Trigonometri

Trigonometri, üçgenlerin açı ve kenar ilişkilerini inceleyen matematik dalıdır. Birim çember ile tüm trigonometrik değerleri kolayca bulabilirsin.

Birim çember, merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir. Trigonometrik fonksiyonların değerlerini ve işaretlerini görselleştirmek için mükemmel bir araçtır. Birim çemberde A(x,y) noktası için sin⍺ = y, cos⍺ = x olur.

Trigonometrik fonksiyonların işaretleri bölgelere göre değişir:

• 1. bölgede: Hepsi pozitif
• 2. bölgede: Sadece sin pozitif
• 3. bölgede: Sadece tan pozitif
• 4. bölgede: Sadece cos pozitif

Trigonometrik bağıntılar arasında sin²x + cos²x = 1 ve tanx·cotx = 1 gibi temel ilişkiler bulunur. Bu bağıntılar, problemi çözerken bir fonksiyonu diğerine dönüştürmek için kullanışlıdır.

💡 Bir problem çözerken aklında bulunsun: Sinüs ve kosinüs değerleri her zaman -1 ile 1 arasındadır, ama tanjant ve kotanjant her değeri alabilir!

Ayrıca sinüs ve kosinüs teoremi üçgenlerde kenar-açı ilişkilerini bulmak için önemli araçlardır. Sinüs teoreminde $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ iken, kosinüs teoreminde a² = b² + c² - 2bc·cosA şeklinde hesaplanır.

Analitik Geometri

Analitik geometride, geometrik şekilleri koordinat sisteminde inceleyerek cebirsel hesaplamalar yaparız. Temel kavramlar şu şekilde sıralanabilir:

İlk olarak iki nokta arasındaki uzaklık formülü A(x₁,y₁) ve B(x₂,y₂) arasında |AB| = $\sqrt{(x₂-x₁)^2 + (y₂-y₁)^2}$ şeklinde hesaplanır. Benzer şekilde iki nokta arasındaki orta nokta C, C$\frac{x₁+x₂}{2}$,$\frac{y₁+y₂}{2}$ formülüyle bulunur.

Doğrunun eğimi iki nokta arasındaki yükseklik farkının, yatay mesafeye oranıdır: m = $\frac{y₂-y₁}{x₂-x₁}$. Eğim açısı α ise tanα = m'dir.

İki doğru arasındaki ilişkilerde:

• Doğrular paralelse, eğimleri eşittir: m₁ = m₂
• Doğrular dikse, eğimlerinin çarpımı -1'dir: m₁·m₂ = -1

Bir doğrunun denklemi farklı şekillerde yazılabilir:

• Eğim-kesim formu: y = mx + n
• İki noktası bilinen doğru: $\frac{y-y₁}{y₂-y₁} = \frac{x-x₁}{x₂-x₁}$

💡 Bir noktanın doğruya uzaklığını hesaplarken d = $\frac{|ax₁+by₁+c|}{\sqrt{a²+b²}}$ formülünü kullanabilirsin. Bu, analitik geometride en çok karşılaşılan sorulardan biridir!

Üçgenlerde ağırlık merkezi kavramı da önemlidir. Eğer A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃) üçgeninin ağırlık merkezi G ise, G$\frac{x₁+x₂+x₃}{3}$, $\frac{y₁+y₂+y₃}{3}$ olarak hesaplanır.

Fonksiyonlarda Uygulamalar

Fonksiyonların grafiklerini çizmek ve analiz etmek, matematik problemlerinde yaygın bir uygulamadır. Özellikle paraboller 11. sınıfta önemli bir konudur.

Parabol denklemi genel olarak f(x) = ax² + bx + c şeklindedir. Burada a, b ve c katsayıları önemli bilgiler verir:

• a > 0 ise parabol kolları yukarı bakar
• a < 0 ise parabol kolları aşağı bakar
• Parabolün tepe noktası T(r,k) için r = -b/2a ve k = f(r) olarak bulunur

Parabolün x-eksenini kestiği noktalar, f(x) = 0 denkleminin çözümüdür. Bu noktalar Δ = b² - 4ac diskriminantına bağlıdır:

• Δ > 0 ise parabol x-eksenini iki noktada keser
• Δ = 0 ise parabol x-eksenine teğettir
• Δ < 0 ise parabol x-eksenini kesmez

Fonksiyonların dönüşümleri konusu, bir fonksiyonun grafiğinin nasıl değiştiğini anlatır:

• y = f(x) + a: Grafiği a birim yukarı öteleme
• y = f(x) - b: Grafiği b birim aşağı öteleme
• y = f$x + a$: Grafiği a birim sola öteleme
• y = f$x - b$: Grafiği b birim sağa öteleme

💡 Tek ve çift fonksiyonları tanımak sana büyük kolaylık sağlar! Çift fonksiyonların grafiği y-eksenine göre simetriktir ve f$-x$ = f(x) özelliği vardır. Tek fonksiyonlar ise orijine göre simetriktir ve f$-x$ = -f(x) özelliğini taşır.

