Önermeler ve Özellikleri

Matematikte önermeler, doğru ya da yanlış olduğu kesin olan cümlelerdir. Günlük konuşmalarımızdan farklı olarak, bir önerme mutlaka doğru veya yanlıştır - arada kalma durumu yoktur!

Önermeleri genellikle p, q, r, s gibi harflerle gösteririz. Bir önerme doğruysa değeri 1, yanlışsa değeri 0'dır.

Önerme olan cümleler:

• "2 + 2 = 4" (Doğru bir önerme)
• "Ankara Türkiye'nin başkentidir." (Doğru bir önerme)
• "8 - 3 = 6" (Yanlış bir önerme)

Önerme olmayan cümleler:

• "İzmir'e gidelim." (Soru cümlesi)
• "Hava çok sıcak." (Kişiden kişiye değişebilir)
• "Defterimi ver." (Emir cümlesi)

Dikkat! Bir cümlenin önerme olabilmesi için doğru veya yanlış olduğunun kesin olarak belirlenebilmesi gerekir. Soru, emir ve ünlem cümleleri önerme değildir.

İki önermenin doğruluk değerleri aynıysa, bu önermeler denktir ve p = q şeklinde gösterilir. Örneğin, "İzmir Ege bölgesindedir" ve "18 çift tamsayıdır" önermeleri denktir çünkü ikisi de doğrudur.

Bir önermenin olumsuzu (değili), o önermenin karşıt anlamını ifade eder ve p' ile gösterilir. Eğer p doğruysa, p' yanlıştır. Eğer p yanlışsa, p' doğrudur.

Bileşik Önermeler ve Mantıksal Bağlaçlar

Bir önermede birden fazla hüküm bulunduğunda, bunlar bileşik önerme olarak adlandırılır. Bu hükümler "ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak" gibi bağlaçlarla birbirine bağlanır.

Ve Bağlacı (∧): İki önermenin her ikisi de doğruysa sonuç doğrudur, aksi halde yanlıştır.

• "Ankara Türkiye'nin başkentidir ve İstanbul Türkiye'nin en büyük şehridir." $p ∧ q = 1 ∧ 1 = 1$
• "4.5 = 20'dir ve 8 - 3 = 6'dır." $p ∧ q = 1 ∧ 0 = 0$

Veya Bağlacı (∨): En az bir önerme doğruysa sonuç doğrudur, ikisi de yanlışsa sonuç yanlıştır.

• "18:3 = 9'dur veya 1928 çift sayıdır." $p ∨ q = 0 ∨ 1 = 1$

Ya da Bağlacı (∧): Önermelerden biri doğru diğeri yanlışsa sonuç doğru, ikisi de doğru ya da ikisi de yanlışsa sonuç yanlıştır.

Matematikte Kolaylık! "Ve" bağlacı ile kurulan önermeler için p ∧ 1 = p ve p ∧ 0 = 0 olduğunu hatırla. "Veya" bağlacı için ise p ∨ 1 = 1 ve p ∨ 0 = p olduğunu unutma.

De Morgan Kuralları'na göre bileşik önermelerin değilleri şu şekilde bulunur:

• (p ∨ q)' = p' ∧ q'
• (p ∧ q)' = p' ∨ q'

Bu kurallar, karmaşık önermeleri daha kolay çözümlememize yardımcı olur.

Koşullu Önermeler

Koşullu önermeler "ise" (→) bağlacı ile oluşturulur ve sadece p doğru, q yanlış iken yanlıştır, diğer durumlarda doğrudur.

p → q biçimindeki önermede p'ye hipotez, q'ya hüküm denir. Bu önermenin doğruluk tablosunu şöyle gösterebiliriz:

• p = 1, q = 1 iken p → q = 1
• p = 1, q = 0 iken p → q = 0
• p = 0, q = 1 iken p → q = 1
• p = 0, q = 0 iken p → q = 1

Koşullu bir önermenin karşıtı, hipotez ile hükmün yer değiştirmesiyle oluşur. p → q önermesinin karşıtı q → p'dir.

