Önermeler

Önermeler, doğru ya da yanlış olduğu kesin olan ifadelerdir. Örneğin, "2 çift sayıdır" veya "Türkiye'nin başkenti İzmir'dir" birer önermedir. Önermeler genellikle p, q gibi harflerle gösterilir.

Bir önermenin doğruluk değeri doğruysa "1" ile, yanlışsa "0" ile gösterilir. Yani p=1 demek, p önermesi doğrudur demektir. Aynı doğruluk değerlerine sahip olan önermeler denk önermeler olarak adlandırılır ve "p≡q" şeklinde gösterilir.

Bir önermenin olumsuzuna (değiline) p' şeklinde gösterilir. Mesela "Hava güzeldir" önermesinin değili "Hava güzel değildir" olur.

Bil Bakalım: Eğer n tane önerme varsa, doğruluk tablosunda kaç farklı satır olacağını hesaplayabilir misin? Cevap: 2ⁿ! Mesela 3 önermeli bir doğruluk tablosunda 2³=8 satır olur.

Bileşik Önermeler

Günlük hayatta genellikle basit önermeler değil, birden fazla önermenin "ve", "veya", "ise" gibi bağlaçlarla birleştirildiği bileşik önermeler kullanırız.

Veya (∨) Bağlacı: Bu bağlaçla oluşturulan bileşik önermede, en az bir önerme doğruysa sonuç doğrudur. Örneğin, "Bugün ya sinemaya giderim ya da kitap okurum" önermesinde bu aktivitelerden en az birini yaparsam önermem doğru olur. Sadece her ikisi de yanlışsa, sonuç yanlıştır.

Ve (∧) Bağlacı: Bu bağlaçla oluşturulan bileşik önermede, tüm önermeler doğruysa sonuç doğrudur. Örneğin, "Sınava çalıştım ve yüksek not aldım" önermesinde hem çalışmam hem de yüksek not almam gerekir. Biri bile yanlışsa, sonuç yanlıştır.

Unutma: "Veya" bağlacında sadece tüm önermeler yanlışsa sonuç yanlıştır. "Ve" bağlacında ise sadece tüm önermeler doğruysa sonuç doğrudur.

"Veya" ve "Ve" Bağlaçlarının Özellikleri

Bağlaçların bazı önemli özellikleri vardır ve bunlar karmaşık önermeleri basitleştirmekte işimize yarar.

Herhangi bir önerme kendisiyle aynı bağlaçla bağlandığında yine kendisini verir: p∨p=p ve q∧q=q. Bu, bir şeyi kendisiyle "veya"lamak ya da "ve"lemek bir değişiklik yapmaz demektir.

Bir önermenin değili alınırken, bağlaçlar da değişir: (p∨q)' = p'∧q' ve (p∧q)'= p'∨q'. Yani "Ali ve Ayşe geldi" önermesinin değili "Ali gelmedi veya Ayşe gelmedi" olur.

Bazı özel durumlar da vardır: p∧0=0 (yani bir doğru önermeyle yanlış önermeyi "ve"lediğimizde sonuç her zaman yanlıştır) ve p∨1=1 (yani bir önermeyi doğru bir önermeyle "veya"ladığımızda sonuç her zaman doğrudur).

İpucu: Bu kuralları ezberlemek yerine, birkaç doğruluk tablosu çizerek kendin keşfedersen daha kalıcı olur. Mesela "p∨(q∧r) = (p∨q)∧(p∨r)" eşitliğini doğruluk tablosuyla kontrol et!

Ya Da ve Koşullu Önermeler

Ya da Bağlacı (⊻): Günlük dildeki "ya ... ya da ..." ifadesidir. İki önermeden sadece biri doğruysa, bileşik önerme doğrudur. Her ikisi de doğruysa veya her ikisi de yanlışsa, sonuç yanlıştır. Örneğin, "Ya Almanca öğreneceğim ya da İspanyolca öğreneceğim" dediğimde, sadece birini öğrenirsem sözümü tutmuş olurum.

