Binom Açılımı ve Özellikleri

Binom açılımı, $(x+y)^n$ formundaki ifadelerin açık hale getirilmesidir. Bu açılım şu şekilde yazılır: $(x+y)^n = (\binom{n}{0})x^n + (\binom{n}{1})x^{n-1}y + ......+ (\binom{n}{n})y^n$

Burada dikkat etmen gereken bazı önemli özellikler var:

• Açılımda n+1 terim bulunur
• Her terimde x ve y'nin üslerinin toplamı n'dir
• Baştan $(r+1)$. terim $(\binom{n}{r})x^{n-r}y^r$ şeklindedir
• Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin katsayıları mutlak değerce eşittir

⚠️ Dikkat: Binom açılımında sabit terim sorularını çözerken, değişkenlerin katsayılarının 1 olması gerekir. Bu nedenle bazen değişkenleri yok etmeniz gerekebilir.

Örneğin $(x+\frac{1}{x})^9$ ifadesinin sabit terimini bulmak için, $x^{9-r}(\frac{1}{x})^r$ ifadesinde $9-r=r$ eşitliği sağlanmalıdır. Buradan $r=\frac{9}{2}$ bulunur ki tam sayı olmadığından, $9-r=3r$ olması gerekir. Bunu çözünce $r=3$ bulunur ve sabit terim $\binom{9}{3}=84$ olarak hesaplanır.