Çarpanlar ve Katlar

Çarpanlar ve katlar konusu matematik dersinin temel yapıtaşlarından biridir. Bir sayının çarpanları, o sayıyı tam olarak bölen sayılardır.

Pozitif bir tam sayının en küçük çarpanı 1, en büyük çarpanı ise kendisidir. Örneğin, 12 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Sadece 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan sayılar asal sayılardır. 2, 3, 5, 7 bunlara örnektir.

İki sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne EBOB (En Büyük Ortak Bölen) denir. Bunu büyük parça verilip küçük parçası istendiğinde kullanırsın. Benzer şekilde, iki sayının ortak katlarının en küçüğüne EKOK (En Küçük Ortak Kat) denir. Bunu da küçük parça verilip büyük parça istendiğinde kullanırsın.

İpucu: Aralarında asal sayıların EBOB'u 1'dir, EKOK'u ise bu sayıların çarpımına eşittir. Ardışık iki sayı her zaman aralarında asaldır!

Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için çarpan ağacı veya asal çarpan algoritması kullanabilirsin. Örneğin, 36 = 2²·3² veya 24 = 2³·3 şeklinde yazılabilir.

Üslü İfadeler

Bir sayının kendisi ile kaç kez çarpılacağını gösteren gösterime üslü ifade denir. Üslü ifadeler, büyük sayılarla çalışırken işimizi kolaylaştırır.

Üslü ifadelerin bazı önemli özellikleri vardır. Örneğin, sıfır hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 1'dir $a⁰ = 1$. Tüm sayıların 1. kuvveti kendisine eşittir $a¹ = a$. Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatif sonuç verir.

Negatif üs alırken, sayının çarpma işlemine göre tersini alıp üssü pozitif yapmalısın: a⁻ᵇ = $1/a$ᵇ. Örneğin, 8⁻⁶ = (1/8)⁶ veya (1/3)⁻³ = 3³ gibi.

Üslü ifadelerle çarpma işleminde:

• Tabanlar aynıysa, üsler toplanır: 2³·2⁸ = 2¹¹
• Üsler aynıysa, tabanlar çarpılır: 3⁷·5⁷ = 15⁷

Unutma: Bilimsel gösterimde sayılar a×10ⁿ şeklinde yazılır. Burada 1≤|a|<10 ve n bir tam sayıdır. Örneğin, ışık hızı: 3·10⁵ km/sn veya Türkiye'nin yüzölçümü: 8,14578·10¹¹ m².

Kareköklü İfadeler

Bir sayının karesi olduğunu belirlemek için kullanılan işleme karekök alma denir. Karekök işareti √ ile gösterilir. Örneğin, √16 = 4 $çünkü 4² = 16$.

Bazı sayılar tam kare değildir. Karekökü pozitif tam sayı olan sayılara tam kare veya karesel sayılar denir. Örneğin, 1, 4, 9, 16, 25, 36 tam kare sayılardır. 0 tam kare değildir!

Kareköklü ifadelerle işlem yaparken:

• Çarpmada: 8√5·4√3 = 32√15
• Bölmede: 12√6÷6√3 = 2√2
• Toplama/çıkarmada kök içindeki sayılar aynı olmalı: 4√3+5√3 = 9√3

İrrasyonel sayılar (√5, π gibi), a/b şeklinde yazılamaz ve karekök dışına çıkamazlar. Virgülden sonraki basamaklar düzensiz devam eder.

Pratik Bilgi: Tam kare olmayan sayıların karekökünün hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmak için, verilen sayıya en yakın iki tam kare sayıyı bulabilirsin. Örneğin, √36<√46<√49 olduğundan 6<√46<7 olur.

Veri Analizi

Veri analizi, bilgileri görselleştirmemize ve yorumlamamıza yardımcı olur. Bu konuda en çok çizgi grafiği, sütun grafiği ve daire grafiği kullanılır.

Çizgi grafiği, zaman içindeki değişimleri göstermek için idealdir. Örneğin, Karaman ve Samsun'un bir haftalık sıcaklık değişimlerini çizgi grafiğiyle gösterebiliriz. Grafikteki çizgilerin yükselişi ve düşüşü, sıcaklıktaki değişimi gösterir.

