa M
Android kullanıcısı
Ders çalışırken genellikle yeterince genel bakışa sahip olmadığımı hissederdim, ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri bu artık sorun değil - ders notlarımı yüklüyorum ve platformda her zaman yardımcı özetler buluyorum, bu da öğrenmemi çok daha kolaylaştırıyor.
David K
iOS kullanıcısı
Uygulama acayip iyi! Konuyu yazıyorum hemen yanıt alıyorum. Bi şeyi anlamak için 10 tane youtube videosu izlemem gerekmiyor. Kesssinlikle tavsiye ederim!
Sudenaz Ocak
Android kullanıcısı
Matematikte baya kötüydüm ama bu uygulama sayesinde şimdi daha iyiyim. Uygulamayı yapanlara için çok teşekkürler!
G.B.
Android kullanıcısı
Sunumlarım için tüm bilgileri toplamak gerçekten zordu. Ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, notlarımı yüklüyorum ve başkalarından harika özetler buluyorum - bu da çalışmamı çok daha verimli hale getiriyor!
Julia S
Android kullanıcısı
Tüm çalışma materyalleriyle sürekli stres altındaydım, ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, notlarımı yüklüyor ve başkalarının harika özetlerine bakıyorum - her şeyi daha iyi yönetmemi sağlıyor ve çok daha az stresli.
Marco B
iOS kullanıcısı
Ödevlerim için doğru materyalleri bulmak her zaman zordu. Şimdi sadece notlarımı Knowunity'ye yüklüyorum ve başkalarından en iyi özetleri alıyorum - her şeyi daha hızlı anlamama yardımcı oluyor ve notlarımı yükseltiyor.
Sarah L
Android kullanıcısı
Eskiden okul materyallerini Google'da aramakla saatler harcardım, ama şimdi sadece notlarımı Knowunity'ye yüklüyorum ve başkalarının faydalı özetlerine bakıyorum - sınavlara hazırlanırken kendimi çok daha güvende hissediyorum.
Paul T
iOS kullanıcısı
