Tam Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Tam sayılarda işlem yapmak çok kolay! İşaretlere dikkat etmen yeterli.

Toplama işleminde iki farklı durum var:

• Aynı işaretli sayıları toplarken: Sayıları topla ve ortak işareti koy Örnek: (+4) + (+7) = +11 veya (-4) + (-7) = -11

• Farklı işaretli sayıları toplarken: Büyük sayıdan küçük sayıyı çıkar ve büyük sayının işaretini koy Örnek: (-4) + (+9) = +5 veya (+3) + (-8) = -5

Çıkarma işleminde her şey toplamaya çevrilir:

• A - $-B$ = A + $+B$ → Eksi ile eksinin çıkarması, artıya döner Örnek: (+4) - (-7) = (+4) + (+7) = +11

• A - $+B$ = A + $-B$ → Artının çıkarması, eksiye döner
  Örnek: (+3) - (+8) = (+3) + (-8) = -5

İpucu! Çıkarma işlemlerinde ikinci sayının işaretini değiştirip toplama işlemine dönüştürürsen işlemler çok daha kolay olur!

Tam Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemleri

Çarpma ve bölmede önce işaretleri belirlemelisin, sonra sayıları çarparsın veya bölersin.

Çarpma işlemi kuralları:

• Aynı işaretli sayıların çarpımı (+) olur: (+) × (+) = (+) (-) × (-) = (+) Örnek: (+4) × (+7) = +28 veya (-4) × (-7) = +28

• Farklı işaretli sayıların çarpımı (-) olur: (+) × (-) = (-) (-) × (+) = (-) Örnek: (-4) × (+9) = -36 veya (+3) × (-8) = -24

Bölme işlemi kuralları:

• Aynı işaretli sayıların bölümü (+) olur: (+) ÷ (+) = (+) (-) ÷ (-) = (+) Örnek: (+10) ÷ (+2) = +5 veya (-10) ÷ (-2) = +5

• Farklı işaretli sayıların bölümü (-) olur: (+) ÷ (-) = (-) (-) ÷ (+) = (-) Örnek: (+8) ÷ (-2) = -4 veya (-8) ÷ (+2) = -4

Unutma! Çarpma ve bölmede aynı işaretler → pozitif sonuç; farklı işaretler → negatif sonuç verir.

Tam Sayı Problemleri

Tam sayı problemlerinde, günlük hayattaki artma-azalma durumlarını tam sayılarla ifade edebiliriz.

Problem Çözme Adımları:

1. Problemi dikkatli oku
2. İşaretlere dikkat et $yukarı çıkma +, aşağı inme -$
3. İşlemleri doğru sırayla yap

Örnek Problem: Bir alışveriş merkezinin 5. katında olan bir kişi önce 7 kat aşağıya, sonra 3 kat yukarı çıktığında kaçıncı katta olur?

Çözüm: Başlangıç: 5. kat 7 kat aşağı: 5 + (-7) = -2 3 kat yukarı: -2 + 3 = 1 Sonuç: 1. katta olur

Diğer Örnekler:

• 14°C sıcaklığındaki Aydın ili, -10°C sıcaklığındaki Ağrı ilinden ne kadar sıcaktır? Çözüm: 14 - (-10) = 14 + 10 = 24°C

• Her saat sıcaklığın 3°C azaldığı bir ilde 15.00'deki sıcaklık 9°C'dir. Saat 19.00'daki sıcaklık kaç°C olur? Çözüm: 4 saat × $-3°C$ = -12°C değişim, 9 + (-12) = -3°C

Püf Noktası: Tam sayı problemlerinde, artış için (+), azalış için (-) işareti kullanmayı unutma!

Tam Sayılar ile İlgili Örnek Sorular

Tam sayılarla ilgili problemleri çözmek, günlük hayatta karşılaştığımız durumları sayısal olarak anlamamızı sağlar.

