8. Sınıf Matematik: Çarpanlar, Katlar ve Bilimsel Gösterimler

Bölünebilme Kuralları

Bir sayının başka bir sayıya bölünüp bölünmediğini kolayca anlamak için kullanabileceğimiz bazı pratik kurallar vardır.

Sayıların bölünebilme kurallarını öğrenmek işlemlerimizi çok hızlandırır:

• 2 ile bölünebilme için sayının son basamağı çift olmalı (0, 2, 4, 6, 8)
• 3 ile bölünebilme için rakamların toplamı 3'ün katı olmalı
• 4 ile bölünebilme için sayının son iki basamağı 00 ya da 4'ün katı olmalı
• 5 ile bölünebilme için sayının son basamağı 0 veya 5 olmalı
• 6 ile bölünebilme için sayı hem 2'ye hem de 3'e bölünebilmeli
• 9 ile bölünebilme için rakamların toplamı 9'un katı olmalı
• 10 ile bölünebilme için sayının son basamağı 0 olmalı

Dikkat! Her doğal sayı en az iki farklı doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu sayılara o sayının çarpanları (bölenleri) denir.

Örneğin 12 sayısının pozitif çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Bu sayılar 12'yi kalansız böler.

Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar

Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır. İlk birkaç asal sayı: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...

Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için çarpanlarına bakarız. Eğer bir sayının 1 ve kendisi dışında böleni yoksa, o sayı asaldır. Örneğin, 69 sayısı asal değildir çünkü 3 ve 23'e bölünür $69 = 3 × 23$.

Asal çarpanlar ise bir sayıyı bölen asal sayılardır. Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için çarpan ağacı yöntemi kullanılır:

1. Sayıyı en küçük asal bölenine böleriz
2. Bölüm için aynı işlemi tekrarlarız
3. Bölen asal sayılar çarpıldığında orijinal sayıyı verir

Örnek: 36 sayısının asal çarpanlarını bulalım

36 → 2 × 18
18 → 2 × 9
9 → 3 × 3

Böylece 36 = 2² × 3² olarak yazılabilir.

Sayıları asal çarpanlarına ayırmak, EBOB ve EKOK hesaplamalarında çok işimize yarayacaktır.

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

İki veya daha fazla sayının en küçük ortak katı (EKOK), bu sayıların ortak katlarının en küçüğüdür. EKOK, sayıların tamamına kalansız bölünebilen en küçük sayıdır.

EKOK'u bulmanın en pratik yolu, asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanmaktır:

1. Sayıları yan yana yazıp asal çarpanlarına ayırırız
2. Her satırda en az bir sayıyı bölen asal bölen buluruz
3. Bu işlemi sayılar 1 olana kadar sürdürürüz
4. Kullandığımız tüm asal bölenleri çarparak EKOK'u buluruz

Örnek: 15 ve 20 sayılarının EKOK'unu bulalım

15  20  |  2
15  10  |  2
15   5  |  5
 3   1  |  3
 1   1  |

EKOK(15,20) = 2 × 2 × 5 × 3 = 60

Başka bir örnek: 30 ve 45 sayılarının EKOK'unu bulalım

30  45  |  3
10  15  |  5
 2   3  |  3
 2   1  |  2
 1   1  |

EKOK(30,45) = 3 × 5 × 3 × 2 = 90

İpucu: EKOK, iki sayının ortak olmayan çarpanlarını ve ortak çarpanların en büyük kuvvetlerini içerir.

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

İki veya daha fazla sayının en büyük ortak böleni (EBOB), bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğüdür. İki sayının EBOB'unu bulmak için asal çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.

EBOB'u bulmak için:

1. Sayıları asal çarpanlarına ayırırız
2. Ortak asal çarpanların en küçük kuvvetlerini alırız
3. Bu çarpanları çarparız

Örnek: 24 ve 12 sayılarının EBOB'unu bulalım

24 = 2³ × 3
12 = 2² × 3

EBOB(24,12) = 2² × 3 = 12

Başka bir örnek: 48 ve 20 sayılarının EBOB'unu bulalım

48 = 2⁴ × 3
20 = 2² × 5

EBOB(48,20) = 2² = 4

EBOB ve EKOK arasındaki önemli ilişkiler:

1. İki sayının çarpımı = EBOB × EKOK
2. Biri diğerinin katı olan sayıların EBOB'u küçük sayıya, EKOK'u büyük sayıya eşittir
3. EBOB ≤ Sayılar ≤ EKOK (EBOB sayılardan küçük, EKOK sayılardan büyük olmak zorundadır)

Hatırlatma: İki sayının ortak böleni yoksa $EBOB=1$, bu sayılar aralarında asaldır.

