Üçgende Açılar

Üçgenler geometrinin temel yapı taşlarından biridir. Her üçgende, iç açıların toplamı her zaman 180° dir. Bu değişmez bir kuraldır ve her üçgen için geçerlidir.

Dış açıların toplamı ise 360° dir. Dış açı, bir üçgenin bir köşesinde iç açının bitişiğinde yer alan açıdır.

İpucu: Bir üçgende iç açıların toplamının 180° olduğunu hatırlamak, açı hesaplamalarında sana büyük kolaylık sağlayacaktır!

Üçgenler açılarına göre sınıflandırıldığında dar açılı, dik açılı ve geniş açılı üçgenler olarak üçe ayrılır. Kenarlarına göre ise ikizkenar, eşkenar ve çeşitkenar üçgenler olarak sınıflandırılır.

Özel Üçgenler

İkizkenar üçgen, iki kenarı birbirine eşit olan üçgendir. Bu eşitlik sayesinde pek çok özel özellik ortaya çıkar. Örneğin, |AB| = |AC| ise, |BE| = |DC| olur. Ayrıca eşit kenarlara ait yükseklikler, açıortaylar ve kenarortaylar da eşit uzunluktadır.

Eşkenar üçgen ise üç kenarı da birbirine eşit olan üçgendir. Eşkenar üçgende her iç açı 60° dir ve her açıortay aynı zamanda hem yükseklik hem de kenarortaydır.

Üçgende Açıortay: Açıortay, açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasıdır. Açıortayın özel bir özelliği, karşı kenara olan uzaklıklarının oranının komşu kenarların uzunluk oranına eşit olmasıdır.

Üçgende Kenarortay: Kenarortay, bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır. İkizkenar üçgende, tepe açısından çizilen kenarortay aynı zamanda yükseklik ve açıortaydır.

İyi Haber: İkizkenar ve eşkenar üçgenler, simetrileri sayesinde problem çözümlerini kolaylaştırır!

Üçgende Alan ve Benzerlik

Üçgenin alanını hesaplamanın farklı yolları vardır. En yaygın formül kenar × yükseklik / 2 dir. Örneğin, $Alan(ABC) = \frac{a \cdot h_a}{2}$ formülü bir kenarı ve ona ait yüksekliği bildiğimizde kullanışlıdır.

Heron Formülü da önemli bir alan hesaplama formülüdür: $Alan(ABC) = \sqrt{u \cdot (u-a) \cdot (u-b) \cdot (u-c)}$ burada $u = \frac{a+b+c}{2}$ (yarı çevre) şeklindedir.

Benzer üçgenler, şekilleri aynı fakat boyutları farklı olan üçgenlerdir. Benzerlik için üç temel kural vardır:

1. Açı-Açı (A.A.) Benzerliği: İki üçgenin iki çift açısı eşitse, üçgenler benzerdir.
2. Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Benzerliği: İki üçgende, aynı açıyı içeren kenar çiftlerinin oranları eşitse, üçgenler benzerdir.
3. Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Benzerliği: İki üçgende, karşılıklı kenarların oranları eşitse, üçgenler benzerdir.

Önemli Not: Benzer üçgenlerin alanlarının oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Bu, problem çözümlerinde çok işine yarayacak!

Benzer üçgenler problemlerinde Thales Teoremi de çok kullanışlıdır - paralel iki doğrunun diğer doğrular tarafından kesildiğinde oluşan orantıları gösterir.

Doğrunun Analitik İncelenmesi

Koordinat düzleminde, doğruların denklemlerini incelemek geometriyi cebirle birleştirir. İki nokta arasındaki uzaklık formülü $|AB| = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ ile bulunur.

Doğrunun eğimi, doğrunun yatayla yaptığı açının tanjantıdır: $m = tan\alpha$. Eğim açısı 0° ile 90° arasındaysa eğim pozitif, 90° ile 180° arasındaysa eğim negatiftir.

Bir noktadan geçen ve eğimi bilinen doğrunun denklemi $y - y_1 = m(x - x_1)$ şeklindedir. İki noktadan geçen doğrunun eğimi ise $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ formülüyle bulunur.

Özel Doğrular:

• x-eksenine paralel doğruların eğimi 0'dır.
• y-eksenine paralel doğruların eğimi tanımsızdır.
• Birbirine paralel doğruların eğimleri eşittir.
• Birbirine dik doğruların eğimlerinin çarpımı -1'dir.

İpucu: Bir noktanın bir doğruya olan en kısa uzaklığı, o noktadan doğruya çizilen dik doğru parçasının uzunluğudur ve $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ formülüyle hesaplanır.

İki doğrunun birbirine göre durumları $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ oranlarına bağlıdır. Bu oran eşitse ve $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ ise doğrular paraleldir. Eğer $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ ise doğrular çakışıktır.

