Geometride açıortaylar, çizgiler ve üçgenlerle ilgili önemli bir konuyu keşfedeceğiz....
Geometri71 görüntüleme·Güncellendi 26 Haz 2026·4 sayfaGeometri Açıortay Konu Anlatımı ve Sorular
A
Ayşe Yılmaz@ayeylmaz
1 / 4
1
of 4
Açıortaylar ve Temel Özellikleri
Açıortay, bir açının ölçüsünü iki eşit parçaya bölen ışındır. Açıortayların en önemli özelliklerinden biri, üzerindeki herhangi bir noktadan çizilen dikmelerin açının kollarına olan uzaklıklarının birbirine eşit olmasıdır. Örneğin şekilde |OD| = |DK| ve |OK| = |KH| eşitlikleri geçerlidir.
Açıortayları genellikle bir üçgenin köşesinden çıkan ve karşı kenarı ikiye bölen doğru parçası olarak düşünebiliriz. Eğer [AN] açıortay ise, bu durumda "na" ile gösterilir ve |AB|/|BN| = |AC|/|NC| eşitliği sağlanır.
Açıortay problemlerini çözerken, üçgenin açılarını eşit bölen özellikleri kullanırız. Örnek bir problemde [AD] açıortay, [AB] ⊥ [EF] ve [AC] ⊥ [AK] olduğunda, benzerlik özelliklerinden faydalanarak |AF| = 20 olduğunu bulabiliyoruz.
İpucu: Açıortay üzerindeki herhangi bir nokta, açının iki koluna eşit uzaklıktadır. Bu özellik pek çok geometri problemini çözmede anahtar rol oynar!
2
of 4
Açıortay Uzunluk Bağıntıları
Açıortaylar için önemli bir formül vardır: na² = b·c - x·y. Burada na açıortay uzunluğu, b ve c üçgenin kenarları, x ve y ise açıortayın karşı kenarı böldüğü parçaların uzunluklarıdır.
Kosinüs teoremi açıortay problemlerinde sıkça kullanılır. Bu teorem, üçgenin bir kenarının karesi ile diğer iki kenarın karelerinin toplamı ve bu iki kenarın çarpımının 2 katı ile bu kenarların arasındaki açının kosinüs değerinin çarpımı arasındaki ilişkiyi verir: a² = b² + c² - 2bc·cosα.
Üçgen eşitsizliği, bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunluğu toplamının üçüncü kenardan büyük, farkının ise küçük olması gerektiğini söyler. Örneğin, kenarları 3, 5 ve 7 olan bir üçgende x'in alabileceği değerleri bulmak için |7-3| < x < 7+3 yani 4 < x < 10 eşitsizliğini yazarız.
Önemli Not: Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur! Bu prensip, üçgenin iç ve dış açıortaylarıyla ilgili problemleri çözmede çok işimize yarar.
3
of 4
Açıortay Uygulamaları ve Örnekler
Üçgen eşitsizliği kullanarak kenar uzunluklarının hangi aralıkta değer alabileceğini bulabiliriz. Örneğin, kenar uzunlukları 7, 8 ve x olan bir üçgende, |8-7| < x < 8+7 şeklinde yazılır ve bu da 1 < x < 15 aralığını verir.
Üçgen oluşturabilecek kenarların alabileceği tamsayı değerlerini bulurken de üçgen eşitsizliğini kullanırız. Kenarları 13, 8 ve 2x+1 olan bir üçgen için 13-8 < 2x+1 < 13+8 eşitsizliğini yazarız. Buradan 5 < 2x+1 < 21 ve sonuçta 2 < x < 10 bulunur, yani x = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 değerlerini alabilir.
Dış açıortay uzunluğu için de bir bağıntı vardır: x² = p·q - c·b. Burada p ve q dış açıortayın bölünmesinden oluşan uzunluklardır, c ve b ise üçgenin kenarlarıdır.
Problem Çözme Taktiği: Üçgen kenarlarının alabileceği değerleri bulmak için her zaman üçgen eşitsizliğini kullanın: herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük, farkı ise küçük olmalıdır.
4
of 4
Üçgenlerde Açıortay Özellikleri
Üçgenlerde iç açıortayların kesim noktası I olarak adlandırılır ve bu nokta özel özelliklere sahiptir. I noktasının üçgenin kenarlarına uzaklıkları ile ilgili önemli bir formül şudur: |AI|/|BI|/|CI| = a/ : b/ : c/. Burada a, b ve c üçgenin kenarlarıdır.
ABC üçgeninde iç açıortayların kesiştiği I noktası için |BK| = |KI| eşitliği geçerlidir. Ayrıca, çevre açı teoremine göre Ç(IVE) = |BC| ve Ç(AKL) = |AB|+|AC| eşitlikleri yazılabilir.
