Matematik

5 Ara 2025

4 sayfa

Karekök 8. Sınıf Konu Anlatımı ve Soru Çözümleri

CoolKiller54 @stepcool54

Takip Et

Köklü ifadeler matematiğin önemli bir parçasıdır ve farklı sayısal işlemlerde sıkça karşımıza çıkar. Bu konu, kök alma işlemi,... Daha fazla göster

www.derscalisiyorum.com

KÖKLÜ İFADELER
A. TANIM

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

x = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n

Köklü İfadelerin Tanımı ve Özellikleri

Köklü ifadeler hayatımızın pek çok yerinde karşımıza çıkar! Bir sayının n. dereceden kökü, o sayının n kere kendisiyle çarpıldığında asıl sayıyı veren değerdir. Yani x^n = a denklemini sağlayan x sayısına "a'nın n'inci dereceden kökü" denir ve $\sqrt[n]{a}$ şeklinde gösterilir.

Köklü sayıların bazı önemli özellikleri vardır. Eğer n tek sayı ise, $\sqrt[n]{a}$ her zaman gerçel (reel) sayıdır. Ancak n çift ve a negatif ise, $\sqrt[n]{a}$ reel sayı belirtmez. Bunu kolayca hatırlayabilirsin mesela $\sqrt{-4}$ gerçel değildir, ama $\sqrt[3]{-8}$ gerçeldir ve -2'ye eşittir.

Köklü ifadelerde yapabileceğimiz işlemler için şu kuralları bilmeliyiz

n çift ve a pozitif ise $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$
n tek ise $\sqrt[n]{a^n} = a$
n çift ise $\sqrt[n]{a^n} = |a|$

Hatırlatma Köklü ifadeleri hesaplarken kök derecesinin tek mi çift mi olduğuna dikkat etmelisin! Çift dereceli köklerde negatif sayıların kökü alınamaz.

Köklü İfadelerde İşlemler ve Sıralama

Köklü ifadelerle hesap yapmak aslında çok kolay! İfadelerin kök dereceleri ve kök içindeki sayılar aynıysa, katsayılarını toplayabilir veya çıkarabilirsin. Örneğin 3 $\sqrt[4]{5}$ + 2 $\sqrt[4]{5}$ = 5 $\sqrt[4]{5}$

Çarpma işleminde, aynı kök derecesiyle çalışırken kök içindeki değerleri çarpabilirsin c $\cdot\sqrt[n]{a} \cdot$ d $\cdot\sqrt[n]{b}$ = c $\cdot$ d $\cdot\sqrt[n]{a\cdot b}$ . Farklı kök dereceleri olduğunda ise $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[m \cdot n]{a^m \cdot b^n}$ formülünü kullanabilirsin.

Köklü ifadelerde sıralamayı yapmak için kök dereceleri eşit olan pozitif sayılarda, kök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır. Yani $\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$ ise, a < b demektir.

Bölme işleminde $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}}$ ifadesini $\frac{\sqrt[mn]{a^m}}{\sqrt[mn]{b^n}}$ şeklinde yazabiliriz. Böylece köklerin derecelerini eşitleyerek işlemi kolaylaştırırız.

Önemli Bilgi $\sqrt{a^2+b^2} \neq a+b$ olduğunu unutma! Bu çok yaygın bir hatadır. Örneğin $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ iken 3+4=7'dir.

Paydayı Kökten Kurtarma

Matematik sınavlarında sıkça karşılaşacağın bir konu da paydadaki köklü ifadeleri sadeleştirmektir. Bu işleme "rasyonelleştirme" denir ve oldukça kullanışlıdır!

Paydayı kökten kurtarmak için, pay ve paydayı özel bir ifadeyle çarparız. Örneğin $\frac{b}{\sqrt[n]{a}}$ ifadesinde pay ve paydayı $\sqrt[n]{a^{n-1}}$ ile çarparak paydayı kökten kurtarabiliriz

$\frac{b}{\sqrt[n]{a}} = \frac{b \cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}}{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}} = \frac{b}{a} \cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}$

İki terimli köklü ifadelerde $\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ gibi paydalar için ise, pay ve paydayı $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ ile çarparız. Böylece paydada $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = a-b$ elde ederiz. Sonuç $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$

Benzer şekilde $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ ifadesini sadeleştirmek için pay ve paydayı $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ ile çarparız ve $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$ sonucunu elde ederiz.

