Noktalar Arası Uzaklık ve Koordinat Düzlemi

Koordinat düzleminde A$a$ ve B$b$ noktaları arasındaki uzaklığı |AB|=|a-b|+|b-a| şeklinde hesaplayabiliriz. Bir A(a,b) noktasının x eksenine uzaklığı |b| iken, y eksenine uzaklığı |a|'dır.

İki nokta arasındaki uzaklığı hesaplamak için basit kurallar vardır. Eğer iki noktanın ordinatları (y değerleri) eşitse, aralarındaki uzaklık apsislerin (x değerleri) farkının mutlak değeridir. Apsisleri eşitse, ordinatların farkının mutlak değeridir. Genel formül ise |AB| = √$x₂-x₁$²+$y₂-y₁$² şeklindedir.

İki nokta arasındaki orta noktayı bulmak için koordinatların aritmetik ortalamasını alırız: O$(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2$. Üçgenin ağırlık merkezini ise G$(x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3$ formülüyle hesaplayabiliriz.

İpucu: Koordinat düzlemindeki her bir bölgenin kendine özgü işaret kombinasyonu vardır: 1. bölge (++), 2. bölge (-+), 3. bölge (--) ve 4. bölge (+-)!

Doğrular ve Eğim

Bir doğrunun eğimi, o doğrunun x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantıdır. Eğer bu açı dar ise eğim pozitif, geniş ise negatiftir. İki noktası bilinen bir doğrunun eğimini m=tanα=$y₂-y₁$/$x₂-x₁$ formülüyle hesaplarız.

Eğimi m olan ve A(x₁,y₁) noktasından geçen doğrunun denklemi y-y₁=m$x-x₁$ şeklindedir. Bir doğrunun üzerindeki herhangi bir nokta, o doğrunun denklemini sağlar.

Eğer A, B ve C noktaları aynı doğru üzerinde ise (doğrusalsa), bu noktaların eğimleri aynıdır. Bu özellik, üç veya daha fazla noktanın aynı doğru üzerinde olup olmadığını kontrol etmek için kullanılabilir.

Paralellik ve Özel Dörtgenler

Paralellik prensibine göre, dörtgenin karşılıklı kenarları paralelse, kenarların koordinat farklarının eşitliği söz konusudur: x₄-x₁=x₃-x₂ ve y₄-y₁=y₃-y₂. Özel dörtgenlerde, karşılıklı köşelerin koordinat toplamları eşittir: x₁+x₃=x₂+x₄ ve y₁+y₃=y₂+y₄.

Dörtgenin alanını hesaplamak için, dörtgeni köşegenlerle üç bölgeye ayırabiliriz. Bu bölgelerin alanlarının toplamı, dörtgenin alanını verir.