Sütun grafiği ise kategorilere göre verileri karşılaştırmak için kullanılır. Yayınevlerinin sattıkları kitap sayılarını sütun grafiğiyle kolayca gösterebilirsin. Her sütunun yüksekliği, satış miktarını temsil eder.

Bazen sütun grafiğini daire grafiğine dönüştürmen gerekebilir. Bunun için:

1. Tüm verilerin toplamını bulursun
2. Her veri için açı hesaplarsın: Veri × 360° ÷ Toplam

Grafiklerle Çalışırken: Her grafiğin amacına uygun kullanıldığından emin ol. Zaman içinde değişim için çizgi grafiği, kategorik karşılaştırmalar için sütun grafiği, oranları göstermek için daire grafiği en uygunudur.

Basit Olayların Olma Olasılığı

Olasılık, günlük hayatta çok işimize yarayan bir konudur. Bir olayın gerçekleşme durumunun matematiksel değerine olasılık denir.

Bir deneyde elde edilebilecek sonuçların her birine çıktı denir. Deney sonucunda olması istenen duruma ise olay diyoruz. Bir olayın olma olasılığı şu formülle hesaplanır:

Olasılık = İstenilen olası durumların sayısı / Tüm olası durumların sayısı

Olasılıklar 0 ile 1 arasında değer alır. Olma olasılığı 0 (%0) olan olaya imkânsız olay, olma olasılığı 1 (%100) olan olaya ise kesin olay denir.

Örneğin, bir zar atıldığında çift sayı gelme olasılığı: O(A) = 3/6 = 1/2 = %50'dir. Çünkü istenilen olası durumlar 2, 4, 6 (toplam 3 durum) ve tüm olası durumlar 1, 2, 3, 4, 5, 6 (toplam 6 durum).

Olasılık Hesaplarken: Tüm olası durumların eşit şansa sahip olduğundan emin ol. Olasılık hesaplarken pay ve paydayı doğru belirlediğinden emin olmalısın!

Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler

Cebirsel ifadeler, matematiğin problemleri daha kolay çözmemizi sağlayan güçlü araçlarıdır. Bilinmeyenin tüm değerleri için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

Bir cebirsel ifadede her toplama veya çıkarma işlemiyle ayrılmış parçaya terim denir. Örneğin, 4x+30-5 ifadesinde 4x, 30 ve -5 terimlerdir. İçinde değişken bulunmayan terime sabit terim denir. Değişkeni aynı olan terimlere benzer terim denir (2x, 3x, 6a gibi).

En önemli özdeşlikler:

• İki terimin toplamının karesi: $a+b$² = a²+2ab+b²
• İki terimin farkının karesi: $a-b$² = a²-2ab+b²
• İki kare farkı: a²-b² = $a+b$$a-b$

Ortak çarpan parantezine alma işlemi, cebirsel ifadelerin tüm terimlerinde bulunan ortak çarpanların parantez dışına alınarak çarpım halinde yazılmasıdır. Örneğin, 6x+3x² = 3x$2+x$.

Özdeşlikleri Kullanırken: Bu özdeşlikleri ezberlemek yerine geometrik olarak anlamaya çalış. Örneğin, $a+b$² formülünü bir karenin alanı olarak düşünebilirsin.

Doğrusal Denklemler

İçinde bir bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin kuvveti 1 olan denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. Örneğin, 3x+5=8 bir doğrusal denklemdir ve çözümü x=1'dir.

Doğrusal denklemlerin grafikleri düz çizgi (doğrusal) şeklindedir. y = mx + n biçimindeki doğruların eğimi x'in katsayısına (m) eşittir. Koordinat sisteminde sağa yatık doğruların eğimi pozitif, sola yatık doğruların eğimi negatiftir.

Önemli bilgiler:

• x = a biçimindeki denklemler y eksenine paraleldir
• y = b biçimindeki denklemler x eksenine paraleldir
• x eksenine paralel doğruların eğimi "0"dır
• y eksenine paralel doğruların eğimi tanımsızdır
• y = ax (a≠0) biçimindeki doğrular orijinden geçer
• y = ax + b (a,b≠0) biçimindeki denklemler eksenleri keser

Dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranına eğim denir. Örneğin, 10 metrelik bir yükseklik ve 20 metrelik yatay uzunluk için eğim: m = 10/20 = %50 olur.