Püf Nokta Küp kök içeren ifadelerde $\frac{1}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$ şeklindeki paydaları kökten kurtarmak için pay ve paydayı $(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a \cdot b} + \sqrt[3]{b^2})$ ile çarparız.

İç İçe Kökler ve Sonsuz Kökler

Matematikteki en ilginç konulardan biri de iç içe kökler ve sonsuz köklerdir! Bu ifadeler ilk bakışta karmaşık görünse de aslında çözümleri oldukça basittir.

İç içe kökler için şu formülleri kullanabiliriz

$\sqrt[n]{a \sqrt[n]{a \sqrt[n]{a}}} = \sqrt[n]{a}$
$\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{a}... = \sqrt[n]{a}$

Sonsuz kökler için ise özellikle şu formüller çok işimize yarar

$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+}}}... = \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$
$\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a-}}}... = \frac{-1+\sqrt{4a+1}}{2}$

Farklı kök dereceleri içeren tekrarlı çarpımlarda da özel formüller kullanabiliriz

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a}... = \sqrt[m \cdot n]{a^{m+1}}$
$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{b} \cdot \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{b}... = \sqrt[m \cdot n]{a^{m} \cdot b}$

İlginç Bilgi Sonsuz kökleri hesaplayabilmek için matematikte "limit" kavramı kullanılır. Böylece sonsuza giden ifadeleri bile hesaplayabiliyoruz!

Hiç sormayacaksın sanmıştık...

Knowunity yapay zeka arkadaşı nedir?

Yapay zeka arkadaşımız öğrencilerin ihtiyaçlarına göre özel olarak tasarlanmıştır. Platformda bulunan milyonlarca içeriğe dayanarak öğrencilere gerçekten anlamlı ve ilgili yanıtlar verebiliyoruz. Ancak mesele sadece cevaplar değil, refakatçi aynı zamanda kişiselleştirilmiş öğrenme planları, sınavlar veya sohbet içerikleri ve öğrencilerin becerilerine ve gelişimlerine dayalı %100 kişiselleştirme ile öğrencilere günlük öğrenme zorluklarında rehberlik ediyor.

Knowunity uygulamasını nereden indirebilirim?

Uygulamayı Google Play Store ve Apple App Store'dan indirebilirsiniz.

Knowunity ücretsiz mi?

Knowunity uygulaması ücretsiz! Uygulamamız çok yakında indirmeye hazır olacak, bekle bizi. 💙

Akıllı Araçlar YENİ

Bu notu şunlara dönüştür: ✓ 50+ Alıştırma Sorusu ✓ Etkileşimli Flash Kartları ✓ Tam Deneme Sınavı ✓ Kompozisyon Taslakları

Deneme Sınavı

Quiz

Flashcard

Kompozisyon

Aradığını bulamıyor musun? Diğer derslere göz at.

Kullanıcılarımızdan yorumlar. Onlar her şeyi çok beğendi — sen de beğeneceksin.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Uygulama çok kolay kullanılıyor ve güzel tasarlanmış. Şu ana kadar aradığım her şeyi buldum ve sunumlardan çok şey öğrendim! Kesinlikle ödevlerim için hep kullanacağım!

A.S.

iOS kullanıcısı

Uygulama çok iyi. Çok fazla ders notu ve yardımlaşma var. Örneğin benim problem yaşadığım bir ders Geometriydi ve ANINDA yardım ettiler beraber hem sorularımı çözdük hem konu anlatımı buldum. Herkese tavsiye ederim.

S.L.

Android kullanıcısı

BEN ŞOK. Reklamını sık sık gördüğüm için uygulamayı denedim ve gerçekten hayran kaldım. Bu uygulama okul için tam ihtiyacım olan şey. Anında ödev yardımı, konu anlatımı, örnek sınavlar, flaşkartlar hepsi hepsi var, şiddetle tavsiye ederim ✅

iOS kullanıcısı

Knowunity'yi keşfedinceye kadar ödevlerimi zamanında tamamlamakta zorlanıyordum, Knowunity sadece kendi ders notlarımı yüklemeyi kolaylaştırmakla kalmıyor, aynı zamanda çalışmamı daha hızlı ve verimli hale getiren harika özetler de sunuyor.

