5. Sınıf Matematik - Temel Geometri

Matematikte kullandığımız araçları tanıyalım! Gönye, açıölçer, pergel ve cetvel geometri çizimlerinde sıkça kullandığımız araçlardır.

Matematikte üç önemli kavram vardır: doğru, doğru parçası ve ışın. Doğru, her iki yönde de sonsuza giden düz bir çizgidir. Doğru parçası, iki nokta arasındaki düz çizgidir. Işın ise bir noktadan başlayıp bir yönde sonsuza giden çizgidir.

Açı iki ışının ortak bir noktadan (köşeden) çıkması ile oluşur. Açıların ölçüleri derece (°) ile ifade edilir. Açıların özel türleri vardır: tümler açılar (toplamları 90°) ve bütünler açılar (toplamları 180°).

Biliyor muydun? Günlük hayatta kullandığımız birçok nesne çokgenlere benzer! Kapı, pencere, kitap gibi nesnelere baktığında hangi çokgenleri görüyorsun?

Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180 derecedir. Üçgenler kenarlarına göre ikizkenar üçgen, eşkenar üçgen veya çeşitkenar üçgen olarak sınıflandırılabilir.

5. Sınıf Matematik - Doğrular ve Açılar

Üç doğrunun birbirine göre farklı durumları olabilir. Bunlar: bir noktada kesişen üç doğru, ikişer ikişer üç farklı noktada kesişen doğrular ve iki paralel doğrunun üçüncü bir doğru ile kesişmesi.

Çokgenler kapalı düzlemsel şekillerdir. Dörtgen, beşgen, altıgen gibi isimler alırlar. Bu isimlendirmede kenar sayıları önemlidir. Örneğin, beşgenin 5 kenarı, altıgenin 6 kenarı vardır.

Düzgün çokgen, tüm kenarları ve tüm açıları eşit olan çokgendir. Örneğin, bir düzgün beşgenin her iç açısı 108 derecedir.

Pergel kullanarak çember çizebiliriz. Çember, bir merkez noktasına eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kapalı bir eğridir. Bu uzaklığa yarıçap denir.

İpucu: Bir çokgenin iç açıları toplamı: $n - 2$ × 180° formülü ile hesaplanır. (n: kenar sayısı)

İki çember kesiştiğinde oluşan noktalar özel geometrik şekiller oluşturmak için kullanılabilir. Örneğin, iki çemberin merkezleri ve bir kesişim noktası alınarak bir üçgen oluşturulabilir.

5. Sınıf Matematik - Doğrular, Işınlar ve Açılar

Birim kareli zemin üzerinde doğru, ışın ve doğru parçası çizebiliriz. Doğruyu iki ucunda da ok işareti olan çizgi ile, ışını bir ucunda ok işareti olan çizgi ile, doğru parçasını ise ok işareti olmayan çizgi ile gösteririz.

Doğru parçalarının uzunluklarını cetvel ile ölçeriz. Bu uzunlukları sembol kullanarak yazarken |AB| şeklinde gösterebiliriz. Örneğin, AB doğru parçasının uzunluğu 6 cm ise |AB| = 6 cm yazarız.

İki doğru birbirini kestiğinde açılar oluşur. Ters açılar birbirine eşittir. Komşu bütünler açıların ölçüleri toplamı 180 derecedir. Örneğin, eğer bir açının ölçüsü 44° ise, komşu bütünler açısının ölçüsü 180° - 44° = 136°'dir.

Açıölçer (iletki) ile bir açının ölçüsünü ölçebiliriz. Açının ölçüsünü sembol ile m(ABC) şeklinde gösteririz. Açıların bütünleri 180° - açının ölçüsü ile hesaplanır.

Hatırla: Bir tam tur 360 derecedir. Bütünler açıların toplamı 180 derece, tümler açıların toplamı 90 derecedir!

5. Sınıf Matematik - Geometrik Şekiller

Kare şeklindeki bir kağıt katlandığında ve kesildiğinde farklı çokgenler elde edebiliriz. Mesela, kare şeklindeki kağıdı ortadan ikiye katlayıp tekrar ikiye katladıktan sonra köşeden köşeye kesersek, açtığımızda sekizgen elde ederiz.

Selçuklu Yıldızı olarak bilinen yıldız modeli geometrik bir tasarımdır. Bu yıldızın uç kısımları birleştirildiğinde düzgün sekizgen oluşur. Sekizgenin 8 kenarı ve 8 köşesi vardır.

Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman 180 derecedir. Örneğin, bir üçgenin iki açısı 55° ve 70° ise, üçüncü açısı 180° - (55° + 70°) = 180° - 125° = 55° olmalıdır.

