10. Sınıf Matematik Çalışma Soruları

Bu çalışma kağıdı, 10. sınıf matematik dersinin 1. dönem 1. yazılı sınavı için hazırlanmış sorulardan oluşmaktadır. Çalışma sorularının çözümleri Metin Yayınları'nın YouTube kanalında 22 Ekim 2024 Salı saat 19:00'da yayınlanacaktır.

Bu çalışma kağıdında permütasyon, kombinasyon, olasılık ve binom açılımı gibi önemli konulara ait çeşitli zorluk seviyelerinde sorular bulunmaktadır. Sınava hazırlık sürecinde size rehberlik edecek olan bu soruları çözmeniz, konuları pekiştirmenize yardımcı olacaktır.

İpucu: Soruları çözerken her zaman önce problemi dikkatlice okuyun ve ne sorulduğunu tam olarak anlayın. Ardından uygun sayma yöntemini belirleyin.

Toplama ve Çarpma Yöntemleri

Bu sayfada, olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma yöntemleriyle hesaplamanın temel prensiplerini göreceksiniz.

Soru 1: Akın'ın gardırobundaki 5 gömlek ve 6 kazakla ilgili giyim kombinasyonları soruluyor. Akın, 1 gömlek veya 1 kazağı toplam 5 + 6 = 11 farklı şekilde giyebilirken (toplama prensibi), 1 gömlek ve 1 kazağı birlikte 5 × 6 = 30 farklı şekilde giyebilir (çarpma prensibi).

Soru 2: A'dan B'ye 3 farklı yol, B'den C'ye 2 farklı yol olduğunda, A'dan C'ye gidiş için toplam 3 × 2 = 6 farklı yol oluşur. A'dan C'ye gidip dönüş içinse, hem gidiş hem dönüş için olası yollar çarpılarak 6 × 6 = 36 farklı yol bulunur.

Soru 3: Bir restoran menüsünde farklı başlıklardan yemek seçme problemi. Sadece bir ürün seçildiğinde toplama prensibi kullanılırken (2 + 3 + 4 + 1 = 10), her başlıktan birer ürün istendiğinde çarpma prensibi kullanılır (2 × 3 × 4 × 1 = 24).

Önemli not: Seçim problemlerinde "veya" durumunda genellikle toplama, "ve" durumunda ise çarpma prensibi kullanılır!

Permütasyon Problemleri

Permütasyon, nesnelerin sıralanması ile ilgili problemlerde kullanılır. n elemanlı bir kümenin r elemanlı permütasyonu P(n,r) = n!/$n-r$! formülü ile hesaplanır.

Soru 4: Bir mağazadaki tişört seçenekleri problemi. 3 marka, 5 beden ölçüsü ve 4 renk olduğunda, toplamda 3 × 5 × 4 = 60 farklı tişört seçeneği vardır.

Soru 5: 5 kitabın belli kurallara göre dizilmesi. Sayısal ve sözel branş kitapları kendi içlerinde bir arada olacak şekilde, branşların kendi içindeki sıralamaları ve branşların kendi aralarındaki sıralamalar hesaplanır.

Soru 6: Farklı derslere ait kitapların dizilmesi problemleri. Burada farklı kısıtlamalar altında diziliş sayıları hesaplanır. Örneğin, 2 Matematik, 3 Fizik ve 4 Kimya kitabı yan yana dizilirken, aynı branş kitapları bir arada olma koşulu eklendiğinde çözüm değişir.

Bu tür problemlerde dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, kısıtlamaların doğru anlaşılması ve uygun permütasyon formülünün kullanılmasıdır.

İpucu: Permütasyon problemlerinde, önce grupları kendi içinde düşünün, sonra grupları kendi aralarında sıralayın!

Permütasyon Hesaplamaları

Bu sayfadaki sorular, farklı permütasyon hesaplamalarını içermektedir.

Soru 7: 5 kişilik bir ailenin yan yana dizilip fotoğraf çektirmesi. Burada 5! = 120 farklı diziliş vardır. Eğer anne-baba bir arada olması istenirse, bu ikiliyi tek bir birim olarak düşünüp (4! × 2!) şeklinde hesaplayabiliriz. Benzer şekilde çocukların bir arada olması durumu da ayrıca incelenir.

Soru 8: Temel permütasyon hesaplamaları. P(4,1) = 4, P(5,0) = 1, P(5,5) = 120, P(5,3) = 60 gibi çeşitli permütasyon değerleri hesaplanır. Bu formüller, daha karmaşık problemlere geçmeden önce iyi anlaşılmalıdır.

