Üçgenler - Temel Bilgiler ve Özel Üçgenler

Geometride en temel şekil olan üçgenler, sınav sorularının büyük kısmını oluşturuyor. Açı özellikleri konusunda şunu unutma: bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°, dış açıları toplamı ise 360°'dir.

Özel üçgenler konusunda dikkat etmen gereken noktalar var. Dik üçgenlerde Pisagor teoremi $a² + b² = c²$ ve Öklid bağıntıları $h² = p·k, a² = p·c, b² = k·c$ çok sık soruluyor. İkizkenar üçgende yükseklik, açıortay, kenarortay ve simetri ekseni aynı doğru üzerinde bulunur.

Trigonometri hesaplamalarında sinüs ve kosinüs teoremlerini kullanabilirsin. Sinüs teoremi: a/sinA = b/sinB = c/sinC şeklinde. Muhteşem üçlüler olan 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 üçgenlerini ezberle - zaman kazandırır.

Önemli İpucu: Eşkenar üçgende tüm açılar 60°, tüm kenarlar eşit ve yükseklik = kenar × √3/2 formülünü kullan.

Üçgenler - Alan ve Benzerlik

Üçgen alanı hesaplamak için birkaç yol var. En temel formül A = (taban × yükseklik)/2, ama bazen A = (1/2)bc·sinA veya Heron formülü A = √$u(u-a)(u-b)(u-c)$ daha pratik olabilir. u burada çevrenin yarısı anlamına geliyor.

Kenarortay konusunda ağırlık merkezi önemli. Ağırlık merkezi G, kenarortayları 2:1 oranında böler. Kenarortay uzunluğu için: 2V² = b² + c² - a²/2 formülünü kullan.

Benzerlik sorularında oranları doğru kurman çok kritik. Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılı, karşılıklı açılar eşit. Temel benzerlik teoreminde k = karşılık gelen kenarların oranı olursa, alanlar oranı k²'ye eşit oluyor.

Üçgen eşitsizliğinde |b-c| < a < b+c kuralını unutma. Ayrıca büyük kenara karşı büyük açı, büyük açıya karşı büyük kenar gelir.

Pratik Bilgi: Dik üçgende α < 90° ise a² < b² + c², α > 90° ise a² > b² + c² olur.

Çokgenler ve Dörtgenler - Temel Özellikler

n kenarlı çokgen özellikleri sınavda sık çıkıyor. Köşegen sayısı n$n-3$/2, iç açılar toplamı $n-2$×180°, dış açılar toplamı her zaman 360°. Bu formülleri ezberlemen gerekiyor.

Düzgün çokgenlerde her iç açı $n-2$×180°/n, her dış açı 360°/n'ye eşit. Düzgün altıgen özellikle önemli - kenar uzunluğu a olan altıgenin alanı (3a²√3)/2'dir.

Deltoid (uçurtma) şeklinde köşegenler birbirine dik, bir köşegen açıortay ve simetri ekseni olur. Alan = (d₁ × d₂)/2 formülü ile hesaplanır.

Dörtgenlerde iç açılar toplamı 360°, dış açılar toplamı da 360°'dir. Konveks dörtgenin köşegen sayısı 2'dir.

Hatırlatma: Düzgün beşgende her iç açı 108°, düzgün altıgende 120°, düzgün sekizgende 135°'dir.

Dörtgenler - Özel Dörtgenler

Paralelkenar özelliklerini iyi bilmen gerekiyor. Karşılıklı kenarlar paralel ve eşit, köşegenler birbirini ortalar. Alan = taban × yükseklik veya A = ab·sinα formülü ile hesaplanır.

Eşkenar dörtgen (romb) tüm kenarları eşit paralelkenardır. Köşegenler birbirine dik ve açıortay özelliği taşır. Dikdörtgende tüm açılar 90°, köşegenler eşit uzunlukta.

Kare hem eşkenar dörtgen hem dikdörtgen özelliklerini taşır. Köşegenler birbirine dik, eşit uzunlukta ve açıortay. Alan = a² formülü kullanılır.