Dörtgenler ve Yamuk

Dörtgenler, dört köşesi ve dört kenarı olan çokgenlerdir. Bir dörtgenin iç açılarının toplamı 360° dir. Dış açılarının toplamı da 360°dir.

Dörtgenin alanı, köşegenlerin çarpımının yarısına eşittir: $A(ABCD) = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \cdot \sin\alpha$ (e ve f köşegenlerdir ve α aralarındaki açıdır). Köşegenler birbirine dik ise formül $A(ABCD) = \frac{e \cdot f}{2}$ olur.

Yamuk, karşılıklı bir çift kenarı paralel olan dörtgendir. Paralel kenarlar "taban" olarak adlandırılır. Yamukta karşılıklı açıların toplamı 180° dir: m(A) + m(D) = 180° ve m(B) + m(C) = 180°.

Yamuğun alanı, paralel kenarların uzunluklarının toplamının yarısı ile yüksekliğin çarpımına eşittir: $A(ABCD) = \frac{(a+c) \cdot h}{2}$ (a ve c paralel kenarlar, h yüksekliktir).

Hatırla: Bir yamukta orta taban, alt ve üst tabanların uzunluklarının aritmetik ortalamasına eşittir: $|EF| = \frac{a+c}{2}$

İkizkenar Yamuk, paralel olmayan kenarları eşit uzunlukta olan yamuktur. Dik yamuk ise bir açısı dik olan yamuktur. İkizkenar yamuğun özel bir özelliği, köşegenlerinin eşit uzunlukta olmasıdır.

Paralelkenar ve Özel Dörtgenler

Paralelkenar, karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgendir. Karşılıklı kenarları eşit uzunluktadır ve karşılıklı açıları eşittir. Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar.

Paralelkenarın alanı, taban ile yüksekliğin çarpımına eşittir: $A(ABCD) = a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Alternatif olarak, $A(ABCD) = a \cdot b \cdot \sin\alpha$ formülü kullanılabilir (α bitişik açılardır).

Eşkenar Dörtgen (Rhombus), tüm kenarları eşit uzunlukta olan paralelkenardır. Köşegenleri birbirine diktir ve açıortaydır. Eşkenar dörtgenin alanı köşegenlerin çarpımının yarısına eşittir: $A(ABCD) = \frac{e \cdot f}{2}$.

Dikdörtgen, tüm açıları dik olan paralelkenardır. Köşegen uzunlukları eşittir ve birbirini ortalar. Dikdörtgenin alanı kenarlarının çarpımıdır: $A(ABCD) = a \cdot b$.

Deltoid (Uçurtma), ardışık iki çift kenarı eşit uzunlukta olan dörtgendir. Deltoidin bir köşegeni, diğerine diktir ve o köşegeni ortalar. Deltoidin alanı köşegenlerin çarpımının yarısına eşittir.

Kolaylaştırıcı İpucu: Kare, hem dikdörtgenin hem de eşkenar dörtgenin özelliklerini taşır. Yani tüm kenarları eşit uzunlukta ve tüm açıları 90° dir.

Kare, tüm kenarları eşit uzunlukta ve tüm açıları dik olan dörtgendir. Karenin alanı kenar uzunluğunun karesidir: $A(ABCD) = a^2$. Köşegenler eşit uzunluktadır, birbirini ortalar, birbirine diktir ve açıortaydır.

Çokgenler

Çokgenler, düzlemde kapalı şekil oluşturan doğru parçalarından oluşur. Konveks çokgenlerin iç açılarının toplamı $(n-2) \cdot 180°$ formülüyle bulunur, burada n köşe sayısıdır. Dış açılarının toplamı ise her zaman 360° dir.

Bir n-kenarlı çokgende köşegen sayısı $\frac{n(n-3)}{2}$ formülüyle hesaplanır. Bir köşeden en fazla n-3 adet köşegen çizilebilir.

Düzgün çokgen, tüm kenar uzunlukları ve iç açı ölçüleri eşit olan çokgendir. Düzgün çokgenlerin önemli özellikleri:

1. Bir dış açısının ölçüsü $\frac{360°}{n}$ dir.
2. İç teğet çemberi ve çevrel çemberi vardır.
3. Kenar sayısı çift ise karşılıklı kenarlar paraleldir.
4. Kenar sayısı tek ise bir köşeden karşı kenara çizilen dikme hem kenarortay hem de açıortaydır.

Düzgün altıgende bir iç açı 120° ve bir dış açı 60° dir. Karşılıklı kenarları paraleldir ve düzgün altıgen 6 adet eşkenar üçgene bölünebilir. Düzgün altıgenin alanı $A = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ formülüyle hesaplanır (a kenar uzunluğudur).

Önemli Not: Düzgün çokgenlerde karşılıklı köşeleri birleştiren köşegenler açıortaydır ve uzunlukları birbirine eşittir!

Düzgün sekizgende de karşılıklı kenarlar paraleldir. Karşılıklı köşeleri birleştiren köşegenler açıortaydır ve düzgün sekizgeni 8 adet eş üçgene ayırır.