Permütasyon formülü olan P(n,r) = n!/$n-r$! kullanarak bu hesaplamalar yapılır. Faktöriyel hesabı da unutulmamalıdır: n! = n × $n-1$ × $n-2$ × ... × 3 × 2 × 1 şeklindedir.

Hatırlatma: Permütasyon problemlerinde sıralama önemlidir! ABC ile CBA farklı permütasyonlardır. Ayrıca P(n,0) = 1 ve P(n,n) = n! olduğunu unutmayın.

Özel Permütasyon Problemleri

Bu sayfa, gerçek hayattan daha karmaşık permütasyon problemlerini içeriyor.

Soru 9: Alper'in 5 farklı mesajından 3 tanesini belirli kısıtlamalar altında göndermesi problemi. Burada piknikle ilgili mesaj istenmezken, deneme sonuçlarıyla ilgili mesaj isteniyor. Bu kısıtlamaları dikkate alarak uygun permütasyon hesaplanır.

Soru 10: METIN harfleriyle kelimeler oluşturma problemi. 5 harfli kelimelerde E ve İ harflerinin yan yana bulunma sayısını bulmak için, önce bu iki harfi tek birim olarak düşünüp, sonra kendi içinde permüte etmek gerekir.

Soru 11: Dört kişinin bir bankta oturma düzeni. Ali ve Bekir'in yan yana olması ve Cemal ile Deniz'in belirli konumlarda oturması kısıtlamalarıyla permütasyon hesaplanır.

Soru 12: Altı arkadaşın yuvarlak masa etrafına oturması problemi. Burada Ali ve Burcu'nun yan yana oturması kısıtlaması dikkate alınır. Dairesel permütasyon kullanılır, çünkü yuvarlak masada başlangıç noktası önemli değildir.

İpucu: Kısıtlamalı permütasyon problemlerinde, önce kısıtlamayı basitleştirin (örneğin, iki nesneyi birleştirerek tek nesne gibi düşünün), sonra permütasyonu hesaplayın.

Tekrarlı Permütasyonlar

Bu sayfada, tekrar eden elemanların yer aldığı permütasyon problemleri ele alınmaktadır.

Soru 16: "KELEBEK" kelimesinin harfleri kullanılarak oluşturulabilecek farklı kelimeler. Bu kelimede E harfi iki kez tekrar ettiğinden, tekrarlı permütasyon formülü kullanılır: 7!/(2!) = 2520 farklı kelime yazılır.

Soru 17: "440551" sayısının rakamları kullanılarak yazılabilecek 6 basamaklı sayılar. Burada 4 rakamı 2 kez, 5 rakamı 2 kez ve 0 ile 1 rakamları birer kez tekrar ettiğinden, tekrarlı permütasyon formülü kullanılır: 6!/(2!×2!×1!×1!) = 180 farklı sayı yazılır.

Soru 18: A noktasından eczanelere gidiş yollarıyla ilgili problem. Bu soruda, sadece sağa ve yukarı hareketler yapılabildiğinden, kombinasyon kullanılarak çözülür. Örneğin, I nolu eczaneye gitmek için toplam 7 adım atılması gerekiyorsa (3 sağa, 4 yukarı), bu 7!/(3!×4!) = 35 farklı yol demektir.

Dikkat: Tekrarlı permütasyon problemlerinde, tekrar eden her eleman için faktöriyel hesabı yapılıp, payda kısmına çarpım olarak eklenir. Formül: n!/(n₁!×n₂!×...×nₖ!) şeklindedir.

Kombinasyon Problemleri

Bu sayfa, kombinasyon kavramını ve uygulamalarını göstermektedir. n elemanlı bir kümeden r elemanlı seçimlerin sayısı C(n,r) = n!/$r!(n-r)!$ formülü ile hesaplanır.

Soru 19: Temel kombinasyon hesaplamaları yapılır. C(5,5) = 1, C(5,0) = 1, C(5,3) = 10, C(6,2) = 15 gibi değerler bulunur. Bu örnekler, kombinasyon formülünün temel uygulamalarıdır.

Soru 20: Telefonlarla ilgili sipariş problemi. Üç tedarikçiden sipariş verme kısıtlamaları altında, mümkün olan farklı sipariş kombinasyonları hesaplanır.