Üçgenler açılarına göre farklı şekillerde isimlendirilir:

• Tüm açıları dar açı (90°'den küçük) olan üçgene dar açılı üçgen denir.
• Bir açısı dik açı (90°) olan üçgene dik açılı üçgen denir.
• Bir açısı geniş açı (90°'den büyük) olan üçgene geniş açılı üçgen denir.

İlginç bilgi: Üçgenleri sadece açılarına göre değil, kenarlarına göre de sınıflandırabiliriz. Tüm kenarları eşit uzunlukta olan üçgene eşkenar üçgen denir!

5. Sınıf Matematik - Temel Geometri Değerlendirme

Matematiksel araç gereçlerin isimlerini öğrenelim: Gönye iki dik kenarı olan üçgen şeklindedir, açıölçer (iletki) açıları ölçmek için kullanılır, pergel çember çizmemizi sağlar, cetvel ise uzunluk ölçmemize ve doğru çizmemize yardımcı olur.

Doğru, doğru parçası ve ışını bilinçli şekilde kullanmak önemlidir. Doğru "AB" şeklinde, doğru parçası "$AC$" şeklinde ve ışın "CB" şeklinde gösterilir.

Birim kareli kağıt üzerinde verilen uzunluklarda doğru parçaları çizebiliriz. Örneğin, |AB| = 3 birim ise A noktasından başlayıp 3 birim sağa, sola, yukarıya veya aşağıya giderek B noktasını işaretleyebiliriz.

Açılar sembol kullanarak gösterilir: m(ABC) şeklinde. Örneğin, ABC açısının ölçüsü 65° ise, m(ABC) = 65° yazarız. Aynı şekilde KLM açısının ölçüsü 107° ise, m(KLM) = 107° yazarız.

Soru çözme ipucu: ABC açısının bütünleri 180° - 44° = 136° ve DEF açısının tümleri 90° - 72° = 18° ise, aralarındaki fark 136° - 18° = 118° olur.

5. Sınıf Matematik - Doğrular ve Çokgenler

Doğruların birbirine göre durumlarını üç şekilde ifade edebiliriz:

1. Üç doğru bir noktada kesişir.
2. Üç doğru ikişer ikişer üç farklı noktada kesişir.
3. İki paralel doğru, üçüncü doğru ile iki farklı noktada kesişir.

Süslemelerde farklı çokgenler kullanılır. Dörtgen 4 kenarı, beşgen 5 kenarı, altıgen 6 kenarı olan çokgenlerdir. Her çokgenin kendine özel özellikleri vardır.

Düzgün beşgen her kenarı ve her açısı eşit olan beş kenarlı çokgendir. Bir düzgün beşgenin her iç açısı 108 derecedir. Üç düzgün beşgen yan yana konulduğunda, aralarında kalan açı 360° - (3 × 108°) = 360° - 324° = 36° olur.

Üçgenleri kenarlarına göre üç gruba ayırırız:

• İkizkenar üçgen: İki kenarı eşit olan üçgen
• Eşkenar üçgen: Üç kenarı da eşit olan üçgen
• Çeşitkenar üçgen: Hiçbir kenarı eşit olmayan üçgen

Unutma: Çember, bir merkez etrafında eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kapalı şekildir. Yarıçap, merkezden çemberin herhangi bir noktasına olan uzaklıktır.

5. Sınıf Matematik - Doğrular ve Açılar Uygulamaları

Birim kareli zemin üzerinde noktalar arasında doğru, ışın ve doğru parçası çizmek matematiksel becerilerimizi geliştirir. Birim kareli kağıt kullanarak geometrik şekiller çizebilir ve uzunlukları daha kolay hesaplayabiliriz.

Cetvel ile doğru parçalarının uzunluklarını ölçeriz. Ölçüm sonuçlarını sembol kullanarak gösteririz: |AB| = 6 cm, |CD| = 7 cm, |EF| = 4 cm ve |KL| = 3 cm gibi.

İki doğru bir noktada kesiştiğinde dört açı oluşur. Bu açılar arasında özel ilişkiler vardır:

• Komşu bütünler açılar: Toplamları 180° olan, yan yana bulunan açılar
• Ters açılar: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu karşılıklı açılar (birbirine eşittir)

Eğer AKC açısının ölçüsü 44° ise, BKC açısı (komşu bütünler açısı) 180° - 44° = 136° olur. AKC ile BKD açıları ters açılar olduğundan, m(BKD) = m(AKC) = 44° olur.

Açıölçer ipucu: Açı ölçerken, açının köşesini açıölçerin merkezine, açının bir kenarını 0° çizgisine yerleştir. Diğer kenarın gösterdiği değeri oku!