Thomas R

iOS kullanıcısı

Ödevlerim için önemli bilgilerin tümünü bulmak her zaman bir zorluktu - Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, ders notlarımı kolayca yükleyebilir ve başkalarının özetlerinden faydalanabilirim, bu da organizasyon konusunda bana çok yardımcı oluyor.

Lisa M

Android kullanıcısı

Ders çalışırken genellikle yeterince genel bakışa sahip olmadığımı hissederdim, ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri bu artık sorun değil - ders notlarımı yüklüyorum ve platformda her zaman yardımcı özetler buluyorum, bu da öğrenmemi çok daha kolaylaştırıyor.

David K

iOS kullanıcısı

Uygulama acayip iyi! Konuyu yazıyorum hemen yanıt alıyorum. Bi şeyi anlamak için 10 tane youtube videosu izlemem gerekmiyor. Kesssinlikle tavsiye ederim!

Sudenaz Ocak

Android kullanıcısı

Matematikte baya kötüydüm ama bu uygulama sayesinde şimdi daha iyiyim. Uygulamayı yapanlara için çok teşekkürler!

G.B.

Android kullanıcısı

Sunumlarım için tüm bilgileri toplamak gerçekten zordu. Ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, notlarımı yüklüyorum ve başkalarından harika özetler buluyorum - bu da çalışmamı çok daha verimli hale getiriyor!

Julia S

Android kullanıcısı

Tüm çalışma materyalleriyle sürekli stres altındaydım, ama Knowunity'yi kullanmaya başladığımdan beri, notlarımı yüklüyor ve başkalarının harika özetlerine bakıyorum - her şeyi daha iyi yönetmemi sağlıyor ve çok daha az stresli.

Marco B

iOS kullanıcısı

Ödevlerim için doğru materyalleri bulmak her zaman zordu. Şimdi sadece notlarımı Knowunity'ye yüklüyorum ve başkalarından en iyi özetleri alıyorum - her şeyi daha hızlı anlamama yardımcı oluyor ve notlarımı yükseltiyor.

Sarah L

Android kullanıcısı

Eskiden okul materyallerini Google'da aramakla saatler harcardım, ama şimdi sadece notlarımı Knowunity'ye yüklüyorum ve başkalarının faydalı özetlerine bakıyorum - sınavlara hazırlanırken kendimi çok daha güvende hissediyorum.

Paul T

iOS kullanıcısı

Uygulama çok kolay kullanılıyor ve güzel tasarlanmış. Şu ana kadar aradığım her şeyi buldum ve sunumlardan çok şey öğrendim! Kesinlikle ödevlerim için hep kullanacağım!

A.S.

iOS kullanıcısı

S.L.

Android kullanıcısı

iOS kullanıcısı

Thomas R

iOS kullanıcısı

Lisa M

Android kullanıcısı

David K

iOS kullanıcısı

Uygulama acayip iyi! Konuyu yazıyorum hemen yanıt alıyorum. Bi şeyi anlamak için 10 tane youtube videosu izlemem gerekmiyor. Kesssinlikle tavsiye ederim!

Sudenaz Ocak

Android kullanıcısı

Matematikte baya kötüydüm ama bu uygulama sayesinde şimdi daha iyiyim. Uygulamayı yapanlara için çok teşekkürler!

G.B.

Android kullanıcısı

Julia S

Android kullanıcısı

Marco B

iOS kullanıcısı

Sarah L

Android kullanıcısı

Paul T

iOS kullanıcısı

Matematik

•

5 Ara 2025

•

4 sayfa

Karekök 8. Sınıf Konu Anlatımı ve Soru Çözümleri

CoolKiller54

@stepcool54

Köklü ifadeler matematiğin önemli bir parçasıdır ve farklı sayısal işlemlerde sıkça karşımıza çıkar. Bu konu, kök alma işlemi, özellikleri ve köklü ifadelerle yapılan çeşitli matematiksel işlemleri kapsar.