Yamukta sadece bir çift karşılıklı kenar paralel. İkizkenar yamukta köşegenler eşit uzunlukta. Alan = $(a+c)×h$/2 formülü ile hesaplanır.

Özel Durum: Yamukta h² = ac bağıntısı, geometrik ortalama ilişkisini gösterir.

Çember ve Daire

Çember açıları konusu sınavın favori konularından biri. Merkez açı yayın ölçüsüne eşit, çevre açı merkez açının yarısı. Çapı gören çevre açı her zaman 90°'dir.

Teğet-kiriş açısı gördüğü yayın yarısına eşit. İç açı = $x+y$/2, dış açı = $x-y$/2 formüllerini ezberle.

Çember uzunluğu = 2πr, daire alanı = πr². Daire dilimi için yay uzunluğu = (α/360°)×2πr, dilim alanı = (α/360°)×πr².

Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarlar toplamı eşit. Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar toplamı 180°. İki çember dıştan teğet ise |O₁O₂| = r₁ + r₂, içten teğet ise |O₁O₂| = r₁ - r₂.

Dikkat: Çemberler dik kesişirse |O₁O₂|² = r₁² + r₂² bağıntısı geçerli.

Analitik Geometri - Nokta ve Doğru

Koordinat sisteminde noktalar (x,y) şeklinde gösterilir. İki nokta arası uzaklık: d = √$(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²$, orta nokta: $(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2$.

Doğru denklemi için eğim m = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$. Eğim-nokta formülü: $y-y₁$/$x-x₁$ = m. Genel denklem: ax + by + c = 0 şeklinde yazılır.

Paralel doğruların eğimleri eşit $m₁ = m₂$, dik doğruların eğimleri çarpımı -1 $m₁ × m₂ = -1$. Noktanın doğruya uzaklığı: h = |ax₀ + by₀ + c|/√$a² + b²$.

Üçgen alanı koordinatlarla: A = (1/2)|x₁$y₂-y₃$ + x₂$y₃-y₁$ + x₃$y₁-y₂$|. Ağırlık merkezi: G$(x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3$.

Pratik İpucu: Paralel doğrular arası uzaklık: h = |c₂-c₁|/√$a² + b²$ formülünü kullan.

Analitik Geometri - Dönüşümler ve Vektörler

Simetri işlemleri sınavda çok soruluyor. Ox eksenine göre A(x,y) → A'$x,-y$, Oy eksenine göre A(x,y) → A'$-x,y$. Orijine göre simetri A(x,y) → A'$-x,-y$.

Vektörler konusunda toplama A + B = $x₁+x₂, y₁+y₂$, skaler çarpım kA = (kx₁, ky₁). İç çarpım A·B = x₁x₂ + y₁y₂, geometrik yorumu A·B = |A|·|B|·cosα.

Öteleme işleminde A' = A + u şeklinde. Döndürme için orijin etrafında α açısı kadar: A'(x',y') = $xcosα - ysinα, xsinα + ycosα$.

Vektör uzunluğu |A| = √$x² + y²$ formülü ile hesaplanır. İki vektör dik ise iç çarpımları sıfırdır.

Önemli: y = x doğrusuna göre simetride A(x,y) → A'(y,x) olur.

Uzay Geometri ve Katı Cisimler

Prizmalar konusunda dikdörtgenler prizması: Hacim = abc, yanal alan = 2$ac + bc$, toplam alan = 2$ab + ac + bc$. Küpte tüm formüller: alan = 6a², hacim = a³, köşegen = a√3.

Silindir formülleri: yanal alan = 2πrh, toplam alan = 2πr$h + r$, hacim = πr²h. Koni için: yanal alan = πrl, toplam alan = πr$l + r$, hacim = (πr²h)/3.

Küre özellikleri: alan = 4πR², hacim = (4πR³)/3. Küre düzlemle kesilirse kesit daima daire olur.

Dönel cisimler konusunda dikdörtgen kenarı etrafında döndürülürse silindir, dik üçgen dik kenarı etrafında döndürülürse koni, daire çapı etrafında döndürülürse küre oluşur.

Pratik Bilgi: Benzerlik oranı k olan katı cisimlerde hacim oranı k³, alan oranı k² olur.