Çemberde Açılar

Çemberde farklı türde açılar vardır ve bunların özellikleri, çember problemlerini çözmek için temeldir.

Merkez açı, çemberin merkezinde oluşan açıdır. Merkez açı, taradığı yay uzunluğu ile doğru orantılıdır.

Çevre açı, çember üzerindeki bir noktada oluşan açıdır. Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir. Çapı gören çevre açı her zaman 90° dir.

Teğet-kiriş açı, çembere teğet olan bir doğru ile kiriş arasında oluşan açıdır. Aynı yayı gören çevre açı ile teğet-kiriş açının ölçüsü birbirine eşittir.

İç açı, çember içinde oluşan açıdır. İç açının ölçüsü $\alpha = \frac{a+b}{2}$ formülüyle hesaplanır (a ve b gördüğü yayların ölçüleridir).

Dış açı, çember dışında oluşan açıdır. Dış açının ölçüsü $\alpha = \frac{a-b}{2}$ formülüyle hesaplanır.

Püf Nokta: Çemberde, paralel iki kiriş arasında kalan yayların ölçüleri birbirine eşittir. Bu özellik, bilinmeyen açıları hesaplarken çok işe yarar!

Kirişler dörtgeni, köşeleri çember üzerinde olan dörtgendir. Kirişler dörtgeninin karşılıklı açılarının toplamı 180° dir.

Çemberde Uzunluk ve Dairede Alan

Çemberde uzunluk hesaplamalarında, kirişler arasındaki ilişkileri anlamak önemlidir. Eğer [OK] ⊥ [AB] ise |AH| = |HB| olur, yani merkez noktasından kirişe indirilen dik, kirişi eşit parçalara böler.

Çemberde, eş kirişler eş yaylar ayırır. Ayrıca, merkezden eşit uzaklıkta olan kirişlerin uzunlukları da birbirine eşittir.

Kuvvet Kavramı: Bir P noktasının çembere göre kuvveti, P noktasından çembere çizilen kesen doğru parçalarının uzunluklarının çarpımıdır. Matematiksel olarak, |PA|·|PB| = |PC|·|PD| şeklinde ifade edilir.

Dairede alan hesaplamalarında, daire dilimlerinin alanı önemlidir. Bir daire diliminin alanı, $Alan_{dilim} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$ formülüyle hesaplanır (α merkez açının ölçüsü, r yarıçaptır).

Pratik Bilgi: Bir noktanın çembere göre kuvveti, o noktadan çembere çizilen teğet uzunluğunun karesine eşittir: |PT|² = |PA|·|PB|

Çemberde, bir kiriş üzerinde oluşan taralı alanın hesaplanmasında, kirişin uzunluğu ve yayın ölçüsü kullanılır. Çember içindeki üçgenlerin alanları da çeşitli özel formüllerle hesaplanabilir.

Prizmalar ve Geometrik Cisimler

Üç boyutlu geometride, prizmalar önemli bir yere sahiptir. Prizmalar, tabanları eş ve paralel çokgenler olan, yanal yüzeyleri paralelkenar olan cisimlerdir.

Dikdörtgenler prizması, tabanları dikdörtgen olan bir prizmadır. Cisim köşegeni $|LB| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$ formülüyle hesaplanır. Yanal alanı 2$a + b$·c, bütün alanı 2$ab + ac + bc$ ve hacmi V = a·b·c formülleriyle bulunur.

Küp, özel bir dikdörtgenler prizmasıdır - tüm ayrıtları eşit uzunluktadır. Küpün alanı A = 6·a², hacmi V = a³ formülleriyle hesaplanır. Cisim köşegeni, küp kenarının √3 katıdır.

Piramit, tabanı çokgen olan ve bir tepeden tabana doğru incelen bir cisimdir. Yanal alanı, taban çevresi ile yan yüz yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir. Hacmi ise taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biridir: $V = \frac{1}{3} \cdot Taban Alanı \cdot Yükseklik$.

Önemli Bilgi: Küp, tüm yüzeyleri kare olan özel bir prizmadır. Bu nedenle hem prizmaların hem de düzgün çokyüzlülerin özelliklerini taşır!

Silindir, daire şeklinde tabanlara sahip bir prizmadır. Yanal alanı, taban çevresi ile yüksekliğin çarpımına eşittir: S_yanal = 2πrh. Hacmi ise taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır: V = πr²h.

Koni, daire şeklinde bir taban ve bir tepe noktasına sahip üç boyutlu bir cisimdir. Yanal alanı, taban çevresi ile yan yüz yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir. Hacmi ise taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biridir: $V = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 \cdot h$.

Küre, merkezi ve yarıçapı belli olan, uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların oluşturduğu cisimdir. Kürenin alanı A = 4πr², hacmi $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ formülleriyle hesaplanır.