7. Sınıf Matematik: Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı ve Örnekler

Tam Sayılarla İşlemler

Tam sayılar, pozitif ve negatif tamsayıları içerir. İşlemlerle ilgili bazı önemli noktalar şunlardır:

Toplama işleminde işaretler aynı ise sayıların mutlak değerleri toplanır ve ortak işaret yazılır. İşaretler farklı ise sayıların mutlak değerlerinin farkı alınır ve büyük olan sayının işareti yazılır. Örneğin: $-7$ + $+4$ = -3

Çarpma ve bölme işlemlerinde işaret kuralı aynıdır: Pozitif × Pozitif = Pozitif, Negatif × Negatif = Pozitif, Pozitif × Negatif = Negatif. Bir sayının "1" ile çarpımı kendisine eşittir. Sıfır ile çarpım her zaman sıfırdır.

Çıkarma işlemi, çıkanın ters işaretlisini toplayarak yapılır. Örneğin: $+8$ − $+4$ = $+8$ + (−4) = +4

Unutma! Bir sayıyı sıfıra bölemeyiz çünkü tanımsız olur. Ancak sıfırın herhangi bir sayıya bölümü sıfırdır.

Tam sayıların kuvveti alınırken: Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir. 1'in tüm kuvvetleri 1'dir. -1'in çift kuvvetleri 1, tek kuvvetleri -1'dir. Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.

Rasyonel Sayılar ve İşlemler

Rasyonel sayılar, a/b şeklinde yazılabilen sayılardır (a ve b tam sayı, b≠0). Bu sayılarla işlemlerde özel kurallar uygulanır.

Toplama: Paydaları eşitse, paylar toplanır ve aynı payda yazılır. Eşit değilse, paydalar ortak bir katta eşitlenir sonra toplama yapılır. Örnek: 3/10 + 7/10 = 10/10 = 1

Çıkarma: Eksilen ile çıkanın toplama işlemine göre tersi toplanır. Örnek: 7/10 - 3/10 = 7/10 + $-3/10$ = 4/10

Çarpma: Pay ile pay, payda ile payda çarpılır. Örnek: $3/4$ × $2/5$ = (3×2)/(4×5) = 6/20 = 3/10

Bölme: Bölünen, bölenin çarpmaya göre tersiyle çarpılır. Örnek: $2/3$ ÷ $5/7$ = $2/3$ × $7/5$ = 14/15

İpucu: Rasyonel sayıların karesini veya küpünü alırken, payın ve paydanın ayrı ayrı karesi veya küpü alınır. Kareleri her zaman pozitiftir!

Rasyonel sayıların ondalık gösterimi virgül kullanarak yazılabilir. Bazıları sonlu, bazıları ise devirli ondalık sayılardır. Devirli ondalık sayıları rasyonel gösterime çevirirken özel bir yöntem uygulanır.

Rasyonel sayıları karşılaştırırken: Pozitif sayılar negatif sayılardan büyüktür. Pozitif sayılarda 0'a yakın olan daha küçüktür. Negatif sayılarda 0'a yakın olan daha büyüktür.

Cebirsel İfadeler, Eşitlik ve Denklem

Cebirsel ifadelerde harfler bilinmeyen olarak kullanılır. Matematikte bilinmeyen için genelde "x" harfi kullanılır. Bunun kökeni İslam coğrafyasında kullanılan "şey" sözcüğüdür.

Cebirsel ifadelerde:

• 8x ifadesinde, 8'e "katsayı", x'e "değişken" denir, tüm ifadeye "terim" denir.
• 3x+5 ifadesinde, 3x'e "terim", 5'e "sabit terim" denir.

Toplama ve çıkarma işlemlerinde benzer terimler bir araya getirilir. Örnek: $3x+5$ + $7x-2$ = 10x+3

Çarpma işleminde doğal sayı ile çarpılırken, doğal sayı terimlerin katsayıları ile çarpılır. Örnek: 5$3x+7$ = 15x+35

Biliyor muydun? X'in bilinmeyen olarak kullanılması, İslam âlimlerinin "şey" kelimesinin İspanyolca'ya çevrilmesi sırasında yaşanan zorluktan kaynaklanmıştır!

Birinci dereceden denklemler bir bilinmeyen içeren ve bu bilinmeyenin üssü 1 olan denklemlerdir. Örnek: 2x = 4, 3x+6 = 9

Denklem çözerken, denge korunmalıdır. Eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenebilir, çıkarılabilir, aynı sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.