Bir koşullu önermenin tersi, hipotez ve hükmün değillerini almakla oluşur. p → q önermesinin tersi p' → q''dir.

Bir koşullu önermenin karşıt tersi ise, q' → p' şeklinde yazılır.

İpucu: Koşullu önermenin karşıtı ile tersi denktir. Yani q → p = p' → q' formülünü kullanabilirsin!

İki yönlü koşullu önerme (⟺), "ancak ve ancak" bağlacı ile oluşturulur. p ⟺ q önermesi, p ve q önermelerinin her ikisi de doğru ya da her ikisi de yanlışsa doğru, değilse yanlıştır. Matematiksel olarak (p → q) ∧ (q → p) şeklinde gösterilir.

Açık Önermeler ve Niceleyiciler

İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere göre doğru ya da yanlış olduğu belirlenen önermeler açık önermeler olarak adlandırılır. p(x) şeklinde gösterilir.

Örnek:

• p(x): x - 4 < 0 açık önermesi
  • x = 1 için doğrudur: p(1) = 1
  • x = 7 için yanlıştır: p(7) = 0

Açık önermelerde "her" ve "bazı" gibi niceleyiciler kullanılır:

Evrensel niceleyici (∀): "Her" veya "bütün" anlamına gelir.

• ∀x ∈ R için x² + 5 > 0 önermesi doğrudur (her reel sayı için).
• ∀x ∈ R için x² > 0 önermesi yanlıştır $x = 0 için doğru değil$.

Varlıksal niceleyici (∃): "Bazı" veya "en az bir" anlamına gelir.

• ∃x ∈ R için 2x + 1 = 0 önermesi doğrudur $x = -1/2 için$.
• ∃x ∈ R için x² + 1 < 0 önermesi yanlıştır (hiçbir reel sayı bu koşulu sağlamaz).

Önemli Bağlantı: Niceleyicilerin olumsuzları birbirine dönüşür:

• $∀x, p(x)$' = ∃x, p'(x)
• $∃x, p(x)$' = ∀x, p'(x)

Bu dönüşümler matematiksel ispatlarda sıkça kullanılır.

Kümelerin Tanımı ve Gösterimi

Küme, iyi tanımlanmış nesnelerin topluluğudur. Küme içindeki her nesneye eleman denir.

Kümeleri göstermek için üç farklı yöntem kullanılır:

1. Liste yöntemi: Elemanları küme parantezi { } içine, virgülle ayırarak yazarız.

   • A = {a, b, c}
   • B = {matematik, tarih, türkçe}

2. Ortak özellik yöntemi: Elemanların ortak özelliğini belirterek yazarız.

   • A = {x | x, ilk üç asal sayı} = {2, 3, 5}
   • B = {y | 2 ≤ y ≤ 6, y ∈ Z} = {2, 3, 4, 5, 6}

3. Venn şeması: Kümeleri kapalı eğrilerle, elemanları noktalarla gösteririz.

Bir nesne bir kümenin elemanı ise x ∈ A şeklinde, değilse x ∉ A şeklinde gösterilir.

Kümelerde iki önemli kavram vardır:

• Boş küme (∅): Elemanı olmayan küme. Örneğin: {Türkçe'de W ile başlayan sözcükler}
• Alt küme: A'nın her elemanı B'nin de elemanı ise, A kümesi B'nin alt kümesidir ve A ⊂ B şeklinde gösterilir.

Hatırlatma: Boş küme, her kümenin alt kümesidir ve her küme kendisinin alt kümesidir!

Eleman sayısı n olan bir kümenin:

• Alt küme sayısı: 2^n
• Özalt küme sayısı: 2^n - 1

Kümelerde İşlemler I: Birleşim ve Kesişim

Kümeler üzerinde çeşitli işlemler yapabiliriz. En temel işlemler birleşim ve kesişimdir:

Birleşim (A ∪ B): A veya B kümelerinin en az birine ait elemanlardan oluşan küme.

