Doğal Sayılar ve Temel Kavramlar

Sayıları yazmak için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerine rakam denir. Bu rakamların yazıldığı yerlere basamak, üçlü gruplar halinde ayrılan bölümlere ise bölük denir.

Doğal sayılar okunurken önce bölükteki sayı, sonra bölüğün ismi söylenir. Örneğin 70.004.640 sayısı "yetmiş milyon dört bin altı yüz kırk" şeklinde okunur. Sadece birler bölüğünde bölük adı söylenmez.

Her rakamın iki değeri vardır: sayı değeri (rakamın kendisi) ve basamak değeri (bulunduğu basamağa göre değeri). Mesela 427.901.863 sayısındaki 7'nin sayı değeri 7, basamak değeri ise 7.000.000'dur.

İpucu: Bir sayının çözümlemesi, rakamların basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılmasıdır. Örnek: 5.210.005 = 5.000.000 + 200.000 + 10.000 + 5

Üslü İfadeler ve İşlem Önceliği

Üslü ifade, bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımının kısa yazılış şeklidir. 2⁷ ifadesinde 2 taban, 7 ise üs (kuvvet) olarak adlandırılır. Bu "iki üssü yedi" veya "ikinin yedinci kuvveti" şeklinde okunur.

Önemli kurallar: 1'in tüm kuvvetleri 1'dir. Sıfır hariç her sayının 0. kuvveti 1'dir (3⁰ = 1). Her sayının 1. kuvveti kendisine eşittir. Kare (üssü 2) ve küp (üssü 3) özel isimleri olan üslü ifadelerdir.

İşlem önceliği şöyledir: 1) Üslü ifadeler 2) Parantez içi 3) Çarpma-Bölme 4) Toplama-Çıkarma. Çarpma-bölme veya toplama-çıkarma aynı anda varsa soldan sağa işlem yapılır.

10'un kuvvetleri özeldir: 10² = 100 (iki sıfır), 10³ = 1000 (üç sıfır). Basamak sayısı kuvvetin bir fazlasına eşittir.

Not: İşlem yaparken öncelik sırasını unutma! Parantez varsa önce onu çöz.

Kalansız Bölünebilme Kuralları

Bölünebilme kuralları sayıları hızlıca kontrol etmeni sağlar. 2 ile bölünme: Birler basamağı 0, 2, 4, 6, 8 ise bölünür. 3 ile bölünme: Rakamlar toplamı 3'ün katı ise bölünür. 5 ile bölünme: Birler basamağı 0 veya 5 ise bölünür.

4 ile bölünme: Son iki basamak 4'ün katı veya 00 ise bölünür. 6 ile bölünme: Hem 2 hem 3 ile bölünür ise bölünür. 9 ile bölünme: Rakamlar toplamı 9'un katı ise bölünür. 10 ile bölünme: Birler basamağı 0 ise bölünür.

Çarpanlar bir sayıyı tam bölen sayılardır. Katlar ise o sayının 1, 2, 3... ile çarpımlarından oluşur. Her sayının en küçük çarpanı 1, en büyük çarpanı kendisidir.

Asal sayılar sadece 1 ve kendisiyle bölünebilen, 1'den büyük sayılardır. 2 tek çift asal sayıdır. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... şeklinde devam eder.

Dikkat: Hem 2 hem 5 ile bölünmesi için birler basamağı mutlaka 0 olmalı!

Asal Çarpanlara Ayırma ve Ortak Kavramlar

Asal çarpanlara ayırma bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazma işlemidir. Bunu bölen listesi veya çarpan ağacı yöntemiyle yapabilirsin. Örneğin 48 = 2⁴ × 3¹ şeklinde yazılır.

Ortak bölen iki sayıyı aynı anda bölebilen sayılardır. İki sayının en küçük ortak böleni her zaman 1'dir. Ortak katlar ise iki sayının ortak olan katlarıdır.

İki sayının ortak bölenlerini bulmak için her iki sayının bölenlerini listele, ortak olanları seç. Ortak katları bulmak için ise en küçük ortak katın katlarını yazarsın.

Ortak katlar belirli aralıklarla tekrar eder. Örneğin 6 ve 10'un ortak katları 30, 60, 90, 120... şeklinde 30'ar artarak devam eder.

Pratik: Asal çarpanlara ayırırken küçük asal sayılardan (2, 3, 5...) başla!

Tam Sayılar ve Mutlak Değer

Tam sayılar negatif sayılar, sıfır ve pozitif sayıların birleşimidir. ...−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3... şeklinde sayı doğrusunda gösterilir. Z harfi ile gösterilir. Sıfır ne pozitif ne negatiftir.

Mutlak değer bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır ve |−12| = 12, |6| = 6 şeklinde yazılır. Mutlak değer her zaman pozitiftir.

Aynı işaretli tam sayılar toplanırken mutlak değerleri toplanır, ortak işaret sonuca yazılır. Farklı işaretli sayılar toplanırken büyük mutlak değerden küçüğü çıkarılır, büyük olanın işareti sonuca yazılır.