Eğer I noktası hem iç açıortayların kesim noktası hem de teğet çemberin merkezi ise, bu üçgen özel bir durum oluşturur. Bu durumda üçgenin açıları ve kenarları arasında belirli ilişkiler ortaya çıkar.
Geometri Sırrı: İç açıortayların kesim noktası I, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. Bu nokta, üçgenin tüm kenarlarına eşit uzaklıktadır ve bu özelliğiyle pek çok problemin çözümünde kullanılır!
Hiç sormayacaksın sanmıştık...
Yapay zeka arkadaşımız öğrencilerin ihtiyaçlarına göre özel olarak tasarlanmıştır. Platformda bulunan milyonlarca içeriğe dayanarak öğrencilere gerçekten anlamlı ve ilgili yanıtlar verebiliyoruz. Ancak mesele sadece cevaplar değil, refakatçi aynı zamanda kişiselleştirilmiş öğrenme planları, sınavlar veya sohbet içerikleri ve öğrencilerin becerilerine ve gelişimlerine dayalı %100 kişiselleştirme ile öğrencilere günlük öğrenme zorluklarında rehberlik ediyor.
Uygulamayı Google Play Store ve Apple App Store'dan indirebilirsiniz.
Knowunity uygulaması ücretsiz! Uygulamamız çok yakında indirmeye hazır olacak, bekle bizi. 💙
Benzer Ders Notları
Geometri dersinin en popüler içerikleri
9GeometriÇEMBER VE DAİRE
ÇEMBER VE DAİRE
113,16974
GeometriANALİTİK GEOMETRİ
ANALİTİK GEOMETRİ
1110,006181
Geometriüçgende benzerlik
üçgende eşlik ve benzerlik detaylı konu anlatımı
92,19534
Geometriçember ve daire
çember ve daire full konu özeti 11.sınıf
1180620
GeometriÇemberler
Çemberde acı türleri
115734
GeometriCember
konu çalışma notları
1138810
GeometriAçılar
Geometri notu
95178
MatematikTrigonometri
Unutulmuş bir not,umarım işinize yarar:)
113574
GeometriÜçgenler
Özel üçgenler Üçgende alan
91,20812
En popüler içerikler
9
Tarih9. Sınıf Tarih Konu Anlatımı
9. sınıf tarih tüm ünite konu anlatımı
94,19267
Matematik8.sınıf matematik
Tüm üniteleri içermektedir!
85,311187
BiyolojiTyt biyoloji
Bio
95,184134
Felsefe11.Sınıf Felsefe 2.Dönem 2.Yazılı sınavı ders notları
20.yüzyıl felsefesini hazırlayan düşünce ortamı, 20.yüzyıl felsefesi temel problemleri ve akımları konularını içermektedir
113,599113
Biyoloji11. sınıf biyoloji boşaltım (üriner) sistemi ders notları
11. sınıf biyoloji boşaltım (üriner) sistemi ders notları
115,940619
TarihTYT AYT TARİH
Tarih
92,60663
FizikDalgalar
Fizik Notları
99,611142
Tarih9.sınıf tarih ders notları
Yeni maarif modele uygundur
92,22449
Türk Dili ve Edebiyatı9. Sınıf edebiyat ders notları.
9. Sınıflar için Türk Dili edebiyatı notları.
93,17273
Kullanıcılarımızdan yorumlar. Onlar her şeyi çok beğendi — sen de beğeneceksin.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Uygulama çok kolay kullanılıyor ve güzel tasarlanmış. Şu ana kadar aradığım her şeyi buldum ve sunumlardan çok şey öğrendim! Kesinlikle ödevlerim için hep kullanacağım!
A.S.iOS kullanıcısı
Uygulama çok iyi. Çok fazla ders notu ve yardımlaşma var. Örneğin benim problem yaşadığım bir ders Geometriydi ve ANINDA yardım ettiler beraber hem sorularımı çözdük hem konu anlatımı buldum. Herkese tavsiye ederim.
S.L.Android kullanıcısı
BEN ŞOK. Reklamını sık sık gördüğüm için uygulamayı denedim ve gerçekten hayran kaldım. Bu uygulama okul için tam ihtiyacım olan şey. Anında ödev yardımı, konu anlatımı, örnek sınavlar, flaşkartlar hepsi hepsi var, şiddetle tavsiye ederim ✅
A.iOS kullanıcısı
Geometri71 görüntüleme·Güncellendi 26 Haz 2026·4 sayfaGeometri Açıortay Konu Anlatımı ve Sorular
A
Ayşe Yılmaz@ayeylmaz
Geometride açıortaylar, çizgiler ve üçgenlerle ilgili önemli bir konuyu keşfedeceğiz. Açıortayların özelliklerini ve üçgenlerdeki uygulamalarını öğrenmek, geometri sorularını çözmenize büyük katkı sağlayacak.