Örnek Soru 1: Bir klima +14°C'yi gösterirken sıcaklığı 15°C arttırılıp, sonra 10°C azaltılırsa son durumda klimanın gösterdiği sıcaklık kaç°C olur?

Çözüm: 14 + 15 = 29°C 29 - 10 = 19°C

Örnek Soru 2: 137 m yükseklikteki bir dağın tepesinde olan bir kişi, denizin 7m derinliğinde olan kişiye göre kaç metre yüksektedir?

Çözüm: Yükseklik farkı = 137 - (-7) = 137 + 7 = 144 metre

Dart Oyunu Sorusu: Yavuz dart tahtasına 7 atış yapıyor. Bölgelere göre puanlar: mor (+2), yeşil (-5), turuncu (+10). Yavuz 2 defa mor, 3 defa yeşil ve 2 defa turuncu bölgeye isabet ettiriyor. Toplam kaç puan almıştır?

Çözüm: 2 × (+2) + 3 × (-5) + 2 × (+10) = +4 + (-15) + 20 = +9 puan

Hayatta Kullanım: Tam sayılar sıcaklık, yükseklik, derinlik, borç-alacak hesapları gibi günlük hayatımızdaki pek çok durumu ifade etmek için kullanılır!

Tam Sayılarla İlgili Daha Fazla Problem

Tam sayılar, yaş farkları ve sınav puanlaması gibi birçok durumda kullanılabilir.

Örnek Soru 1: Yavuz 24 yaşındadır. Yavuz'un 5 arkadaşının yaşlarının Yavuz'un yaşından kaç yıl eksik ya da fazla olduğunu gösteren tablo:

Arkadaşlarının yaşlarının toplamı kaçtır?

Çözüm: Ozan: 24 + (-1) = 23 Mert: 24 + 3 = 27 Afra: 24 + (-4) = 20 İlke: 24 + 6 = 30 Giray: 24 + (-5) = 19 Toplam: 23 + 27 + 20 + 30 + 19 = 119

Örnek Soru 2: 20 soruluk bir sınavda 8 soru yanlış yapılmış ve 2 soru boş bırakılmıştır. 4 yanlışın bir doğruyu götürdüğü bu sınavda 72 puan alan öğrenci tüm soruları doğru cevaplasaydı kaç puan alacaktı?

Çözüm: Doğru cevap sayısı: 20 - 8 - 2 = 10 soru Yanlışlardan götürülen: 8 ÷ 4 = 2 soru Net doğru: 10 - 2 = 8 soru Bir sorunun değeri: 72 ÷ 8 = 9 puan Tüm sorular doğru olsaydı: 20 × 9 = 180 puan

Matematik Hayatın İçinde: Tam sayılar, arkadaş grupları arasındaki yaş farkları veya sınav puanlaması gibi günlük hayatımızda karşımıza çıkan birçok durumu modellemek için kullanılır!

Sayı Doğrusunda Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayıları sayı doğrusunda göstermek, büyüklük-küçüklük ilişkisini anlamanı kolaylaştırır.

Rasyonel sayıları sayı doğrusu üzerinde yerleştirirken dikkat etmen gereken noktalar:

• Her rasyonel sayı sayı doğrusu üzerinde tam bir noktaya karşılık gelir
• Sayı ne kadar büyükse, sayı doğrusunda o kadar sağda yer alır
• Sayı ne kadar küçükse, sayı doğrusunda o kadar solda yer alır

Örnekler: Sayı doğrusunda $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $-\frac{2}{3}$, $-\frac{3}{4}$ gibi rasyonel sayıları gösterebiliriz.

Örnek Soru: Sayı doğrusunda $-\frac{13}{2}$ ile $\frac{17}{4}$ arasında bulunan tam sayıların toplamı kaçtır?