Koşullu Önerme (⇒): "Eğer ... ise ..." şeklindeki ifadelerdir. p⇒q şeklinde yazılır ve "p doğruysa q da doğrudur" anlamına gelir. Örneğin, "Eğer yağmur yağarsa şemsiye alırım." Burada önemli olan, p doğru olduğunda q yanlışsa, önerme yanlış olur. Diğer tüm durumlarda önerme doğrudur.

Koşullu önermenin farklı biçimleri vardır:

• Karşıtı: q⇒p
• Tersi: p'⇒q'
• Karşıt tersi: q'⇒p'

Dikkat: Koşullu önermelerde en çok yapılan hata, "p⇒q doğruysa, q⇒p de doğrudur" sanmaktır. "Eğer yağmur yağarsa, yerler ıslaktır" doğruyken, "Eğer yerler ıslaksa, yağmur yağmıştır" yanlış olabilir (belki biri yerleri sulamıştır).

İki Yönlü Koşullu Önerme ve Özel Durumlar

İki Yönlü Koşullu Önerme (⟺): "Ancak ve ancak" anlamına gelir ve p⟺q şeklinde gösterilir. Bu önerme, p⇒q ve q⇒p önermelerinin "ve" bağlacıyla birleştirilmiş halidir. p ve q ikisi de aynı doğruluk değerine sahipse (ikisi de doğru veya ikisi de yanlış) önerme doğrudur, aksi halde yanlıştır.

Örneğin, "Bir üçgen eşkenar üçgendir ancak ve ancak tüm açıları eşittir." Bu önerme hem "Eğer bir üçgen eşkenarsa, tüm açıları eşittir" hem de "Eğer bir üçgenin tüm açıları eşitse, o üçgen eşkenardır" önermelerinin doğru olduğunu söyler.

İki yönlü koşullu önermede bazı özel durumlar vardır:

• p⟺p her zaman doğrudur (bir şey kendisiyle her zaman eşdeğerdir)
• p⟺0, p'ye eşittir (yanlışla eşdeğer olmak, değilinin doğru olması demektir)
• p⟺p' her zaman yanlıştır (bir şey kendi değiliyle asla eşdeğer olamaz)

Kolay Anımsa: İki yönlü koşullu önerme, iki önermenin "aynı kaderi paylaşması" gibidir - ya ikisi birlikte doğru olur, ya da ikisi birlikte yanlış.

Niceleyiciler

Mantıkta bazen "tüm" veya "bazı" gibi nicelik bildiren ifadeler kullanırız. Bunlara niceleyiciler denir.

Evrensel Niceleyici (∀): "Tüm", "her", "bütün" anlamına gelir. Örneğin, "Tüm insanlar ölümlüdür" önermesi ∀x∈İnsanlar, Ölümlüdür(x) şeklinde gösterilir. Bu önerme, x'in tüm değerleri için doğru olduğunda doğrudur.

Varlıksal Niceleyici (∃): "Bazı", "en az bir" anlamına gelir. Örneğin, "Bazı öğrenciler matematikte başarılıdır" önermesi ∃x∈Öğrenciler, MatematikteBaşarılı(x) şeklinde gösterilir. Bu önerme, en az bir x değeri için doğru olduğunda doğrudur.

Niceleyicilerin değilleri alınırken dikkatli olmalıyız:

• "Tüm x'ler için P(x) doğrudur" önermesinin değili, "Bazı x'ler için P(x) doğru değildir" olur.
• "Bazı x'ler için P(x) doğrudur" önermesinin değili, "Tüm x'ler için P(x) doğru değildir" olur.

Sınav Püf Noktası: Matematikte "en az bir" ifadesi genelde "özel durum göstererek" kanıtlanır. "Tüm" ifadesini çürütmek istiyorsanız, sadece "bir tane karşıt örnek" bulmanız yeterlidir!