Doğal Sayının Çarpanları (Bölenleri)

Bir sayıyı tam bölebilen sayılara o sayının bölenleri veya çarpanları denir. Örneğin 40 sayısının çarpanları 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 ve 40'tır.

Bölenleri bulurken sayıyı sırayla böleriz. Örneğin 12'nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Bir sayının daima en küçük böleni 1, en büyük böleni ise kendisidir.

Bir sayının kaç tane böleni olduğunu bulmak için sistematik olarak bölen sayıları yazmak gerekir. Örneğin 48'in 10 tane böleni vardır.

İpucu: Bir sayının bölenlerini belirlerken küçükten büyüğe doğru sayıları deneyerek ilerleyebilirsin. Eğer bir sayı bölen çıkarsa, o bölüm değeri de bir bölendir. Örneğin 20 ÷ 4 = 5 ise, hem 4 hem de 5 sayısı 20'nin bölenidir.

Asal Sayılar

Asal sayılar, sadece 1 ve kendisine bölünebilen sayılardır. En küçük asal sayı 2'dir ve tek çift asal sayıdır. 50'ye kadar asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Aralarında asal sayılar ise ortak bölenleri sadece 1 olan sayılardır. Örneğin 4 ve 5 sayıları aralarında asaldır çünkü ortak bölenleri yalnızca 1'dir. Ardışık sayılar her zaman aralarında asaldır.

Bir sayı çiftinin aralarında asal olup olmadığını anlamak için ortak bölenlerini buluruz. Eğer ortak bölenleri sadece 1 ise aralarında asaldır. Örneğin 10 ile 21 sayıları aralarında asaldır.

Not: İki sayının aralarında asal olması için her ikisinin de asal sayı olması gerekmez. Önemli olan ortak bölenlerinin sadece 1 olmasıdır.

Bir Doğal Sayının Asal Çarpanları

Bir sayının asal çarpanları, o sayıyı bölen asal sayılardır. Asal çarpanlara ayırmak için iki yöntem kullanabiliriz.

1. Yöntem (Çarpan Ağacı): Sayıyı en küçük asal sayılardan başlayarak bölmeye çalışırız. Örneğin 36 sayısı için:

36
├─ 2
└─ 18
   ├─ 2
   └─ 9
      ├─ 3
      └─ 3

36 = 2² × 3² şeklinde yazılır. Bu sayının asal çarpanları 2 ve 3'tür.

2. Yöntem (Asal Çarpan Algoritması): Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak sırayla böleriz ve 1 kalıncaya kadar devam ederiz. Bölen asal sayılar çarpıldığında orijinal sayıyı verir.

Pratik bilgi: Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırdığınızda, bu asal çarpanları üslü şekilde yazabilirsiniz. Örneğin 28 = 2² × 7 şeklinde yazılır ve asal çarpanları 2 ve 7'dir.

Asal Çarpanlar Çalışma Kağıdı

Sayıları asal çarpanlarına ayırarak üslü şekilde yazabiliriz. Örneğin:

• 98 = 2 × 49 = 2 × 7² şeklinde yazılabilir. Asal çarpanları 2 ve 7'dir.
• 90 = 2 × 45 = 2 × 3² × 5 şeklinde yazılabilir. Asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.

Asal çarpanlara ayırma işlemi çarpan ağacı oluşturarak kolayca yapılabilir. Bu yöntemde sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye çalışırız.

Büyük sayıları asal çarpanlara ayırmak için sistematik çalışmalıyız. Örneğin 225 = 3² × 5² şeklinde yazılabilir. Asal çarpanları 3 ve 5'tir.

Uygulama: Öğrendiğin yöntemlerle 176 ve 480 sayılarını asal çarpanlarına ayırmayı dene. Üslü şeklini yazmayı unutma!

EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

EBOB, iki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür ve EBOB(a, b) şeklinde gösterilir. EBOB'u bulmanın iki yöntemi vardır:

1. Yöntem: Sayıların bölenlerini yazıp ortak olanların en büyüğünü buluruz. Örneğin: 36'nın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 40'ın bölenleri: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 EBOB(36, 40) = 4

2. Yöntem: Sayıları asal çarpanlarına ayırıp her iki sayıyı da bölen asal sayıları bulup çarparız. Bu daha pratik bir yöntemdir. Örneğin:

36  40
18  20 | 2
 9  10 | 2
 3   5 | 3
 1   5 | 3
     1 | 5

EBOB(36, 40) = 2² × 1 = 4

Kolay yol: Birbirinin tam katı olan sayılarda EBOB her zaman küçük sayıya eşittir. Örneğin EBOB(15, 45) = 15.

EBOB Hesaplama Teknikleri

Birbirinin tam katı olan sayılarda EBOB her zaman küçük sayıya eşittir. Örneğin:

• EBOB(24, 96) = 24
• EBOB(12, 84) = 12
• EBOB(30, 90) = 30

Üslü ifade şeklinde verilen sayıların EBOB'unu bulmak için sayıları çarparak hesaplamaya gerek yoktur. Aynı tabana sahip sayıların kuvveti küçük olanı seçip çarparak EBOB bulunur.

