ÇARPANLAR VE KATLAR

Matematik dersinde çarpanlar ve katlar konusu, sayıları daha iyi anlamamızı sağlar.

Çarpan bir sayının kalansız bölenlerine denir. Mesela 24 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür. Çarpanları çarpan ağacı ile bulmak işimizi kolaylaştırır.

Bir sayının asal çarpanları ise, sadece asal sayılardan oluşan çarpanlarıdır. Hatırlayalım, asal sayılar 1 ve kendisi dışında böleni olmayan sayılardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13...

Asal çarpanlar algoritmasını kullanarak bir sayıyı asal çarpanlarına ayırabiliriz:

72 = 2³ × 3²
60 = 2² × 3 × 5

EBOB (En Büyük Ortak Bölen), iki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. İki sayının EBOB'unu bulmak için:

1. Her iki sayının çarpanlarını yazarız
2. Ortak çarpanların en büyüğünü buluruz
3. Ya da asal çarpanlar algoritması kullanırız

Mesela, 18 ve 24 sayılarının EBOB'u 6'dır çünkü ortak bölenleri 1, 2, 3 ve 6 olup, bunların en büyüğü 6'dır.

EKOK (En Küçük Ortak Kat), iki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Günlük hayatta periyodik durumlar için kullanışlıdır.

ÇARPANLAR VE KATLAR (devam)

EKOK'u bulmanın iki pratik yolu vardır:

1. Sayıların katlarını yazıp ilk ortak katı bulmak
2. Asal çarpanlar algoritması kullanarak bütün asal çarpanların çarpımını bulmak

Örneğin, 12 ve 18 sayılarının EKOK'u 36'dır. Günlük hayatta, "İki doktor 8 ve 10 günde bir nöbet tuttuğunda, ne zaman tekrar aynı gün nöbet tutarlar?" gibi sorularda EKOK kullanırız.

Aralarında asal sayılar ise 1'den başka ortak böleni olmayan sayılardır. Bu sayıların EBOB'u 1, EKOK'u ise çarpımlarıdır.

Pratik Bilgi: İki sayının çarpımı = EKOK × EBOB

Gerçek Hayat Uygulaması:

• Boyutları belli olan bir kutuya eş küpler yerleştirmek için EBOB kullanırız
• Farklı sıklıkta tekrar eden olayların ne zaman çakışacağını bulmak için EKOK kullanırız

Bu konuyu iyi anlamak, problem çözme yeteneğinizi geliştirecek ve birçok günlük hayat probleminde size yardımcı olacaktır.

ÜSLÜ SAYILAR

Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle tekrar tekrar çarpılmasını gösterir. Günlük hayatta büyük sayıları ifade etmede kolaylık sağlar.

Negatif Üslü Sayılar: Bir sayının negatif kuvveti, o sayının pozitif kuvvetinin çarpmaya göre tersini verir.

x⁻ⁿ = 1/xⁿ

Örnekler:

• 2⁻¹ = 1/2
• 5⁻² = 1/25
• (-5)⁻³ = -1/125

Üslü İfadelerle İşlemler:

1. Üssün üssü alınırken üsler çarpılır: (xᵐ)ⁿ = xᵐⁿ Örnek: (2³)⁴ = 2¹² = 4096

2. Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır: x^a × x^b = x^$a+b$ Örnek: 2⁵ × 2³ = 2⁸ = 256

3. Üsleri aynı olan ifadeler çarpılırken, tabanlar çarpılıp ortak üs yazılır: a^x × b^x = (a×b)^x Örnek: 3⁶ × 7⁶ = 21⁶

Negatif bir sayının kuvveti alınırken dikkat! Çift kuvvetler pozitif, tek kuvvetler negatif sonuç verir.

Bu kuralları öğrenmek, işlemlerinizi çok daha hızlı yapmanızı sağlayacak.

ÜSLÜ SAYILAR (devam)

Üslü İfadelerde Bölme İşlemi:

1. Tabanlar aynıysa, üsler çıkarılır: a^x ÷ a^y = a^$x-y$ Örnek: 2⁹ ÷ 2⁵ = 2⁴ = 16

2. Üsler aynıysa, tabanlar bölünüp ortak üs yazılır: a^x ÷ b^x = (a÷b)^x Örnek: 12¹⁰ ÷ 6¹⁰ = 2¹⁰ = 1024

Bilimsel Gösterim: Çok büyük veya çok küçük sayıları a×10ⁿ şeklinde yazma yöntemidir. Burada:

• 1 ≤ a < 10
• n tam sayıdır
• Büyük sayılar için n pozitif, küçük sayılar için negatiftir

Örnekler:

• 300.000.000.000 = 3×10¹¹
• 0,000000003 = 3×10⁻⁹

Ondalık Kesirlerin Üssü:

• (0,1)² = 0,01
• (0,25)² = (1/4)² = 1/16 = 0,0625

Üslü sayılar bilimi ve teknolojiyi anlamak için çok önemlidir. Bilimsel gösterim ise astronomi, mikrobiyoloji gibi alanlarda sık kullanılır.

