Kesirlerde Sıralama

Kesirleri karşılaştırmak için bazı basit yöntemler vardır. Eğer paydaları eşit olan kesirlerle çalışıyorsan, payı büyük olan kesir her zaman daha büyüktür. Örneğin, $\frac{5}{8}$ kesri $\frac{3}{8}$'den büyüktür.

Payları eşit olan kesirlerde ise, küçük paydalı kesir daha büyüktür. Mesela $\frac{7}{2}$ kesri $\frac{7}{5}$'ten büyüktür. Bu mantıklıdır çünkü paydası daha küçük olan bir kesir, bütünü daha az parçaya böler ve her parça daha büyük olur.

Kesirleri yarıma veya bütüne olan uzaklıklarına göre de karşılaştırabiliriz. Örneğin $\frac{5}{12}$ kesri yarımdan az, $\frac{4}{8}$ kesri yarıma eşit, $\frac{9}{16}$ kesri yarımdan fazla olduğundan sıralamaları $\frac{5}{12} < \frac{4}{8} < \frac{9}{16}$ şeklindedir.

Unutma! Paydaları farklı olan kesirleri karşılaştırırken önce paydaları ortak bir sayıya eşitlemen gerekir. Bu işleme paydaları eşitleme denir ve kesirleri karşılaştırmanın en güvenli yoludur.

Kesirleri Karşılaştırma Örnekleri

Farklı payda ve payları olan kesirleri karşılaştırmak için önce paydalarını eşitlemeliyiz. Mesela $\frac{3}{4}$ ve $\frac{4}{6}$ kesirlerini karşılaştıralım. Bunların en küçük ortak katı 12'dir.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$ ve $\frac{4}{6} = \frac{4 \times 2}{6 \times 2} = \frac{8}{12}$ olur. Şimdi paydalar eşitlendiğine göre, payları karşılaştırabiliriz: 9 > 8 olduğu için $\frac{3}{4} > \frac{4}{6}$ olur.

Günlük hayatta da kesir karşılaştırmalarıyla karşılaşırsın. Mesela Aylin, Zeliha ve Zeynep aynı kitabı okuyorlar. Aylin kitabın $\frac{1}{4}$'ünü, Zeliha $\frac{3}{5}$'ini, Zeynep ise $\frac{4}{10}$'unu okumuşsa, kim daha çok sayfayı bitirmiş diye karşılaştırmamız gerekir.

Farklı kesir türlerini karşılaştırırken unutma ki basit kesirler, bileşik ve tam sayılı kesirlerden daha küçüktür. Örneğin $\frac{3}{7}$ kesri her zaman $\frac{11}{9}$ kesrinden küçüktür çünkü ikincisi bileşik kesirdir.

Kesirlerle Toplama ve Çıkarma İşlemi

Kesirleri toplarken veya çıkarırken, eğer paydaları eşit değilse öncelikle paydaları eşitlemelisin. Sonra payları toplayıp çıkararak işlemi tamamlarsın.

Örneğin $\frac{2}{3} + \frac{1}{2}$ işlemini yapmak için önce paydaları eşitleyelim: $\frac{2 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6}$. Şimdi payları toplayabiliriz: $\frac{4+3}{6} = \frac{7}{6}$ olur.

Çıkarma işleminde de aynı yöntemi kullanırız. Mesela $\frac{4}{5} - \frac{3}{4}$ işleminde: $\frac{4 \times 4}{5 \times 4} - \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{16}{20} - \frac{15}{20} = \frac{1}{20}$ buluruz.

İpucu: Paydaları eşitlerken iki sayının en küçük ortak katını (EKOK) bulursan daha kolay işlem yapabilirsin. Bu sayede gereksiz büyük sayılarla uğraşmazsın.

Toplama ve çıkarma işlemlerinde payda hiçbir zaman değişmez, sadece payları işleme tabi tutarsın. Bu nedenle paydaları eşitlemek çok önemlidir.

Tam Sayılı Kesirlerle İşlemler

Günlük hayatta karşılaştığımız problemlerde genellikle tam sayılı kesirler kullanılır. Örneğin, Damla bir gününün $\frac{1}{3}$'ünü uykuda, $\frac{3}{8}$'ini okulda, $\frac{1}{12}$'sini dans kursunda geçiriyor. Arkadaşlarıyla ne kadar vakit geçirdiğini bulmak için önce bilinen kesirleri toplamalı, sonra 1'den çıkarmalısın.

Tam sayılı kesirlerle toplama ve çıkarma işlemi yaparken iki yöntem kullanabilirsin:

1. Tam sayılı kesirleri önce bileşik kesre çevirebilirsin. Örneğin $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ olur.