Örneğin, A = 2³·3³·5 ve B = 2·3²·5² için:

• Taban 2 için küçük olan kuvvet: 2¹
• Taban 3 için küçük olan kuvvet: 3²
• Taban 5 için küçük olan kuvvet: 5¹
• EBOB(A, B) = 2¹·3²·5¹ = 90

Pratik bilgi: Üslü ifadelerle verilen sayılarda EBOB hesaplarken, ortak tabanların en küçük kuvvetlerini alıp çarparız. Bu yöntem hesaplamayı çok kolaylaştırır.

EKOK (En Küçük Ortak Kat)

EKOK, iki ya da daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür ve EKOK(A, B) şeklinde gösterilir. EKOK'u bulmanın iki yöntemi vardır:

1. Yöntem: Sayıların katlarını yazıp ilk ortak katı buluruz. Örneğin: 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 8'in katları: 8, 16, 24, 32, 40, 48 EKOK(6, 8) = 24

2. Yöntem: Sayıları asal çarpanlarına ayırıp tüm asal çarpanları çarparak EKOK bulunur. Örneğin 9 ile 12 sayıları için:

12   9
 6   9  | 2
 3   9  | 2
 3   3  | 3
 1   1  | 3

EKOK(9, 12) = 2² × 3² = 36

İpucu: EKOK ve EBOB arasında şu ilişki vardır: İki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir. Yani a × b = EBOB(a,b) × EKOK(a,b).

EKOK Hesaplama Teknikleri

Birbirinin tam katı olan sayılarda EKOK her zaman büyük sayıya eşittir. Örneğin:

• EKOK(18, 90) = 90
• EKOK(12, 60) = 60
• EKOK(10, 90) = 90

Üslü ifade şeklinde verilen sayıların EKOK'unu bulmak için sayıları çarparak hesaplamaya gerek yoktur. Aynı tabana sahip sayıların üssü büyük olanını ve farklı tabanların tümünü çarparak EKOK bulunur.

Örneğin, A = 2²·3³·5 ve B = 2·3² için:

• Taban 2 için büyük olan kuvvet: 2²
• Taban 3 için büyük olan kuvvet: 3³
• Taban 5: 5¹ (sadece A'da var)
• EKOK(A, B) = 2²·3³·5¹ = 540

Hatırlatma: Aralırında asal sayıların EBOB'u 1, EKOK'u ise çarpımlarıdır. Örneğin, 4 ve 5 için EBOB = 1 ve EKOK = 4 × 5 = 20.

EBOB ve EKOK ile İlgili Özel Durumlar

Aralarında asal iki sayı için özel durumlar:

• EBOB(a, b) = 1
• EKOK(a, b) = a × b
• a × b = EBOB(a, b) × EKOK(a, b)

Bu özellikler problemleri çözmemize yardımcı olur. Örneğin:

• Aralarında asal iki sayının EKOK'u ve toplamı 21 ise, sayılardan biri 4 olduğunda diğeri 5'tir.
• Aralarında asal iki sayının EBOB'u ve EKOK'u toplamı 106 ise, sayılardan biri 7 olduğunda diğeri 15'tir.

Bu tip problemlerde genellikle EBOB ve EKOK özelliklerini kullanarak bilinmeyen sayıları bulabiliriz. Aralarında asal sayılar için EKOK = a × b olduğunu unutmayalım.

Problem çözme taktiği: EBOB ve EKOK ile ilgili problemlerde, aralarında asal sayılar özel bir durum oluşturur. Bu durumu tespit ettiğinizde çözüm daha kolay hale gelir.

EBOB Problemleri

EBOB genellikle "bütünden parçaya" ayırma problemlerinde kullanılır. Anahtar kelime "eşit" olan durumlarda EBOB kullanılır:

• Eşit büyüklükte poşetlere bölme
• Eşit aralıklarla ağaç dikme
• Zemine eşit büyüklükte fayans döşeme
• Kumaşı eşit parçalara ayırma

Örnek problem: 40 kg ve 48 kg ağırlığında iki torba soğan eşit büyüklükteki poşetlere konulacaktır. a) Poşetler en fazla kaç kg olur? b) En az kaç poşete ihtiyaç vardır?

Çözüm: a) EBOB(40, 48) = 8 olduğundan poşetler en fazla 8 kg olur. b) 40 ÷ 8 = 5 poşet, 48 ÷ 8 = 6 poşet. Toplam 11 poşet gerekir.

Püf noktası: Bir bahçenin etrafına eşit aralıklarla dikilecek ağaç sayısını bulmak için: Toplam Ağaç Sayısı = Çevre ÷ EBOB(kenar uzunlukları) formülü kullanılır.