Eşitsizlikler

İçinde >, <, ≥, ≤ sembolleri bulunan ifadelere eşitsizlik denir. Eşitsizlikler günlük hayatta karşılaştığımız birçok problemde kullanılır.

Eşitsizlikler sayı doğrusunda gösterilirken:

• , < işareti için eşitsizliğin sınırı olan nokta içi boş olarak çizilir

• ≥, ≤ işareti için eşitsizliğin sınırı olan nokta içi dolu olarak çizilir

Eşitsizlikleri çözerken dikkat edilmesi gereken kurallar:

• Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya çıkarılabilir
• Her iki taraf aynı pozitif sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir
• Her iki taraf aynı negatif sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir

Örnek: 2x+5>4 eşitsizliğini çözelim. 2x>4-5 2x>-1 x>-1/2

Günlük Hayatta Eşitsizlikler: "Enes'in yaşının 2 katının 3 fazlası 25'ten küçüktür" gibi bir ifadeyi 2x+3<25 şeklinde matematiksel olarak gösterebilirsin. Eşitsizlikler, alt ve üst sınırları belirlemede çok kullanışlıdır.

Üçgenler

Üçgenler geometrinin temel yapı taşlarından biridir ve birçok özel elemanı vardır.

Kenarortay, üçgenin kenarlarının orta noktalarını karşı köşelere birleştiren doğru parçalarıdır. Kenarortaylar üçgenin iç bölgesinde kesişirler.

Açıortay, açıyı iki eşit parçaya ayıran doğru parçasıdır. Açıortaylar da üçgenin iç bölgesinde kesişirler.

Yükseklik, üçgenin herhangi bir köşesinden karşı kenara indirilen dikmedir.

Üçgenlerde önemli bağıntılar:

• Eşkenar üçgende yükseklik = kenarortay = açıortay
• Kenarlar arasında bağıntı: m(A) > m(B) > m(C) ise a > b > c
• Üçgen eşitsizliği: a+c > b > |a-c| ve a+b > c > |a-b| ve a+c > a > |b-c|

Bir üçgen, aşağıdaki durumlardan biri verildiğinde çizilebilir:

• Üç kenar uzunluğu
• Bir kenar uzunluğu ve iki açısının ölçüsü
• İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü

İlginç Bilgi: Üçgenin bir köşesinden çizilen yükseklik, kenarortay ve açıortay arasında her zaman belirli bir sıralama vardır: Yükseklik ≤ Açıortay ≤ Kenarortay şeklindedir.

Dik Üçgen ve Pisagor Bağıntısı

Dik üçgen, bir açısı 90° olan üçgendir. Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs, diğer iki kenara dikkenar denir.

Pisagor Bağıntısı, dik üçgenlerde dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamının hipotenüsün uzunluğunun karesine eşit olduğunu söyler. Formülü: a² = b² + c² şeklindedir.

Özel üçgenler şunlardır:

• 3k-4k-5k üçgeni: 3² + 4² = 5² $örn. 3-4-5, 6-8-10, 9-12-15$
• 5k-12k-13k üçgeni: 5² + 12² = 13² $örn. 5-12-13, 10-24-26$
• 7k-24k-25k üçgeni: 7² + 24² = 25² $örn. 7-24-25, 14-48-50$
• 8k-15k-17k üçgeni: 8² + 15² = 17² $örn. 8-15-17, 16-30-34$

Geniş açılı üçgenlerde (m(A) > 90°) a² > b²+c² olurken, dar açılı üçgenlerde (m(A) < 90°) a² < b²+c² olur.

Hayatta Pisagor: Pisagor bağıntısı sadece matematik dersinde değil, mühendislik, mimari ve günlük hayatta da kullanılır. Örneğin, bir merdiven kurarken, iki bina arasındaki uzaklığı hesaplarken veya televizyon ekranının boyutunu belirlerken Pisagor teoreminden yararlanılır.