KAREKÖKLÜ İFADELER

Kareköklü ifadeler, bir sayının karesini bulmak yerine, hangi sayının karesi olduğunu bulmamızı sağlar. √ sembolü ile gösterilir.

Temel Kavramlar:

• Bir pozitif sayının karekökü, o sayının kendisiyle çarpımına eşit olan pozitif sayıdır.
• Negatif sayıların karekökü gerçel sayılar kümesinde tanımlı değildir.
• Tam kare sayılar (1, 4, 9, 16, 25, 36...) dışındaki sayıların karekökü irrasyonel sayıdır.

Kareköklü Sayılarla Hesaplamalar:

1. Hangi sayılar arasında? Tam kare olmayan sayıların karekökünü tahmin edebiliriz:

   • √8 sayısı 2 ve 3 arasındadır çünkü 2² < 8 < 3²
   • √77 sayısı 8 ve 9 arasındadır, yaklaşık olarak 8,7 kabul edilebilir

2. a√b Şekline Çevirme: Kareköklü ifadeleri sadeleştirmek için kullanırız:

   • √72 = √(36×2) = 6√2
   • √8 = √(4×2) = 2√2

Kareköklü ifadeleri a√b şekline çevirmek için karekök içindeki sayıyı çarpanlarına ayırıp, tam kare çarpanları dışarı çıkarırız.

Günlük hayatta, bir karenin alanından kenar uzunluğunu bulmak için karekök kullanırız. Örneğin, alanı 25 br² olan bir karenin bir kenarı √25 = 5 birimdir.

KAREKÖKLÜ İFADELER (devam)

Kareköklü İfadelerde İşlemler:

1. Toplama-Çıkarma: Sadece kök içleri aynı olan terimler toplanıp çıkarılabilir:

   2√3 + 5√3 = 7√3
   9√5 - 3√5 = 6√5
   

2. Çarpma İşlemi: Katsayılar ve kök içindeki sayılar ayrı ayrı çarpılır:

   4√3 × 2√2 = 8√6
   3√7 × 5√14 = 15√98 = 15√(49×2) = 15×7√2 = 105√2
   

3. Bölme İşlemi: Katsayılar ve kök içindeki sayılar ayrı ayrı bölünür:

   4√6 ÷ 2√3 = 2√2
   

Ondalık Kesirlerde Karekök: Ondalık kesirleri önce kesir şeklinde yazıp, pay ve paydanın karekökünü ayrı ayrı alırız:

√0,25 = √(25/100) = 5/10 = 0,5
√0,04 = √(4/100) = 2/10 = 0,2

Sayı Kümeleri:

• Rasyonel Sayılar (Q): a/b şeklinde yazılabilen sayılar (b≠0)
• İrrasyonel Sayılar (I): Kesir şeklinde yazılamayan sayılar (√2, √3, π gibi)
• Gerçek Sayılar (R): Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi

Kareköklü ifadeler, geometri problemlerinde ve bilimsel hesaplamalarda sıkça karşımıza çıkar. Bu konuyu iyi anlamanız, daha ileri matematik konularında size avantaj sağlayacaktır.

VERİ ANALİZİ

Veri analizi, araştırma sonucu toplanan verilerin düzenlenip, görselleştirilmesini sağlar. Grafikler, verileri kolay anlaşılır hale getirmek için kullanılır.

Sütun Grafiği:

• Verileri dikey veya yatay sütunlarla gösterir
• Veri gruplarını karşılaştırmada çok etkilidir
• Grafikte eksenlere isim vermeli ve başlık koymalıyız
• Sütunlar eşit genişlikte olmalı

Örneğin, "Sınıflara göre öğrencilerin seçtiği yabancı diller" gibi bilgiler sütun grafiğiyle çok net anlaşılır.

Çizgi Grafiği:

• Zamana bağlı değişimleri göstermek için idealdir
• Sürekli veriler için kullanılır
• Farklı gruplar farklı renklerle gösterilmelidir
• "Bir haftadaki sıcaklık değişimi" gibi örneklerde kullanılır

Daire Grafiği:

• Bir bütünün parçalarını göstermek için mükemmeldir
• Daire, toplam 360° olacak şekilde dilimlere ayrılır
• Her dilimin merkez açısı, o verinin toplam içindeki oranına göre belirlenir

Daire grafiğinde açıları bulurken şu formülü kullanırız: Veri Sayısı ÷ Toplam Veri × 360°

Bu grafikleri hem okuyabilmek hem de oluşturabilmek çok önemlidir. Günlük hayatta gazetelerde, dergilerde ve sosyal medyada sık sık grafiklerle karşılaşırsınız.