Ders notlarını görmek için kaydolÜcretsiz!

Tüm belgeleri görebilirsin

Notlarını Yükselt

Milyonlarca öğrenciye katıl

Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun

Köklü İfadelerin Tanımı ve Özellikleri

Köklü sayıların bazı önemli özellikleri vardır. Eğer n tek sayı ise, $\sqrt[n]{a}$ her zaman gerçel (reel) sayıdır. Ancak n çift ve a negatif ise, $\sqrt[n]{a}$ reel sayı belirtmez. Bunu kolayca hatırlayabilirsin: mesela $\sqrt{-4}$ gerçel değildir, ama $\sqrt[3]{-8}$ gerçeldir ve -2'ye eşittir.

Köklü ifadelerde yapabileceğimiz işlemler için şu kuralları bilmeliyiz:

n çift ve a pozitif ise: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$
n tek ise: $\sqrt[n]{a^n} = a$
n çift ise: $\sqrt[n]{a^n} = |a|$

Hatırlatma: Köklü ifadeleri hesaplarken kök derecesinin tek mi çift mi olduğuna dikkat etmelisin! Çift dereceli köklerde negatif sayıların kökü alınamaz.

Ders notlarını görmek için kaydolÜcretsiz!

Tüm belgeleri görebilirsin

Notlarını Yükselt

Milyonlarca öğrenciye katıl

Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun

Köklü İfadelerde İşlemler ve Sıralama

Köklü ifadelerle hesap yapmak aslında çok kolay! İfadelerin kök dereceleri ve kök içindeki sayılar aynıysa, katsayılarını toplayabilir veya çıkarabilirsin. Örneğin: 3 $\sqrt[4]{5}$ + 2 $\sqrt[4]{5}$ = 5 $\sqrt[4]{5}$

Çarpma işleminde, aynı kök derecesiyle çalışırken kök içindeki değerleri çarpabilirsin: c $\cdot\sqrt[n]{a} \cdot$ d $\cdot\sqrt[n]{b}$ = c $\cdot$ d $\cdot\sqrt[n]{a\cdot b}$ . Farklı kök dereceleri olduğunda ise $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[m \cdot n]{a^m \cdot b^n}$ formülünü kullanabilirsin.

Bölme işleminde $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{b}}$ ifadesini $\frac{\sqrt[mn]{a^m}}{\sqrt[mn]{b^n}}$ şeklinde yazabiliriz. Böylece köklerin derecelerini eşitleyerek işlemi kolaylaştırırız.

Önemli Bilgi: $\sqrt{a^2+b^2} \neq a+b$ olduğunu unutma! Bu çok yaygın bir hatadır. Örneğin $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ iken 3+4=7'dir.

Ders notlarını görmek için kaydolÜcretsiz!

Tüm belgeleri görebilirsin

Notlarını Yükselt

Milyonlarca öğrenciye katıl

Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun

Paydayı Kökten Kurtarma

Matematik sınavlarında sıkça karşılaşacağın bir konu da paydadaki köklü ifadeleri sadeleştirmektir. Bu işleme "rasyonelleştirme" denir ve oldukça kullanışlıdır!

$\frac{b}{\sqrt[n]{a}} = \frac{b \cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}}{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}} = \frac{b}{a} \cdot \sqrt[n]{a^{n-1}}$

Benzer şekilde $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ ifadesini sadeleştirmek için pay ve paydayı $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ ile çarparız ve $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$ sonucunu elde ederiz.

Püf Nokta: Küp kök içeren ifadelerde $\frac{1}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$ şeklindeki paydaları kökten kurtarmak için pay ve paydayı $(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a \cdot b} + \sqrt[3]{b^2})$ ile çarparız.

Ders notlarını görmek için kaydolÜcretsiz!

Tüm belgeleri görebilirsin

Notlarını Yükselt

Milyonlarca öğrenciye katıl

Kaydolduğunda Hizmet Şartları ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursun

İç İçe Kökler ve Sonsuz Kökler

Matematikteki en ilginç konulardan biri de iç içe kökler ve sonsuz köklerdir! Bu ifadeler ilk bakışta karmaşık görünse de aslında çözümleri oldukça basittir.