Üslü İfadelerde EBOB ve EKOK

Üslü ifadelerde EBOB ve EKOK hesaplamak için özel kurallar vardır:

Üslü ifadelerde EBOB bulurken:

• Aynı tabana sahip sayılarda, üssün en küçüğünü alırız
• Farklı tabanlardaki ortak çarpanları belirleriz

Üslü ifadelerde EKOK bulurken:

• Aynı tabana sahip sayılarda, üssün en büyüğünü alırız
• Farklı tabanların tümünü çarpıma dahil ederiz

Örnek: A: 2⁵·3⁷·7¹¹ ve B: 2⁵·3⁷·7 için:

• EBOB(A,B) = 2⁵·3⁷·7 (Aynı tabanların en küçük üsleri)
• EKOK(A,B) = 2⁵·3⁷·7¹¹ (Aynı tabanların en büyük üsleri)

EBOB/EKOK Problemleri:

EKOK problemlerini şu durumlarda kullanırız:

• Nesneler belli sayılarda gruplandığında artan/artmayan durumlar
• Düzenli aralıklarla tekrar eden olayların ne zaman çakışacağı
• Farklı uzunluktaki nesnelerle tam bölünebilen uzunluk

İpucu: Aralarında asal olan sayıların EBOB'u 1, EKOK'u ise çarpımlarına eşittir. Ardışık iki sayı ve ardışık tek sayılar her zaman aralarında asaldır.

Üslü İfadeler

Aralarında Asal Sayılar

İki veya daha fazla sayının ortak böleni yoksa (EBOB'ları 1 ise), bu sayılara aralarında asal denir. Örneğin, 5 ve 4, 4 ve 13, 53 ve 35 aralarında asaldır.

Aralarında asal sayılarla ilgili önemli noktalar:

• Aralarında asal sayıların EKOK'ları, çarpımlarıdır
• Ardışık iki sayı daima aralarında asaldır
• Ardışık tek sayılar daima aralarında asaldır
• Çift sayılar aralarında asal olamaz
• Farklı asal sayılar her zaman aralarında asaldır
• Aralarında asal sayıların kendilerinin asal olması gerekmez

Negatif Üs Alma

Bir sayının negatif üssü, o sayının pozitif üssünün çarpmaya göre tersini verir: a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Örnekler:

• 2⁻³ = 1/2³ = 1/8
• 5⁻² = 1/5² = 1/25

Unutma: Negatif üslü bir ifade paydadan paya veya paydan paydaya alındığında, üssün işareti değişir!

Negatif Üslü İfadeler

Negatif üslü ifadeleri daha iyi anlamak için farklı örneklere bakalım:

Tam sayılarda:

• 2⁻⁵ = 1/2⁵ = 1/32
• 3⁻⁵ = 1/3⁵ = 1/243
• 7⁻³ = 1/7³ = 1/343

Negatif üslü ifadeleri alternatif olarak şöyle de yazabiliriz:

• 2⁻³ = $1/2$³ = 1/8

Kesirli sayılarda:

• $3/2$⁻² = $2/3$² = 4/9
• $2/5$⁻³ = $5/2$³ = 125/8 = 15.625

Ondalık sayılarda:

• (0,5)⁻³ = $5/10$⁻³ = $10/5$³ = 8

Negatif üslü ifadelerin işlemleri, pozitif üslü ifadelerin işlemlerine benzerdir, ancak ters değerlerle çalışırız.

İpucu: Negatif üs, bir sayının payda konumuna geçmesi ve üssün pozitife dönüşmesi demektir. Negatif üslü ifadeleri hesaplarken önce ifadeyi tersine çevirip, sonra üssün işaretini değiştirmeyi unutma!