VERİ ANALİZİ (devam)

Grafikler Arası Dönüşümler: Bazen verileri farklı şekillerde göstermek isteyebiliriz. Bunun için bir grafikteki bilgileri başka tür bir grafiğe dönüştürebiliriz.

Örneğin:

• Bir daire grafiğindeki verileri sütun grafiğine çevirebiliriz
• Sütun grafiğindeki verileri çizgi grafiğine dönüştürebiliriz

Dönüşüm yaparken ilk grafikteki değerleri doğru okuyup, yeni grafiğe aktarmak çok önemlidir.

Grafik Türü Seçimi: Hangi grafik türünün kullanılacağı verilerin özelliğine bağlıdır:

• Karşılaştırma yapmak için → Sütun grafiği
• Zaman içindeki değişim için → Çizgi grafiği
• Bütünün parçalarını göstermek için → Daire grafiği

Grafik Okuma İpuçları:

1. Önce başlık ve eksen isimlerine dikkat edin
2. Ölçekleri kontrol edin
3. Verileri karşılaştırırken oransal düşünün
4. Grafiğin vermek istediği mesajı anlamaya çalışın

Grafikleri doğru okuyabilmek, günlük hayatta maruz kaldığımız bilgileri doğru yorumlamamıza yardımcı olur. Özellikle haberlerde, reklamlarda ve bilimsel çalışmalarda grafikler sıkça kullanılır.

OLASILIK

Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını ölçen matematiksel bir kavramdır. Günlük hayatta pek çok durumda karşımıza çıkar.

Temel Olasılık Kavramları:

• Deney: Sonucu rastgele olan, tekrarlanabilen işlemler (zar atma, para atma gibi)
• Olay: Deney sonucunda gerçekleşmesi beklenen durum
• Çıktı: Deneyin tüm olası sonuçları

Örneğin, bir zar atıldığında:

• Deney: Zarın atılması
• Deneyin çıktıları: 1, 2, 3, 4, 5, 6
• Olay: Tek sayı gelmesi (1, 3, 5)

Olasılık Hesaplama: Bir olayın olasılığı şu formülle hesaplanır:

Olasılık = İstenen durumların sayısı / Tüm olası durumların sayısı

Örnek: Bir zarın üst yüzüne 4'ten küçük sayı gelme olasılığı

Olasılık = 3 (1,2,3 sayıları) / 6 (tüm olası durumlar) = 1/2

Olasılık Değerleri:

• Kesin olayların olasılığı 1'dir (Örnek: Zar atıldığında 7'den küçük sayı gelmesi)
• İmkânsız olayların olasılığı 0'dır (Örnek: Zar atıldığında 7 gelmesi)
• Tüm olasılık değerleri 0 ile 1 arasındadır

Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı her zaman 1'dir.

Olasılık kavramını anlamak, günlük yaşamda daha bilinçli kararlar almanıza yardımcı olacaktır.

CEBİRSEL İFADELER VE ÖZDEŞLİKLER

Cebirsel ifadeler, en az bir değişken ve işlem içeren matematiksel ifadelerdir. Günlük hayatta karşılaştığımız birçok problemi formüle etmemize yardımcı olurlar.

Temel Kavramlar:

• Değişken: Farklı değerler alabilen, genellikle harflerle gösterilen sembol
• Terim: Bir sayı ile bir veya birden fazla değişkenin çarpımı
• Katsayı: Terimlerde değişkenlerin önündeki sayı
• Sabit Terim: Değişken içermeyen terim

Örnek: 5x + 2y - 7 ifadesinde

• 5x, 2y ve -7 birer terimdir
• 5 ve 2 katsayılardır
• -7 sabit terimdir

Cebirsel İfadelerde Çarpma İşlemi:

1. 1 terimli ile 1 terimli çarpma:

   6 × 2x = 12x
   3x × 5x = 15x²
   

2. 1 terimli ile 2 terimli çarpma:

   5 × $7x + 2y$ = 35x + 10y
   -2x × $x + 3$ = -2x² - 6x
   

3. 2 terimli ile 2 terimli çarpma:

   $2x + 3$ × $4x + 1$ = 8x² + 2x + 12x + 3 = 8x² + 14x + 3
   

Cebirsel ifadelerde çarpma işlemi yaparken dağılma özelliğini kullanırız. Her terimi diğer ifadenin her terimiyle çarparız.