8. Sınıf Tüm Konular Özeti

Bu özette 8. sınıfın önemli matematik konularını bulacaksın. Konuları basit bir dille anlatmaya çalıştım. Çarpanlar ve katlardan başlayıp, kareköklü sayılara ve cebirsel ifadelere kadar tüm konulara göz atacağız.

İlerleyen sayfalarda her konunun temel kavramlarını, örneklerini ve önemli noktalarını bulabilirsin. Hadi başlayalım!

İpucu: Her konuyu anladıktan sonra, öğrendiklerini pekiştirmek için birkaç örnek soru çözmeyi dene!

Çarpanlar ve Katlar

Bir doğal sayıyı kalansız bölen sayılara o sayının çarpanları (bölenleri) denir. Örneğin 12'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Bir sayının çarpanlarını bulurken 1'den başlayarak sırayla gitmek işini kolaylaştırır.

Asal sayılar, sadece 1 ve kendisiyle bölünebilen 1'den büyük sayılardır. İlk asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... şeklindedir. 2 dışındaki tüm asal sayılar tektir.

Bir sayının asal çarpanları, o sayının çarpanlarından asal olanlarıdır. Sayıların asal çarpanlarını şu iki yöntemle bulabilirsin:

1. Çarpan Ağacı
2. Bölen Listesi (Asal Çarpanlar Algoritması)

Bunu hatırla: Asal sayılar matematiğin yapı taşlarıdır! Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, o sayıyı daha iyi anlamanı sağlar.

EBOB ve EKOK

En Küçük Ortak Kat (EKOK), iki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüdür. a ve b sayılarının EKOK'u "EKOK(a,b)" veya "(a,b)ekok" şeklinde gösterilir.

En Büyük Ortak Bölen (EBOB), iki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. a ve b sayılarının EBOB'u "EBOB(a,b)" veya "(a,b)ebob" şeklinde gösterilir.

EBOB ve EKOK ile ilgili önemli bilgiler:

• İki sayının çarpımı = EBOB × EKOK
• Biri diğerinin katı olan sayıların EBOB'u küçük sayıya, EKOK'u büyük sayıya eşittir
• EBOB sayılardan büyük olamaz, EKOK sayılardan küçük olamaz

EBOB-EKOK problemlerinde şunu hatırla: Eğer istenilen şeye verilen sayıların katlarından ulaşacak isen EKOK, bölenlerinden ulaşacak isen EBOB kullanılır.

Kolay bir hatırlatma: EKOK > SAYILAR > EBOB ilişkisini aklında tut!

Aralarında Asal Sayılar ve Üslü Sayılar

İki ya da daha fazla doğal sayının 1'den başka ortak böleni yoksa bunlara aralarında asal sayılar denir.

Aralarında asal sayılarla ilgili önemli bilgiler:

• Aralarında asal sayıların EBOB'ları 1'dir
• Aralarında asal iki sayının EKOK'ları sayıların çarpımına eşittir
• Ardışık iki sayı ve ardışık tek sayılar daima aralarında asaldır
• Çift sayılar aralarında asal olamaz
• Farklı asal sayılar her zaman aralarında asaldır

Üslü sayılarda üs, tabanın kaç kez çarpılacağını gösterir. Örneğin 2⁴ = 2×2×2×2 = 16.

Üslü sayılarla ilgili önemli bilgiler:

• Bir sayının sıfırıncı kuvveti her zaman 1'dir (0⁰ hariç, o belirsizdir)
• Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir
• 1'in bütün kuvvetleri 1'dir
• Parantezli işlemlerde çift kuvvet pozitif sonuç verir
• Parantezli işlemlerde tek kuvvet işareti değiştirmez
• Parantez yokken, kuvvet işareti etkilemez

Aklında tut: Aralarında asal sayılara örnek: 8 ve 9, 5 ve 12, 7 ve 15

Üslü İfadeler ve Bilimsel Gösterim

Negatif kuvvetler, payda veya paydaki bir ifadeyi karşı tarafa alırken kullanışlıdır. Bir ifade paydan paydaya veya paydadan paya alınınca kuvvetin işareti değişir. Örneğin: a⁻² = 1/a².

Üslü ifadelerle çarpma yaparken:

• Tabanlar aynıysa üsler toplanır: a^m × a^n = a^$m+n$
• Üsler aynıysa tabanlar çarpılır: a^n × b^n = (a×b)^n
• Üssün üssü alınırken üsler çarpılır: $a^m$^n = a^(m×n)

Üslü ifadelerle bölme yaparken:

• Tabanlar aynıysa, üsler çıkarılır: a^m ÷ a^n = a^$m-n$
• Üsler aynıysa, tabanlar bölünür: a^n ÷ b^n = (a÷b)^n

Ondalık gösterimde çözümleme basamak değerlerine göre yapılır: 23,4 = 2×10¹ + 3×10⁰ + 4×10⁻¹

Bilimsel gösterim, çok büyük veya çok küçük sayıları a×10^n şeklinde yazmaktır. Burada 1≤|a|<10 ve n bir tam sayıdır. Örneğin 3.240.000 = 3,24×10⁶.

Bu konuda ustalaş: Üslü ifadeler, ileriki matematik konularında sık karşına çıkacak!

Kareköklü Sayılar

Karekök alma işlemi, bir sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemidir. "√" sembolü ile gösterilir. Negatif sayıların karekökü alınamaz çünkü hiçbir sayının karesi negatif olamaz.

Tam kare sayılar, bir tam sayının karesi olan sayılardır. Örneğin: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49... Bu sayıların karekökleri tam sayıdır (√1=1, √4=2, √9=3...).

Kenar uzunluğu verilen bir karenin alanını bulmak için kenarı karesini alırız. Tersine, alanı verilen bir karenin kenarını bulmak için alanın karekökünü alırız.