Soru 21: Sağlık ekibi oluşturma problemi. 6 doktor ve 4 hemşire arasından çeşitli kombinasyonlarla ekip oluşturma sorusudur:

• 3 kişilik sağlık ekibi: C(10,3) = 120 farklı şekilde oluşturulabilir
• 2 doktor, 1 hemşire seçimi: C(6,2) × C(4,1) = 60 farklı şekilde
• 1 doktor, 2 hemşire seçimi: C(6,1) × C(4,2) = 36 farklı şekilde

Önemli: Kombinasyonda sıralama önemli değildir! ABC ile CBA aynı kombinasyonu temsil eder. Ayrıca C(n,0) = C(n,n) = 1 ve C(n,r) = C$n,n-r$ olduğunu hatırlayın.

Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı

Bu sayfa, Pascal üçgeni ve binom açılımı konularını içermektedir.

Soru 24: Çubuklar kullanarak ölçüm problemi. Farklı uzunluktaki çubuklardan iki tanesini seçerek 4 metre uzunluğundaki bir kumaşı ölçme problemidir. Bu, bir kombinasyon problemi olarak ele alınır.

Soru 25: Pascal üçgeninin ardışık iki satırında verilen değerlerden bilinmeyenleri bulma problemi. Pascal üçgeninde her sayı, üstündeki iki sayının toplamıdır: $\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}$

Soru 26: $(2x+1)^4$ binom açılımının analizi. Bu açılımda:

• Terim sayısı: $n+1 = 5$ terim
• Katsayılar toplamı: $(2+1)^4 = 3^4 = 81$
• Sabit terim: $\binom{4}{4} \cdot (2x)^0 \cdot (1)^4 = 1$

Soru 27: Pascal üçgenindeki çapraz sayıların toplamı problemi. Pascal üçgeninin özel bir özelliği kullanılarak çözülür.

Not: Binom açılımı formülü $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ şeklindedir. Pascal üçgeni, binom katsayılarını kolayca görmenizi sağlar.

Binom Açılımı Problemleri

Bu sayfa, daha karmaşık binom açılımı problemlerini içermektedir.

Soru 28: $(2a+b)^5$ ifadesinin açılımında baştan 3. terimi bulma problemi. Binom açılımı formülüne göre, $r=2$ için $\binom{5}{2} \cdot (2a)^{5-2} \cdot (b)^2 = 10 \cdot 8a^3 \cdot b^2 = 80a^3b^2$ olarak hesaplanır.

Soru 29: $(3x+7)^5$ açılımında tek sayı olan terim sayısı problemi. Burada, $x$ bir tek sayı olduğunda hangi terimlerin tek sayı olacağı analiz edilir.

Soru 30: $(x-2y)^{10}$ açılımıyla ilgili çeşitli sorular. Terim sayısı, katsayılar toplamı, belirli terimlerin bulunması gibi sorular çözülür. Örneğin, terim sayısı $n+1 = 11$ ve katsayılar toplamı $(1-2)^{10} = (-1)^{10} = 1$ olarak bulunur.

Binom açılımında, $r$. terimi bulmak için $\binom{n}{r-1} \cdot a^{n-(r-1)} \cdot b^{r-1}$ formülü kullanılır. Ayrıca, belirli bir değişkenin belirli bir kuvvetini içeren terimin katsayısını bulmak için uygun $k$ değeri hesaplanmalıdır.

İpucu: Binom açılımı problemlerinde, istenen terimi bulmak için önce hangi $k$ değeri için $a^{n-k}b^k$ şeklindeki terimin istenilen forma sahip olacağını belirleyin.

Binom Açılımı ve Olasılık

Bu sayfada binom açılımı ve olasılık problemleri bir arada ele alınmaktadır.

Soru 31: $(x+\frac{1}{x})^8$ ifadesinin açılımında çeşitli terimleri bulma problemi. Bu açılımda baştan 3. terim, 6. terim ve sabit terim hesaplanır. Sabit terimin bulunması için $x$ üssünün sıfır olması gerekir.

Soru 32: $(2x^2-3y)^n$ açılımında verilen bir terimden hareketle $m+n$ değerini bulma problemi. Burada verilen terimden yola çıkarak denklem kurulur ve $n$ değeri bulunur.

Soru 33: $(2x-1)^6$ açılımında ortadaki terimi bulma problemi. Terim sayısı tek olduğunda ortadaki terim, çift olduğunda ise ortadaki iki terimin analizi yapılır.

Soru 34: İki zarın atılması deneyinde çeşitli olasılıklar. Olasılık, istenilen durumların sayısının mümkün olan tüm durumların sayısına bölümü olarak hesaplanır. Örneğin, iki zarın aynı gelme olasılığı 6/36 = 1/6'dır.

Hatırlatma: Olasılık hesaplarında, olayın gerçekleşme sayısını toplam olasılık sayısına böleriz. Formül: P(A) = n(A)/n(S) şeklindedir.