Oran ve Orantı - Yüzdeler

Oran, iki çokluğun karşılaştırılmasıdır. Örnek: 20 kız ve 15 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta kızların erkeklere oranı 20:15 = 4:3 şeklinde yazılır.

Orantı, iki oranın eşitliğine denir. Örnek: 4:5 = 8:10

Orantıda önemli özellikler:

• İçler çarpımı dışlar çarpımına eşittir $a:b = c:d ise a×d = b×c$
• İçler ya da dışlar yer değiştirince orantı değişmez
• Pay ve paydalar yer değiştirince orantı değişmez

Doğru orantı: İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa doğru orantılıdır. Örnek: Elma miktarı arttıkça fiyat da aynı oranda artar.

Ters orantı: Biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ters orantılıdır. Örnek: İşçi sayısı artarsa işi bitirme süresi azalır.

Pratik bilgi: Altın oran (1,618) doğadaki birçok olayda ve insan yapımı eserlerde görülür. Fibonacci sayıları (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...) büyüdükçe birbirine oranları altın orana yaklaşır!

Yüzde hesaplarken, % işareti a/100 anlamına gelir. Bir çokluğun belirtilen yüzdesini bulmak için verilen çokluk yüzde ile çarpılır. Örnek: 40 kişilik sınıfın %20'si = 40×20/100 = 8 kişi.

Doğrular, Açılar, Çokgenler ve Çember

Açıortay, bir açıyı iki eş parçaya bölen doğrudur. Paralel doğrularda, içters açılar ve dış ters açılar birbirine eşittir. Yöndeş açıların toplamı 180°'dir.

Çokgenlerde, n kenarlı bir çokgenin iç açılarının toplamı $n-2$×180° formülüyle bulunur. Dış açıların toplamı her zaman 360°'dir.

Düzgün çokgen, kenar uzunlukları ve iç açıları eşit olan çokgendir. Köşegen, ardışık olmayan köşeleri birleştiren doğru parçasıdır.

Özel dörtgenler:

• Paralelkenar: Karşılıklı kenarlar paralel ve eşittir, köşegenler birbirini ortalar
• Dikdörtgen: Köşelerindeki açılar 90°, karşılıklı kenarlar paralel ve eşittir
• Eşkenar dörtgen: Tüm kenar uzunlukları eşittir, köşegenler birbirini dik keser
• Kare: Kenar uzunlukları eşit, açıları 90° olan dörtgendir

Hatırlatma: Yamuk, iki kenarı paralel olan dörtgendir. Yan kenarlarının uzunlukları birbirine eşit olan yamuğa "ikizkenar yamuk", bir kenarı tabana dik olan yamuğa "dik yamuk" denir.

Çember ve daire arasındaki fark, çemberin sadece çevreden oluşması, dairenin ise içinin dolu olmasıdır. Dairenin alanı πr², çemberin çevresi 2πr formülleriyle hesaplanır.

Veri Analizi ve Cisimlerin Görünümleri

Veri analizi, verilerin düzenlenmesi ve yorumlanmasıdır. Farklı grafik türleri kullanılarak veriler görselleştirilebilir.

Daire grafiği, verilerin bir dairenin dilimleri şeklinde gösterilmesiyle oluşur. Hazırlanırken toplam veriler 360° olacak şekilde oranlanır.

Çizgi grafiği, yatay ve dikey eksendeki değerler işaretlenerek bulunan noktaların birleştirilmesiyle oluşur. Genellikle zamana bağlı değişimleri göstermek için kullanılır.

Aritmetik ortalama, verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur. Örnek: 15+10+20 = 45, 45÷3 = 15

Mod (tepe değer), veri grubunda en çok tekrar eden sayıdır. Medyan (ortanca değer) ise, veriler küçükten büyüğe sıralandığında ortadaki sayıdır.

Hayatla bağlantı: "Ağustos Böceği ile Karınca" masalı, planlama yapmadan eğlenceye düşkün olmanın sonuçlarını anlatır. Karınca tüm yaz kış hazırlığı yaparken, Ağustos böceği eğlenmiş ve kışın aç kalmıştır.

Cisimlerin farklı yönlerden görünümleri konusunda, üç boyutlu bir cismin önden, sağdan, soldan, arkadan ve üstten bakıldığında nasıl göründüğü incelenir. Cismin gerçek şeklini anlamak için farklı açılardan bakmak gerekir.