1
of 4
Ders notlarını görmek için kaydol. Ücretsiz!
- Tüm belgeleri görebilirsin
- Notlarını Yükselt
- Milyonlarca öğrenciye katıl
Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun
Açıortaylar ve Temel Özellikleri
Açıortay, bir açının ölçüsünü iki eşit parçaya bölen ışındır. Açıortayların en önemli özelliklerinden biri, üzerindeki herhangi bir noktadan çizilen dikmelerin açının kollarına olan uzaklıklarının birbirine eşit olmasıdır. Örneğin şekilde |OD| = |DK| ve |OK| = |KH| eşitlikleri geçerlidir.
Açıortayları genellikle bir üçgenin köşesinden çıkan ve karşı kenarı ikiye bölen doğru parçası olarak düşünebiliriz. Eğer [AN] açıortay ise, bu durumda "na" ile gösterilir ve |AB|/|BN| = |AC|/|NC| eşitliği sağlanır.
Açıortay problemlerini çözerken, üçgenin açılarını eşit bölen özellikleri kullanırız. Örnek bir problemde [AD] açıortay, [AB] ⊥ [EF] ve [AC] ⊥ [AK] olduğunda, benzerlik özelliklerinden faydalanarak |AF| = 20 olduğunu bulabiliyoruz.
İpucu: Açıortay üzerindeki herhangi bir nokta, açının iki koluna eşit uzaklıktadır. Bu özellik pek çok geometri problemini çözmede anahtar rol oynar!
2
of 4Ders notlarını görmek için kaydol. Ücretsiz!
- Tüm belgeleri görebilirsin
- Notlarını Yükselt
- Milyonlarca öğrenciye katıl
Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun
Açıortay Uzunluk Bağıntıları
Açıortaylar için önemli bir formül vardır: na² = b·c - x·y. Burada na açıortay uzunluğu, b ve c üçgenin kenarları, x ve y ise açıortayın karşı kenarı böldüğü parçaların uzunluklarıdır.
Kosinüs teoremi açıortay problemlerinde sıkça kullanılır. Bu teorem, üçgenin bir kenarının karesi ile diğer iki kenarın karelerinin toplamı ve bu iki kenarın çarpımının 2 katı ile bu kenarların arasındaki açının kosinüs değerinin çarpımı arasındaki ilişkiyi verir: a² = b² + c² - 2bc·cosα.
Üçgen eşitsizliği, bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunluğu toplamının üçüncü kenardan büyük, farkının ise küçük olması gerektiğini söyler. Örneğin, kenarları 3, 5 ve 7 olan bir üçgende x'in alabileceği değerleri bulmak için |7-3| < x < 7+3 yani 4 < x < 10 eşitsizliğini yazarız.
Önemli Not: Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur! Bu prensip, üçgenin iç ve dış açıortaylarıyla ilgili problemleri çözmede çok işimize yarar.
3
of 4Ders notlarını görmek için kaydol. Ücretsiz!
- Tüm belgeleri görebilirsin
- Notlarını Yükselt
- Milyonlarca öğrenciye katıl
Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun
Açıortay Uygulamaları ve Örnekler
Üçgen eşitsizliği kullanarak kenar uzunluklarının hangi aralıkta değer alabileceğini bulabiliriz. Örneğin, kenar uzunlukları 7, 8 ve x olan bir üçgende, |8-7| < x < 8+7 şeklinde yazılır ve bu da 1 < x < 15 aralığını verir.
Üçgen oluşturabilecek kenarların alabileceği tamsayı değerlerini bulurken de üçgen eşitsizliğini kullanırız. Kenarları 13, 8 ve 2x+1 olan bir üçgen için 13-8 < 2x+1 < 13+8 eşitsizliğini yazarız. Buradan 5 < 2x+1 < 21 ve sonuçta 2 < x < 10 bulunur, yani x = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 değerlerini alabilir.
Dış açıortay uzunluğu için de bir bağıntı vardır: x² = p·q - c·b. Burada p ve q dış açıortayın bölünmesinden oluşan uzunluklardır, c ve b ise üçgenin kenarlarıdır.
Problem Çözme Taktiği: Üçgen kenarlarının alabileceği değerleri bulmak için her zaman üçgen eşitsizliğini kullanın: herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük, farkı ise küçük olmalıdır.
4
of 4Ders notlarını görmek için kaydol. Ücretsiz!
- Tüm belgeleri görebilirsin
- Notlarını Yükselt
- Milyonlarca öğrenciye katıl
Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun
Üçgenlerde Açıortay Özellikleri
Üçgenlerde iç açıortayların kesim noktası I olarak adlandırılır ve bu nokta özel özelliklere sahiptir. I noktasının üçgenin kenarlarına uzaklıkları ile ilgili önemli bir formül şudur: |AI|/|BI|/|CI| = a/ : b/ : c/. Burada a, b ve c üçgenin kenarlarıdır.
