Çarpanlar ve Bölenler

Bir doğal sayının çarpanları, o sayıyı tam bölen sayılardır. Yani çarpan = bölen diyebiliriz.

Örneğin, 24 sayısının çarpanlarını bulalım: 1 × 24 = 24 2 × 12 = 24 3 × 8 = 24 4 × 6 = 24

Böylece 24'ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 olur.

Benzer şekilde 40'ın çarpanları 8 tane (1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40), 50'nin çarpanları 6 tane (1, 2, 5, 10, 25, 50), 36'nın çarpanları 9 tane (1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36) ve 17'nin çarpanları 2 tanedir (1, 17).

Not: Her sayının en küçük çarpanı 1'dir ve her sayı kendisinin çarpanıdır. Ayrıca hiçbir sayı sıfıra bölünemez!

Örnek bir problem: 60 sayısının en büyük çarpanı ile en küçük çarpanının toplamı kaçtır? En büyük çarpan: 60 En küçük çarpan: 1 Toplamları: 60 + 1 = 61 olur.

Katlar ve Bölünebilme Kuralları

Bir doğal sayının katları, o sayının 1, 2, 3, 4, 5... gibi doğal sayılarla çarpımından oluşur. Örneğin 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30... olur.

Örnek: 18'in 100'den küçük en büyük katı ile 25'in 100'den büyük en küçük katının toplamı kaçtır? 18 × 5 = 90 (100'den küçük en büyük kat) 25 × 5 = 125 (100'den büyük en küçük kat) 90 + 125 = 215 olur.

Bölünebilme kuralları şöyle çalışır:

• Bölünen = Bölen × Bölüm + Kalan
• Kalan her zaman bölenden küçüktür
• Bölen asla sıfır olamaz

2 ile bölünebilme: Birler basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 olan (yani çift) sayılar 2 ile tam bölünür.

3 ile bölünebilme: Rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı olan sayılar 3'e tam bölünür.

Bilgi: Tek sayılar çift sayılara bölünemez. Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan her zaman 1'dir!

Örnek: 2502 sayısı 3'e bölündüğüne göre, a yerine gelebilecek rakamlar: 2+5+0+a → 7+a a = 2, 5 veya 8 olabilir.

3 ve 4 ile Bölünebilme

3 ile bölünebilme için bir sayının rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı olmalıdır. Bir sayının 3'e bölümünden kalan 0, 1 veya 2 olabilir.

Örnek: A216 sayısı 3'e tam bölünüyorsa, A'nın alabileceği değerler: A+2+1+6 = A+9 A+9, 3'ün katı olmalı A = 3, 6 veya 9 olabilir (3 farklı değer)

4 ile bölünebilme için bir sayının son iki basamağı 4'ün katı olmalıdır. Yani son iki basamağı 00, 04, 08, 12... şeklinde olmalıdır.

Örnek: 7512 sayısı 4'e tam bölünür çünkü son iki basamağı (12), 4'ün katıdır.

Bir sayının 4'e bölümünden kalan 0, 1, 2 veya 3 olabilir.

Unutma: Tek sayılar çift sayılara bölünemez! Bu nedenle tek bir sayı 4'e de bölünemez.

Örnek: 894□ sayısı 4'e tam bölünüyorsa □ yerine hangi sayılar yazılabilir? Son iki basamak 4'ün katı olmalı: □4 □ = 0, 4 veya 8 olabilir (4'ün katları: 04, 44, 84)

5 ile Bölünebilme

5 ile bölünebilme kuralı basittir: Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar 5'e tam bölünür.

Örneğin: 7160, 2955, 300 ve 215 sayıları 5'e tam bölünür çünkü birler basamaklarında 0 veya 5 var.

Bir sayının 5'e bölümünden kalan 0, 1, 2, 3 veya 4 olabilir.

Örnek: 836□ sayısının 5'e bölümünden kalan 4 ise □ yerine hangi sayılar yazılabilir? Eğer tam bölünseydi □ = 0 veya 5 olurdu. Kalan 4 ise: 836□ ÷ 5 = kalan 4 □ = 4 veya 9 olabilir.

İpucu: Bir sayının hem 2'ye hem de 5'e bölünebilmesi için birler basamağı 0 olmalıdır. Çünkü 5 tek bir sayıdır ve 2'ye bölünemez.

Örnek: 803A sayısı 2, 3 ve 5'e bölünebildiğine göre A yerine yazılabilecek kaç değer vardır?

• 2'ye bölünmesi için A çift olmalı (0, 2, 4, 6, 8)
• 5'e bölünmesi için A = 0 veya 5 olmalı
• 3'e bölünmesi için rakamları toplamı 3'ün katı olmalı

Bu koşulları sağlayan tek değer A = 0'dır.

6, 9 ve 10 ile Bölünebilme

6 ile bölünebilme için bir sayının hem 2'ye hem de 3'e tam bölünmesi gerekir.

Örnek: 7164 sayısı 2'ye bölünür (çift) ve 3'e bölünür (7+1+6+4=18, 3'ün katı), bu nedenle 6'ya da bölünür.

9 ile bölünebilme için rakamları toplamı 9 veya 9'un katı olmalıdır.

Örnek: 8172 sayısı 9'a bölünür çünkü 8+1+7+2=18 (9'un katı). Örnek: 5367 sayısı 9'a bölünemez çünkü 5+3+6+7=21 (9'un katı değil).

Dikkat: 9'a bölünen her sayı 3'e de bölünür. Ancak 3'e bölünen her sayı 9'a bölünmeyebilir!

10 ile bölünebilme için birler basamağında 0 olması yeterlidir.

Örnek: 8160 sayısı 10'a tam bölünür.

Bir sayının 10'a bölümünden kalan, birler basamağındaki rakamdır. Örnek: 9145 sayısının 10'a bölümünden kalan 5'tir.

Örnek: 5034 sayısı 9 ve 10'a tam bölündüğüne göre A nedir?

• 10'a bölünmesi için A=0 olmalı
• 9'a bölünmesi için 5+0+3+0=8 olmalı
• Bu durumda bu şartları sağlayan bir değer yoktur.