Çözüm: $-\frac{13}{2} = -6,5$ ve $\frac{17}{4} = 4,25$ arasındaki tam sayılar: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 Bu tam sayıların toplamı: (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = -11

İpucu! Rasyonel sayıları karşılaştırırken, kesirli sayıları ondalık gösterime çevirmen işini kolaylaştırabilir. Örneğin $\frac{3}{4} = 0,75$ olduğundan $\frac{3}{4} > \frac{1}{2} = 0,5$ olur.

Rasyonel Sayılarla İlgili Problemler

Sayı doğrusu üzerindeki rasyonel sayılar hakkında çeşitli sorular çözebiliriz.

Örnek Soru 1: Sayı doğrusunda -7 ile -8 arası 10 eş parçaya ayrılarak A $\frac{B}{10}$ rasyonel sayısı gösterilmiştir.

-8 --------- A $\frac{B}{10}$ --------- -7

A+B işleminin sonucunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

Çözüm: -8 ile -7 arası 10 eş parçaya ayrıldığında, her bir adım $\frac{1}{10}$ birimdir. A $\frac{B}{10}$ sayısı, -8'den B adım sonraki sayıdır. Yani A $\frac{B}{10} = -8 + \frac{B}{10}$ Bu durumda A = -8 ve B en küçük 1 olabilir. A+B = -8+1 = -7 olur.

Örnek Soru 2: Sayı doğrusunda -1 ile $-\frac{1}{5}$ arası 5 eş parçaya ayrılmıştır. K noktasına karşılık gelen rasyonel sayı nedir?

Çözüm: -1 ile $-\frac{1}{5}$ arası $-1 - (-\frac{1}{5}) = -1 + \frac{1}{5} = -\frac{5}{5} + \frac{1}{5} = -\frac{4}{5}$ birimdir. Bu aralık 5 eş parçaya ayrıldığında her parça $-\frac{4}{5} \div 5 = -\frac{4}{25}$ birim olur. K noktası 2. aralıkta olduğundan: $-1 + (2 \times -\frac{4}{25}) = -1 + (-\frac{8}{25}) = -\frac{25}{25} + (-\frac{8}{25}) = -\frac{33}{25}$

Püf Noktası: Sayı doğrusunda eş aralıklarla çalışırken, toplam aralığı parça sayısına bölerek bir adımdaki değişimi bulabilirsin!

Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma yaparken dört adımı takip etmelisin:

1. Paydaları eşitle 2. Aradaki işaret "+" ise payları topla 3. Aradaki işaret "-" ise payları çıkar 4. Paydayı aynen yaz

Örnek 1: $\frac{4}{7} + \frac{9}{7} = \frac{4+9}{7} = \frac{13}{7}$

Örnek 2: $(-\frac{4}{5}) + (-\frac{3}{5}) = \frac{-4+(-3)}{5} = \frac{-7}{5}$

Örnek 3: $\frac{4}{7} - (-\frac{2}{7}) = \frac{4-(-2)}{7} = \frac{4+2}{7} = \frac{6}{7}$

Paydaları Farklı Olan Kesirler İçin: Önce paydaları eşitlemek gerekir, sonra aynı işlemi uygularsın.

Örnek 4: $\frac{2}{5} - (-\frac{7}{10}) = \frac{4}{10} - (-\frac{7}{10}) = \frac{4-(-7)}{10} = \frac{4+7}{10} = \frac{11}{10}$

Tam Sayılı Kesirlerle İşlem: Tam sayılı kesri önce bileşik kesre çevirmelisin.

Örnek 5: $2\frac{2}{3} + (-\frac{7}{9}) = \frac{8}{3} + (-\frac{7}{9}) = \frac{24}{9} + (-\frac{7}{9}) = \frac{24-7}{9} = \frac{17}{9}$

Kolay Yöntem! Çıkarma işlemlerinde, çıkarılan kesrin işaretini değiştirip toplama işlemine dönüştürürsen işlemler daha kolay olur: $a-b = a+(-b)$

Rasyonel Sayılarda Toplama ve Çıkarma Problemleri

Rasyonel sayılarla gerçek hayat durumlarını daha kolay anlayabilirsin.