Üslü İfadelerde İşlemler

Üssün Üssü

Üslü bir sayının üssü alınırken üsler çarpılır: $a^m$^n = a^(m×n)

Örnekler:

• (2⁵)⁵ = 2²⁵
• (5⁵)² = 5¹⁰

Üslü İfadelerde Çarpma İşlemi

1. Tabanları aynı olan üslü ifadelerde çarpma yaparken üsleri toplarız: a^m × a^n = a^$m+n$

   Örnek: 13⁶ × 13⁶ = 13¹²

2. Üsleri aynı olan üslü sayılarla çarpma yaparken tabanları çarparız: a^n × b^n = (a×b)^n

   Örnek: 4⁷ × 5⁷ = 20⁷

Üslü İfadelerde Bölme İşlemi

1. Tabanları aynı olan üslü ifadelerde bölme yaparken üsleri çıkarırız: a^m ÷ a^n = a^$m-n$

   Örnek: 57⁸ ÷ 57³ = 57⁵

2. Üsleri aynı olan üslü ifadelerde bölme yaparken tabanları böleriz: a^n ÷ b^n = (a÷b)^n

   Örnek: 8⁴ ÷ 2⁴ = 4⁴ = 256

Pratik Bilgi: Hem tabanları hem üsleri aynı olan ifadelerle işlem yaparken, çarpımda katsayıları toplayıp ortak üsse yazabiliriz: 2×3⁵ + 4×3⁵ = 6×3⁵

Karışık Üslü İfadeler ve Bilimsel Gösterim

Tabanları ve Üsleri Farklı Olan Üslü İfadelerle İşlemler

Hem tabanları hem de üsleri farklı olan üslü ifadelerle işlem yapmak için, önce tabanları veya üsleri eşitleriz:

Örnek: 2⁵ × 4³ = 2⁵ × (2²)³ = 2⁵ × 2⁶ = 2¹¹

Bölme örneği: 125⁴ ÷ 5⁷ = (5³)⁴ ÷ 5⁷ = 5¹² ÷ 5⁷ = 5⁵

Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma

Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma yaparken, hem taban hem üsler aynı olmalıdır. Bu durumda katsayıları toplar veya çıkarırız:

Örnek: 3×2⁵ + 5×2⁵ - 2×2⁵ = $3+5-2$×2⁵ = 6×2⁵

Bilimsel Gösterim

Bilimsel gösterim, çok büyük veya çok küçük sayıları ifade etmek için kullanılan bir yöntemdir. Bir sayı bilimsel gösterimde şöyle yazılır: a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10 ve n bir tam sayı)

Çok büyük sayılar için (n pozitif): 21.000.000.000.000 = 2,1 × 10¹³

Çok küçük sayılar için (n negatif): 0,0000000007 = 7 × 10⁻¹⁰

Dikkat! Bilimsel gösterimde a sayısı her zaman 1 ile 10 arasında (10 hariç) olmalıdır. Örneğin 0,2×10⁵ veya -5×10⁷ bilimsel gösterim değildir.

Ondalık Gösterim ve Bilimsel Gösterim Uygulamaları

Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma Örnekleri

Tabanları aynı fakat üsleri farklı olan üslü ifadelerde toplama veya çıkarma yapabilmek için önce üsleri eşitleriz:

Örnek: 3³ + 3² = 27 + 9 = 36

Sayıların Ondalık Gösterimlerini 10'un Kuvvetleri ile Çözümleme

Herhangi bir sayıyı 10'un kuvvetlerini kullanarak çözümleyebiliriz. Basamak değerlerine göre sayıyı yazarız:

Örnek: 268,174 sayısını çözümleyelim: 268,174 = 2×10² + 6×10¹ + 8×10⁰ + 1×10⁻¹ + 7×10⁻² + 4×10⁻³

Bu şekilde sayıları 10'un kuvvetleri cinsinden ifade etmek, bilimsel hesaplamalarda büyük kolaylık sağlar.

Bilimsel Gösterim İşlemleri

Bilimsel gösterimle yazılmış sayılarla işlem yaparken:

• Çarpmada: Katsayıları çarpar, üsleri toplarız
• Bölmede: Katsayıları böler, üsleri çıkarırız

Örnek: (2,3×10³) × (5×10⁵) = (2,3 × 5) × 10^$3+5$ = 11,5 × 10⁸

Pratik Bilgi: Bir sayının bilimsel gösterimini yaparken virgülü sola kaydırırsak 10'un kuvvetini artırır, sağa kaydırırsak azaltırız. Örneğin 45.600 = 4,56 × 10⁴