Toplama özellikleri: Değişme özelliği (yer değiştirme), birleşme özelliği (gruplama), etkisiz eleman (0), ters eleman (zıt işaretli) vardır.

Hatırla: (+3) + (−9) = −(9−3) = −6 gibi işaret kurallarını uygula!

Tam Sayılarla Çıkarma ve Çarpma

Çıkarma işlemi çıkan sayının tersini ekleme şeklinde yapılır. (+1) − (−4) = (+1) + (+4) = 5 gibi. Çıkarmanın değişme özelliği yoktur.

Çarpma işaret kuralları: Aynı işaretlilerin çarpımı pozitif, farklı işaretlilerin çarpımı negatiftir. (+) × (+) = (+), (−) × (−) = (+), (+) × (−) = (−) şeklinde.

"Dostumun dostu dostumdur" mantığıyla hatırla: Pozitif dostun, negatif düşman gibi düşün. Dostun dostu = dostun, düşmanın düşmanı = dostun, dostun düşmanı = düşmanın.

Çarpma özellikleri: Değişme, birleşme, etkisiz eleman (1), yutan eleman (0) ve dağılma özelliği vardır. Bir sayının (−1) ile çarpımı o sayının tersidir.

İpucu: İşaret belirledikten sonra sayıları çarp: (−4) × (−6) = +(4×6) = +24

Tam Sayılarla Bölme ve Kuvvet

Bölme işaret kuralları çarpma ile aynıdır. Aynı işaretlilerin bölümü pozitif, farklı işaretlilerin bölümü negatiftir. (+8) ÷ (−2) = −4 gibi.

Tam sayıların kuvveti alınırken işaret kurallarına dikkat et. Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir. Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.

Parantez çok önemli: (−6)² = 36 ama −6² = −36'dır. Parantez varsa önce üs işlemi, parantez yoksa önce kuvvet sonra eksi işareti uygulanır.

Bir sayının 1'e bölümü kendisine, (−1)'e bölümü ise tersine eşittir. Sıfırın bir sayıya bölümü sıfır, bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

Dikkat: (−5)² = 25 ama −5² = −25! Paranteze çok dikkat et.

Rasyonel Sayılara Giriş

Rasyonel sayılar a/b şeklinde yazılabilen sayılardır (b ≠ 0). Q harfi ile gösterilir. Her tam sayı aynı zamanda rasyonel sayıdır çünkü 5 = 5/1 şeklinde yazılabilir.

Ondalık gösterim paydası 10'un kuvveti olan rasyonel sayıların virgülle yazılmasıdır. 2/5 = 4/10 = 0,4 gibi. Payda ve payın uygun sayılarla çarpılarak 10, 100, 1000... yapılır.

Devirli ondalık sayılarda tekrarlanan kısmın üstüne çizgi çizilir. 3,5̄ = (35−5)/9 = 30/9 = 10/3 formülüyle kesire çevrilir.

Rasyonel sayı sıralama: Payları eşitse paydası küçük olan büyük, paydaları eşitse payı büyük olan büyüktür. Bileşik kesirler basit kesirlerden büyüktür.

Not: 0 ÷ 6 = 0 ama 3 ÷ 0 tanımsızdır!

Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma

Toplama ve çıkarma için paydalar eşit olmalıdır. Eşit değilse ortak payda bularak eşitle. Paylar toplanır/çıkarılır, payda aynen kalır.

1/3 + 4/5 işleminde ortak payda 15'tir: 5/15 + 12/15 = 17/15 şeklinde.

Toplama özellikleri tam sayılarla aynıdır: Değişme, birleşme, etkisiz eleman (0), ters eleman özellikleri vardır. 2/3 sayısının tersi −2/3'tür.

Karma sayılar önce kesire çevrilmeli. −2 2/3 = −8/3 şeklinde. Tam sayı ile kesir toplarken tam sayıyı kesir haline getir.

Pratik: Ortak payda bulmak için paydaları çarp veya EKOK kullan!

Rasyonel Sayılarla Çarpma

Çarpma işleminde paydaların eşit olması gerekmez. Paylar kendi aralarında, paydalar kendi aralarında çarpılır: 1/2 × 4/5 = 4/10 = 2/5.

Çarpma özellikleri: Değişme ve birleşme özelliği vardır. Etkisiz eleman 1, yutan eleman 0'dır. Dağılma özelliği toplama üzerinde geçerlidir.

Karma sayılar önce kesire çevrilir: −2 2/3 × 4/9 = −8/3 × 4/9 = −32/27. İşlem sonunda sadeleştirmeyi unutma.

Parantezli işlemlerde önce parantez içini çöz, sonra çarpma yap. İşaret kuralları tam sayılardaki gibidir: aynı işaretli pozitif, farklı işaretli negatif.

İpucu: Çarpma işleminde ortak payda aramana gerek yok, direk çarp!