Fonksiyonların artan-azalan olduğu aralıkları belirlemek ve maksimum-minimum değerlerini bulmak da bu konunun önemli uygulamalarındandır.

Denklem Sistemleri ve Uzay Geometrisi

Bu konu iki ana başlığı içerir: denklem ve eşitsizlik sistemleri ile üç boyutlu uzayda geometrik cisimler.

İkinci dereceden denklem sistemleri, en az ikisi sıfırdan farklı a, b, c katsayıları ile ax² + by² + cxy + dx + ey + f = 0 şeklindeki denklemlerden oluşur. Bu sistemlerin çözümleri (x,y) sıralı ikililerinin oluşturduğu kümedir.

İkinci dereceden eşitsizlikler $ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0 gibi$ çözülürken:

• İfadenin köklerini bulup sayı doğrusunda işaretlerini incelemelisin
• a > 0 ve ax² + bx + c > 0 için çözüm kümesi tam olarak a'nın işaretinin aynı olduğu aralıklardır

Uzay geometrisi bölümünde üç boyutlu cisimleri inceleriz:

• Silindir: Tabanı daire olan prizmadır. Hacmi V = πr²h ve yüzey alanı A = 2πr² + 2πrh formülleriyle hesaplanır.
• Küre: Merkeze eşit uzaklıktaki noktalar kümesidir. Hacmi V = 4/3πr³ ve yüzey alanı A = 4πr² formülleriyle bulunur.
• Koni: Tabanı daire olan dik piramittir. Hacmi V = 1/3πr²h formülüyle hesaplanır.

💡 Uzay geometrisi sorularını çözerken, cismin açık halini gözünde canlandırmaya çalış. Bu, yüzey alanı hesaplamalarında büyük kolaylık sağlar!

Bir kürenin bir düzlemle kesilmesi sonucu elde edilen kesit daima bir dairedir. Kesit dairenin alanı A = πr² formülüyle hesaplanır.

Çember ve Daire

Çember, düzlemde belirli bir noktaya (merkeze) eşit uzaklıktaki noktalar kümesidir. Bu konuda öğreneceğin temel kavramlar:

Çember ile ilgili temel kavramlar:

• Kiriş: Çember üzerindeki iki farklı noktayı birleştiren doğru parçasıdır
• Yay: Çember parçalarıdır
• Kesen: Çemberi iki farklı noktada kesen doğrulardır
• Teğet: Çembere yalnızca bir noktada değen doğrulardır

Çemberde açılar çok önemlidir:

• Merkez açı: Köşesi merkezde olan açıdır ve gördüğü yaya eşittir
• Çevre açı: Köşesi çember üzerinde olan açıdır ve gördüğü yayın yarısına eşittir
• Aynı yayı gören merkez açı, çevre açının iki katıdır
• Çapı gören her çevre açı 90°'dir
• Aynı yayı gören çevre açılar eşittir

💡 Çemberde açı hesaplamaları yaparken, merkez-çevre açı ilişkisini kullanmak problemi genellikle çok basitleştirir!

Daire ile ilgili alan ve çevre hesaplamalarında:

• Dairenin çevresi = 2πr
• Dairenin alanı = πr²
• Daire diliminin alanı = πr² · α/360° (α derece cinsinden açı)
• Daire parçasının alanı = πr² · α/360° - (r²·sinα)/2

Çemberde teğet-kiriş açı, gördüğü yayın yarısına eşittir. Ayrıca teğetin çembere değdiği noktadan geçen yarıçap, teğete diktir.

Olasılık

Olasılık, belirli bir olayın gerçekleşme şansını matematiksel olarak ifade etmemizi sağlar. Bu konunun temel kavramları şunlardır:

Deney bilimsel bir gerçeği kanıtlamak üzere belli bir yöntemle yapılan işlemdir. Para atma, zar atma gibi işlemler birer deneydir. Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçlara çıktı denir.

Örnek uzay (E), bir deneyde elde edilebilecek tüm çıktıların kümesidir. Örneğin, bir zar atıldığında örnek uzay E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}'dır. Örnek uzayın alt kümeleri olay olarak adlandırılır.

Olasılık hesaplamada kullanılan formül:

• P(A) = İstenen durumların sayısı / Olası tüm durumların sayısı

Eş olumlu örnek uzay, tüm çıktıların gerçekleşme olasılıklarının eşit olduğu durumdur. Bu durumda P(A) = s(A) / s(E) formülü kullanılır (s(A): A olayının eleman sayısı).

💡 Olasılık problemlerinde olayları şema veya ağaç diyagramı ile göstermek, karmaşık durumları basitleştirmeye yardımcı olur!

Bağımsız olaylar, birinin gerçekleşmesinin diğerini etkilemediği olaylardır. A ve B bağımsız olaylar ise P(A ∩ B) = P(A) · P(B) olur.

Koşullu olasılık, bir olayın başka bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde gerçekleşme olasılığıdır. P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) formülü ile hesaplanır.

Deneysel olasılık, deney yaparak elde edilen olasılık değeridir ve "Gerçekleşen durum sayısı / Deneme sayısı" formülü ile bulunur.