İşlem Ağacı Sorusu: Verilen işlem ağacında boş bırakılan yerleri uygun ifadelerle doldurarak A rasyonel sayısını bulunuz.

$İşlem ağacı örneği$

Bu tür sorularda, işlem ağacındaki tüm adımları tek tek tamamlayarak sonuca ulaşabilirsin.

Film İzleme Problemi: Derya bir gününün $\frac{1}{3}$'ünü uykuda, $\frac{1}{4}$'ünü okulda, $\frac{1}{6}$'sını ders çalışarak, $\frac{1}{12}$'sini spor yaparak, $\frac{1}{12}$'sini de kitap okuyarak geçirmektedir. Geriye kalan vaktinde film izlediğine göre Derya günde kaç saat film izlemektedir?

Çözüm: Kullandığı vakitler: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$ Film için kalan vakit: $1 - \frac{11}{12} = \frac{12}{12} - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}$ Bir gün 24 saat olduğuna göre: $\frac{1}{12} \times 24 = 2$ saat film izler.

Sınıf Problemi: 7-A sınıfındaki öğrencilerin $\frac{3}{5}$'i kız öğrencidir. Gözlüklü kız öğrenci sayısı sınıftaki öğrencilerin $\frac{1}{5}$'i kadardır. Gözlüksüz kız öğrenci sayısı ile erkek öğrenci sayısının toplamı sınıftaki öğrencilerin kaçta kaçıdır?

Günlük Hayatta Oran: Rasyonel sayıları kullanarak günlük hayatımızdaki zamanı, miktarları veya parçaları ifade edebiliriz. Bu sayede zor problemleri bile kolayca çözebilirsin!

Rasyonel Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemleri

Rasyonel sayılarda çarpma ve bölme işlemleri yapmak aslında çok kolay!

Çarpma İşlemi Adımları:

1. Önce işaretini belirle $aynı işaretler → +, farklı işaretler → -$
2. Payları kendi arasında çarp
3. Paydaları kendi arasında çarp
4. Varsa sadeleştir

Çarpma Örnekleri: $\frac{3}{7} \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{7 \times 5} = \frac{6}{35}$

$(\frac{-3}{7}) \times (\frac{-2}{5}) = \frac{3 \times 2}{7 \times 5} = \frac{6}{35}$ $İşaret: + çünkü - ile - çarpılıyor$

$(\frac{-2}{3}) \times \frac{4}{5} = \frac{-2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{-8}{15}$ $İşaret: - çünkü - ile + çarpılıyor$

Bölme İşlemi Adımları:

1. İlk kesri aynen yaz
2. İkinci kesri ters çevir (takla attır) ve çarpma işlemine dönüştür
3. İşaretleri belirle ve çarp

Bölme Örnekleri: $\frac{1}{3} \div \frac{4}{7} = \frac{1}{3} \times \frac{7}{4} = \frac{1 \times 7}{3 \times 4} = \frac{7}{12}$

$\frac{4}{13} \div (\frac{-5}{7}) = \frac{4}{13} \times (\frac{-7}{5}) = \frac{4 \times (-7)}{13 \times 5} = \frac{-28}{65}$ $İşaret: - çünkü + ile - çarpılıyor$

$(\frac{-7}{3}) \div \frac{14}{5} = (\frac{-7}{3}) \times \frac{5}{14} = \frac{-7 \times 5}{3 \times 14} = \frac{-35}{42} = \frac{-5}{6}$ $İşaret: - çünkü - ile + çarpılıyor$

Püf Noktası: Bölme işlemini, ikinci kesri ters çevirip çarpma işlemine dönüştürerek çok daha kolay yapabilirsin! Unutma: $a \div b = a \times \frac{1}{b}$