Tam kare olmayan sayıların karekökleri irrasyonel sayılardır. Bu sayıların hangi sayılar arasında olduğunu bulmak için, sayının hangi tam kare sayılar arasında olduğunu buluruz.

Örnek: √20'nin değerini tahmin edelim:

• 16 < 20 < 25
• √16 < √20 < √25
• 4 < √20 < 5

Günlük hayatta karekök: Mimari tasarımlarda, inşaatta ve bilimsel hesaplamalarda karekök kullanımı çok yaygındır!

Kareköklü Sayılarla İşlemler

Kareköklü sayının yaklaşık değerini tahmin etme: Tam kare olmayan sayıların kareköklerinin yaklaşık değerini bulmak için hangi tam karelerin arasında olduğunu bulur ve orantı kurarak tahmin yürütürüz.

Örnek: √77'nin yaklaşık değeri

• 64 < 77 < 81
• √64 < √77 < √81
• 8 < √77 < 9
• Daha yakın bir tahmin için: √77 ≈ 8,7

Karekökten sayı çıkarma: Kareköklü sayıyı a√b şeklinde yazmak için karekök içindeki sayıyı en az biri tam kare olan iki sayının çarpımı olarak yazarız. Tam kare olan çarpanların köklerini dışarı çıkarırız.

Örnek: √12 = √(4×3) = √4×√3 = 2√3

Katsayıyı karekök içine alma: Katsayının karesi alınarak kök içindeki sayı ile çarpılır.

Örnek: 3√5 = √(3²×5) = √(9×5) = √45

Not: Karekök dışındaki sayı negatif ise, "-" işareti dışarıda bırakılır.

Bunu hatırla: a ≥ 0 olmak üzere √a²b = a√b ve a√b = √a²b eşitlikleri vardır.

Kareköklü Sayılarla İşlemler (devam)

Kareköklü sayılarda sıralama yaparken önce katsayıları kök içine alırız, sonra kök içindeki sayıları karşılaştırırız. x > y > z ise √x > √y > √z olur.

Kareköklü sayılarda toplama-çıkarma işlemi yaparken kök içleri aynı olmalıdır. Kök içleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır.

• a√x + b√x = $a+b$√x
• a√x - b√x = $a-b$√x

Not: Başında katsayı bulunmayan kareköklü sayıların katsayıları 1'dir. Örneğin: √5 = 1√5

Kareköklü sayılarda çarpma işleminde katsayılar ve kök içindeki sayılar ayrı ayrı çarpılır. x√a × y√b = xy√(a×b)

Kareköklü sayılarda bölme işleminde katsayılar ve kök içindeki sayılar ayrı ayrı bölünür. (x√a) ÷ (y√b) = $x/y$√$a/b$

Püf nokta: Kök içleri aynı olmayan sayıları toplamak/çıkarmak mümkün değildir! Önce karekök dışına çıkarılabilen sayıları çıkarmayı dene.

Ondalık ve İrrasyonel Sayılar

Ondalık kesirlerin karekökleri bulunurken önce kesir haline çevirip sonra pay ve paydanın ayrı ayrı karekökünü alırız.

Örnek: √0,25 sayısının değerini bulalım:

• √0,25 = √(25/100) = √25/√100 = 5/10 = 0,5

Rasyonel sayılar (Q), a/b şeklinde yazılabilen sayılardır (b≠0). Doğal sayılar, tam sayılar, kesirler, ondalık sayılar, devirli ondalık sayılar ve karekökü tam sayı olan sayılar rasyonel sayılardır.

İrrasyonel sayılar (I), iki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılardır. Karekök dışına çıkamayan köklü sayılar ve virgülden sonra devirsiz olarak sonsuza kadar devam eden sayılar (π, e gibi) irrasyonel sayılardır.

Gerçek sayılar (R), rasyonel sayılar ve irrasyonel sayıların birleşimidir. Reel sayılar olarak da adlandırılır.

Sayı kümeleri:

• N: Doğal Sayılar
• Z: Tam Sayılar
• Q: Rasyonel Sayılar
• I: İrrasyonel Sayılar
• R: Gerçek Sayılar

İlginç bilgi: İrrasyonel sayılar, sayı doğrusunda rasyonel sayılardan daha fazladır. Aslında rasyonel sayılar "sayılabilir", irrasyonel sayılar ise "sayılamaz" sonsuzlukta!

Veri Analizi ve Olasılık

Veri gösterim türleri:

1. Sütun grafiği: Verileri karşılaştırmak için kullanılır.
2. Çizgi grafiği: Zamana bağlı değişimi göstermek için kullanılır.
3. Daire grafiği: Bir bütünün parçalarının dağılımını göstermek için kullanılır.

Grafik seçerken amacına uygun olanı belirlemen önemli. Farklı verileri karşılaştırırken sütun, zamana bağlı değişimi gösterirken çizgi, dağılımı gösterirken daire grafiğini tercih et.

Olasılık, bir olayın gerçekleşme ihtimalinin matematiksel değeridir.

Bir olayın olma olasılığı: Olasılık = İstenilen Durum Sayısı / Tüm Durumların Sayısı

Kesin olay ve imkansız olaylar:

• Kesin olay: Gerçekleşme olasılığı 1 olan olay
• İmkansız olay: Gerçekleşme olasılığı 0 olan olay

Bir olayın olasılık değeri 0 ile 1 arasındadır. İmkansız olay için 0, kesin olay için 1, diğer olaylar için 0 ile 1 arasında değer alır.

Günlük hayatta olasılık: Hava durumu tahminlerinden spor müsabakalarındaki bahis oranlarına kadar her yerde olasılık hesaplarıyla karşılaşırsın!