• A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

Birleşimin özellikleri:

• A ∪ A = A
• A ∪ B = B ∪ A (değişme özelliği)
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (birleşme özelliği)
• A ∪ ∅ = A
• s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)

Kesişim (A ∩ B): A ve B kümelerine ortak olan elemanlardan oluşan küme.

• A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Kesişimin özellikleri:

• A ∩ A = A
• A ∩ B = B ∩ A (değişme özelliği)
• A ∩ ∅ = ∅
• A ∩ B = ∅ ise A ve B'ye ayrık kümeler denir.
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (dağılma özelliği)

Pratik Bilgi: Bir A kümesi, B kümesinin alt kümesidir (A ⊂ B) ancak ve ancak A ∪ B = B ve A ∩ B = A ise.

Birleşim ve kesişim işlemleri, olaylar ve veri analizinde sıkça kullanılır, özellikle problemleri Venn şemalarıyla çözerken bu işlemler çok kullanışlıdır!

Kümelerde İşlemler II: Fark ve Tümleme

Fark $A - B$: A'da bulunup B'de bulunmayan elemanlardan oluşan küme.

• A - B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}

Fark işleminin özellikleri:

• A - B ≠ B - A (değişme özelliği geçerli değildir)
• E - A = A' (evrensel kümenin A ile farkı, A'nın tümleyenidir)
• A - A = ∅
• A ∩ B = ∅ ise, A - B = A

Tümleme (A'): Evrensel kümeye ait olup A'da bulunmayan elemanlardan oluşan küme.

• A' = {x | x ∉ A ∧ x ∈ E}

Tümlemenin özellikleri:

• (A')' = A
• E' = ∅
• ∅' = E
• A ∪ A' = E
• A ∩ A' = ∅
• (A ∪ B)' = A' ∩ B' (De Morgan Kuralı)
• (A ∩ B)' = A' ∪ B' (De Morgan Kuralı)

Pratik Formül: s(A) + s(A') = s(E)

Küme problemlerinde Venn şeması çizmek ve bölgeleri harflerle etiketlemek çözümü kolaylaştırır. Örneğin, A, B, C kümeleri için:

• Sadece bir kümeye ait eleman sayısı
• En az iki kümeye ait eleman sayısı
• En çok bir kümeye ait eleman sayısı

gibi soruları çözebiliriz. Bu tür problemlerde bazen tablo kullanmak da yararlı olabilir.

Sıralı İkililer ve Kartezyen Çarpım

Sıralı ikili, (a, b) şeklinde gösterilen ve iki elemanın sıralı çiftini belirten bir kavramdır. Burada a'ya birinci bileşen (apsis), b'ye ikinci bileşen (ordinat) denir.

Sıralı ikililerin eşit olması için, bileşenlerinin aynı sırayla eşit olması gerekir: (a, b) = (c, d) ⟺ a = c ve b = d

Bu kavram, dik koordinat sistemindeki noktaları göstermek için kullanılır. Dik koordinat sisteminde:

• Yatay eksen: x ekseni
• Dikey eksen: y ekseni
• İki eksenin kesişim noktası: Orijin noktası

Koordinat sistemi dört bölgeye ayrılır:

• I. bölge: x > 0, y > 0
• II. bölge: x < 0, y > 0
• III. bölge: x < 0, y < 0
• IV. bölge: x > 0, y < 0

Kartezyen çarpım (A × B), A kümesinden bir eleman ile B kümesinden bir eleman alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililer kümesidir.

A × B = {(x, y) | x ∈ A ve y ∈ B}

Önemli Özellikler:

• A × B ≠ B × A (genellikle)
• A × A = A² şeklinde gösterilir
• s(A × B) = s(A) · s(B)

Kartezyen çarpımın grafiği, koordinat sisteminde noktalar şeklinde gösterilir.

Bu kavramlar, fonksiyonlar ve grafikler konularının temelini oluşturur. İleride göreceğin fonksiyonlar, kartezyen çarpım kümesinin bir alt kümesi olarak tanımlanır!