ABC üçgeninde iç açıortayların kesiştiği I noktası için |BK| = |KI| eşitliği geçerlidir. Ayrıca, çevre açı teoremine göre Ç(IVE) = |BC| ve Ç(AKL) = |AB|+|AC| eşitlikleri yazılabilir.
Eğer I noktası hem iç açıortayların kesim noktası hem de teğet çemberin merkezi ise, bu üçgen özel bir durum oluşturur. Bu durumda üçgenin açıları ve kenarları arasında belirli ilişkiler ortaya çıkar.
Geometri Sırrı: İç açıortayların kesim noktası I, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. Bu nokta, üçgenin tüm kenarlarına eşit uzaklıktadır ve bu özelliğiyle pek çok problemin çözümünde kullanılır!
Hiç sormayacaksın sanmıştık...
Yapay zeka arkadaşımız öğrencilerin ihtiyaçlarına göre özel olarak tasarlanmıştır. Platformda bulunan milyonlarca içeriğe dayanarak öğrencilere gerçekten anlamlı ve ilgili yanıtlar verebiliyoruz. Ancak mesele sadece cevaplar değil, refakatçi aynı zamanda kişiselleştirilmiş öğrenme planları, sınavlar veya sohbet içerikleri ve öğrencilerin becerilerine ve gelişimlerine dayalı %100 kişiselleştirme ile öğrencilere günlük öğrenme zorluklarında rehberlik ediyor.
Uygulamayı Google Play Store ve Apple App Store'dan indirebilirsiniz.
Knowunity uygulaması ücretsiz! Uygulamamız çok yakında indirmeye hazır olacak, bekle bizi. 💙
Benzer Ders Notları
Geometri dersinin en popüler içerikleri
9GeometriÇEMBER VE DAİRE
ÇEMBER VE DAİRE
113,16974
GeometriANALİTİK GEOMETRİ
ANALİTİK GEOMETRİ
1110,006181
Geometriüçgende benzerlik
üçgende eşlik ve benzerlik detaylı konu anlatımı
92,19534
Geometriçember ve daire
çember ve daire full konu özeti 11.sınıf
1180620
GeometriÇemberler
Çemberde acı türleri
115734
GeometriCember
konu çalışma notları
1138810
GeometriAçılar
Geometri notu
95178
MatematikTrigonometri
Unutulmuş bir not,umarım işinize yarar:)
113574
GeometriÜçgenler
Özel üçgenler Üçgende alan
91,20812
En popüler içerikler
9Tarih9. Sınıf Tarih Konu Anlatımı
9. sınıf tarih tüm ünite konu anlatımı
94,19267
Matematik8.sınıf matematik
Tüm üniteleri içermektedir!
85,311187
BiyolojiTyt biyoloji
Bio
95,184134
Felsefe11.Sınıf Felsefe 2.Dönem 2.Yazılı sınavı ders notları
20.yüzyıl felsefesini hazırlayan düşünce ortamı, 20.yüzyıl felsefesi temel problemleri ve akımları konularını içermektedir
113,599113
Biyoloji11. sınıf biyoloji boşaltım (üriner) sistemi ders notları
11. sınıf biyoloji boşaltım (üriner) sistemi ders notları
115,940619
TarihTYT AYT TARİH
Tarih
92,60663
FizikDalgalar
Fizik Notları
99,611142
Tarih9.sınıf tarih ders notları
Yeni maarif modele uygundur
92,22449
Türk Dili ve Edebiyatı9. Sınıf edebiyat ders notları.
9. Sınıflar için Türk Dili edebiyatı notları.
93,17273
Kullanıcılarımızdan yorumlar. Onlar her şeyi çok beğendi — sen de beğeneceksin.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Uygulama çok kolay kullanılıyor ve güzel tasarlanmış. Şu ana kadar aradığım her şeyi buldum ve sunumlardan çok şey öğrendim! Kesinlikle ödevlerim için hep kullanacağım!
A.S.iOS kullanıcısı
Uygulama çok iyi. Çok fazla ders notu ve yardımlaşma var. Örneğin benim problem yaşadığım bir ders Geometriydi ve ANINDA yardım ettiler beraber hem sorularımı çözdük hem konu anlatımı buldum. Herkese tavsiye ederim.
S.L.Android kullanıcısı
BEN ŞOK. Reklamını sık sık gördüğüm için uygulamayı denedim ve gerçekten hayran kaldım. Bu uygulama okul için tam ihtiyacım olan şey. Anında ödev yardımı, konu anlatımı, örnek sınavlar, flaşkartlar hepsi hepsi var, şiddetle tavsiye ederim ✅
A.iOS kullanıcısı