İç içe kökler için şu formülleri kullanabiliriz:

$\sqrt[n]{a \sqrt[n]{a \sqrt[n]{a}}} = \sqrt[n]{a}$
$\sqrt[n]{a}: \sqrt[n]{a}: \sqrt[n]{a}... = \sqrt[n]{a}$

Sonsuz kökler için ise özellikle şu formüller çok işimize yarar:

$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+}}}... = \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$
$\sqrt{a-\sqrt{a-\sqrt{a-}}}... = \frac{-1+\sqrt{4a+1}}{2}$

Farklı kök dereceleri içeren tekrarlı çarpımlarda da özel formüller kullanabiliriz:

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a}... = \sqrt[m \cdot n]{a^{m+1}}$
$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{b} \cdot \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{b}... = \sqrt[m \cdot n]{a^{m} \cdot b}$

İlginç Bilgi: Sonsuz kökleri hesaplayabilmek için matematikte "limit" kavramı kullanılır. Böylece sonsuza giden ifadeleri bile hesaplayabiliyoruz!

Hiç sormayacaksın sanmıştık...

Knowunity yapay zeka arkadaşı nedir?

Knowunity uygulamasını nereden indirebilirim?

Uygulamayı Google Play Store ve Apple App Store'dan indirebilirsiniz.

Knowunity ücretsiz mi?

Knowunity uygulaması ücretsiz! Uygulamamız çok yakında indirmeye hazır olacak, bekle bizi. 💙

Akıllı Araçlar YENİ

Bu notu şunlara dönüştür: ✓ 50+ Alıştırma Sorusu ✓ Etkileşimli Flash Kartları ✓ Tam Deneme Sınavı ✓ Kompozisyon Taslakları

Deneme Sınavı

Quiz

Flashcard

Kompozisyon

Aradığını bulamıyor musun? Diğer derslere göz at.

Kullanıcılarımızdan yorumlar. Onlar her şeyi çok beğendi — sen de beğeneceksin.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Uygulama çok kolay kullanılıyor ve güzel tasarlanmış. Şu ana kadar aradığım her şeyi buldum ve sunumlardan çok şey öğrendim! Kesinlikle ödevlerim için hep kullanacağım!

A.S.

iOS kullanıcısı

S.L.

Android kullanıcısı

iOS kullanıcısı

Thomas R

iOS kullanıcısı

Lisa M

Android kullanıcısı

David K

iOS kullanıcısı

Uygulama acayip iyi! Konuyu yazıyorum hemen yanıt alıyorum. Bi şeyi anlamak için 10 tane youtube videosu izlemem gerekmiyor. Kesssinlikle tavsiye ederim!

Sudenaz Ocak

Android kullanıcısı

Matematikte baya kötüydüm ama bu uygulama sayesinde şimdi daha iyiyim. Uygulamayı yapanlara için çok teşekkürler!

G.B.

Android kullanıcısı

Julia S

Android kullanıcısı

Marco B

iOS kullanıcısı

Sarah L

Android kullanıcısı

Paul T

iOS kullanıcısı

Uygulama çok kolay kullanılıyor ve güzel tasarlanmış. Şu ana kadar aradığım her şeyi buldum ve sunumlardan çok şey öğrendim! Kesinlikle ödevlerim için hep kullanacağım!

A.S.

iOS kullanıcısı

S.L.

Android kullanıcısı

iOS kullanıcısı

Thomas R

iOS kullanıcısı

Lisa M

Android kullanıcısı

David K

iOS kullanıcısı

Uygulama acayip iyi! Konuyu yazıyorum hemen yanıt alıyorum. Bi şeyi anlamak için 10 tane youtube videosu izlemem gerekmiyor. Kesssinlikle tavsiye ederim!

Sudenaz Ocak

Android kullanıcısı

Matematikte baya kötüydüm ama bu uygulama sayesinde şimdi daha iyiyim. Uygulamayı yapanlara için çok teşekkürler!

G.B.

Android kullanıcısı

Julia S

Android kullanıcısı

Marco B

iOS kullanıcısı

Sarah L

Android kullanıcısı

Paul T

iOS kullanıcısı