2. Veya tam kısımları ve kesir kısımları ayrı ayrı toplayıp sonuç yazabilirsin.

Örneğin, $2\frac{1}{3} + 1\frac{3}{5}$ işlemini yaparken önce bileşik kesre çevirebiliriz: $\frac{7}{3} + \frac{8}{5}$. Sonra paydaları eşitleyip işlemi tamamlarız: $\frac{35}{15} + \frac{24}{15} = \frac{59}{15}$.

Boy karşılaştırması gibi örneklerde de tam sayılı kesirleri kullanırız. Mesela Begüm'ün boyu $1\frac{7}{10}$ m ve Öykü'nün boyu $1\frac{13}{20}$ m ise, hangisinin daha uzun olduğunu ve aradaki farkı bulmak için çıkarma işlemi yapmalısın.

Kesirlerle Çarpma İşlemi

Kesirlerle çarpma işlemi aslında toplama ve çıkarmaya göre daha kolaydır! Kesirleri çarparken pay ile payı, payda ile paydayı çarparsın. Yani $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{7} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 7} = \frac{15}{28}$ olur.

Doğal sayı ile kesri çarparken, doğal sayıyı $\frac{sayı}{1}$ şeklinde yazabilirsin. Örneğin $2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5}$ olur. Yani doğal sayının payına kendisini, paydasına 1 yazarak kesirlerdeki çarpma kuralını uygularsın.

Tam sayılı kesirlerle çarpma yaparken, önce tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmelisin. Mesela $6 \cdot 2\frac{2}{3}$ işleminde önce $2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ olarak yazılır, sonra çarpma yapılır: $\frac{6}{1} \cdot \frac{8}{3} = \frac{48}{3} = 16$.

İlginç Bilgi: Bir doğal sayıyı 1'den küçük bir kesirle çarparsan sonuç küçülür, 1'den büyük bir kesirle çarparsan sonuç büyür. Bunu hatırlamak kontrollerini yaparken çok işine yarayacak!

Çarpma işleminden sonra her zaman kesri sadeleştirmeyi unutma. Böylece sonuçların daha anlaşılır olur.

Kesirlerle Bölme İşlemi

Kesirlerde bölme işleminde harika bir kural var: ikinci kesrin tersini al ve çarp! Yani $\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$ işlemi, $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2}$ işlemine dönüşür. Sonra normal çarpma yaparsın: $\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$.

Bölme işlemi yaparken öncelikle tam sayılı kesirler varsa bunları bileşik kesre çevirmelisin. Örneğin $1\frac{1}{7} \div \frac{2}{3}$ işleminde önce $1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}$ olarak yazılır, sonra bölme işlemi yapılır.

Doğal sayıları kesre bölerken de aynı kuralı uygularsın. Önce doğal sayıyı $\frac{sayı}{1}$ şeklinde yazıp, sonra ters çevirme kuralını uygularsın. Mesela $6 \div \frac{3}{5} = \frac{6}{1} \cdot \frac{5}{3} = \frac{30}{3} = 10$ olur.

Bölme işlemlerinde ilginç bir sonuç daha var: Bir doğal sayıyı 1'den küçük bir kesre böldüğünde sonuç büyür. Örneğin $6 \div \frac{3}{5} = 10$ ve $10 > 6$ olduğunu görebilirsin. Tam tersi, bir doğal sayıyı 1'den büyük bir kesre böldüğünde sonuç küçülür: $4 \div \frac{4}{3} = 3$ ve $3 < 4$ olur.

Kesirlerle Problem Çözme

Kesirlerle ilgili problemleri çözerken öğrendiğin işlemleri uygulamalısın. Örneğin bölme işlemleri için $4 \div \frac{1}{5} = \frac{4}{1} \cdot \frac{5}{1} = 20$ ve $7 \div \frac{7}{3} = \frac{7}{1} \cdot \frac{3}{7} = 3$ sonuçlarını bulabilirsin.

Günlük hayatta kesirleri kullanarak çözebileceğin pek çok problem vardır. Mesela 28 kg toz şekeri $\frac{7}{4}$ kg'lık poşetlere doldurman gerekiyorsa, kaç poşet kullanacağını bulmalısın. Bu bir bölme işlemidir: $28 \div \frac{7}{4} = \frac{28}{1} \cdot \frac{4}{7} = \frac{112}{7} = 16$ poşet.

Paranı harcama planı yaparken de kesirleri kullanırsın. Sezer'in $12\frac{1}{2}$ TL'si var ve her gün $\frac{1}{2}$ TL harcıyor. Parasının kaç günde biteceğini bulmak için yine bölme işlemi yapmalısın: $12\frac{1}{2} \div \frac{1}{2} = \frac{25}{2} \div \frac{1}{2} = \frac{25}{2} \cdot \frac{2}{1} = 25$ gün.

Pratik Yap: Kesirlerle problem çözme becerini geliştirmek için günlük hayattan örnekler düşün. Mesela bir tarifi yarıya indirmek, bir kumaşı eşit parçalara bölmek veya bir yolun ne kadarını tamamladığını hesaplamak gibi.