KLM açısının ölçüsü 95° ise, bütünleri olan açının ölçüsü 180° - 95° = 85° olur.

5. Sınıf Matematik - Çokgenler ve Geometrik Şekiller

Kare şeklindeki bir kağıt katlandığında ve belirli bir şekilde kesildiğinde yeni şekiller elde edebiliriz. Örneğin, kare kağıdı iki kez katladıktan sonra kesersek ve açarsak düzgün bir altıgen elde edebiliriz.

Selçuklu Yıldızı olarak bilinen motif, Türk-İslam mimarisinde sıkça kullanılan geometrik bir desendır. Yıldızın uç kısımları birleştirildiğinde düzgün bir sekizgen oluşur.

Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı her zaman 180 derecedir. Örneğin, bir üçgenin iki iç açısı 55° ve 70° ise, üçüncü açısı 55° olur çünkü 55° + 70° + 55° = 180°. Bu üçgen üç açısı da dar açı (90°'den küçük) olduğu için dar açılı üçgendir.

İki çember çizildiğinde, bu çemberlerin merkezleri ve kesişim noktalarından birisi bir üçgenin köşeleri olabilir. Bu üçgenin türünü, kenar uzunluklarına bakarak belirleyebiliriz.

Bilgi: İki çemberin merkezleri arasındaki mesafe, çemberlerin yarıçapları toplamından küçükse, çemberler iki noktada kesişir!

Farklı merkezli ve farklı yarıçaplı iki çember, bir çeşitkenar üçgen oluşturmak için kullanılabilir. Bu, geometrinin pratik uygulamalarından biridir.

6. Sınıf Matematik - Üslü İfadeler

Üslü ifadeler sayıların çarpımını kısaca göstermeye yarar. Örneğin, 4³ = 4×4×4 = 64 şeklinde hesaplanır. Üslü ifade, bir sayının kendisiyle belirli sayıda çarpılmasıdır.

Bir matematiksel işlemde işlem sırası önemlidir. Önce parantez içi, sonra üslü ifadeler, daha sonra çarpma-bölme ve en son toplama-çıkarma işlemleri yapılır. Örneğin, (12+24÷3)-12+4×5 işlemini yaparken önce parantez içini hesaplayıp sonra diğer işlemlere geçeriz.

Doğal sayı çarpanları bir sayıyı tam bölen doğal sayılardır. Örneğin, 80'in doğal sayı çarpanları: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 ve 80'dir.

Bir sayının 9 ile tam bölünebilmesi için, o sayının rakamları toplamının 9'a tam bölünmesi gerekir. Örneğin, 87_5 sayısının 9 ile bölünebilmesi için eksik olan rakam 7 olmalıdır çünkü 8+7+7+5=27 ve 27 sayısı 9'a tam bölünür.

İpucu: Bir sayının 2 ile bölünebilmesi için birler basamağı çift olmalıdır (0, 2, 4, 6, 8). 3 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı 3'e tam bölünmelidir.

Asal sayılar sadece 1'e ve kendisine bölünebilen sayılardır. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 gibi. Sayılar arasındaki bölünebilme ilişkileri, günlük hayattaki birçok problemin çözümünde yardımcıdır.

6. Sınıf Matematik - Doğal Sayılar ve İşlemler

Fiyatı 9 ile tam bölünebilen dört basamaklı bir doğal sayıda, karalanmış olan onlar basamağındaki rakamı bulabiliriz. Rakamlar toplamının 9'un katı olması gerektiğinden, 8+7+?+5 = 9'un katı olmalıdır. 8+7+5 = 20 olduğuna göre, ? = 7 olmalıdır (27 sayısı 9'un katıdır).

Sayıların bölünebilme kuralları:

• Bir sayı 2 ile tam bölünebilir → Birler basamağı çift sayı olmalıdır.
• Bir sayı 3 ile tam bölünebilir → Rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
• Bir sayı 4 ile tam bölünebilir → Son iki basamağı 4'ün katı olmalıdır.
• Bir sayı 5 ile tam bölünebilir → Birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır.

Bir sayının asal çarpanları sadece asal sayılardan oluşan çarpanlarıdır. Örneğin, 180'in asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.

En küçük ortak kat (EKOK), iki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Örneğin, sinema bileti 120 TL, tiyatro bileti 90 TL olduğunda, ödenen ücretlerin eşit olması için EKOK(120, 90) = 360 TL olması gerekir.

Dikkat: Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için, sayıyı asal sayılara bölmeye devam ederiz. Örneğin, 180 = 2²×3²×5 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır.