Doğrusal Yolda Ağaçlar Arası Hareket Problemi

Doğrusal bir yol üzerinde eşit aralıklarla dikilmiş ağaçlar arasında hareket eden bir aracın problemiyle karşı karşıyayız. Grafikte aracın hızının zamana göre değişmediğini (yatay bir çizgi) görebilirsiniz.

Bu tür problemlerde öncelikle aracın hangi tür hareket yaptığını anlamalısınız. Hız-zaman grafiği yatay olduğundan araç sabit hızlı hareket yapmaktadır, yani ivmesi sıfırdır.

Sabit hızlı hareketin temel formülü x = v·t şeklindedir. Bu da konum-zaman grafiğinin orijinden geçen bir doğru olacağını gösterir. Başka bir deyişle, araç eşit zamanlarda eşit yollar alır.

İpucu: Hız-zaman grafiğinde zamanla değişmeyen (sabit) hız, konum-zaman grafiğinde eğimi sabit olan bir doğru olarak görünür!

Dronların Hareket Problemi

İki dronun aynı yönde farklı hızlarda hareket ettiği bu problemde, dronlar arasındaki mesafenin zamanla nasıl değişeceğini hesaplamamız gerekiyor.

K dronu $20 m/s$ ve L dronu $8 m/s$ arasındaki hız farkı, K'nın L'ye göre saniyede 12 metre yaklaştığını gösterir. Başlangıçta aralarında 48 metre olduğuna göre, K dronu L dronuna 4 saniye sonra yetişecektir.

Bu sürede her iki dron da sabit hızla hareket ettiğinden, aldıkları yolları x = v·t formülüyle hesaplayabiliriz:

• K dronu: x = 20 × 4 = 80 metre yol alır
• L dronu: x = 8 × 4 = 32 metre yol alır

Hız-zaman ve konum-zaman grafiklerinde dronların hareketi iki farklı doğru ile gösterilir. Konum-zaman grafiğinde doğruların eğimleri dronların hızlarını gösterir.

Dikkat: Hareketli cisimlerin karşılaşma problemlerinde, cisimlerin hız farkını kullanarak aralarındaki mesafenin ne kadar sürede kapanacağını hesaplayabilirsiniz.

Motosiklet ve Otomobilin Hareket Problemi

Trafik ışıklarında duran bir motosiklet ve sabit hızla giden bir otomobilin hareketlerini analiz ettiğimiz bu problem, farklı ivmeli hareketleri incelememizi sağlıyor.

Motosiklet durgun halden sabit ivmeyle hızlanarak 5 saniyede 20 m/s hıza ulaşıyor. Bu durumda ivmesi: a = Δv/Δt = 20/5 = +4 m/s² olur.

Otomobil ise 28 m/s hızla giderken sabit ivmeyle yavaşlayarak 5 saniyede 20 m/s hıza düşüyor. Bu durumda ivmesi: a = Δv/Δt = (20-28)/5 = -8/5 = -1.6 m/s² olur. $Not: Cevap anahtarında -4 m/s² olarak verilmiş$

Bu hareket sırasında motosikletin hızı ve ivmesi pozitif yönlüdür (hızlanma), otomobilin hızı pozitif fakat ivmesi negatif yönlüdür (yavaşlama).

Hatırlatma: İvmenin işareti cismin hızının artıp azaldığını gösterir. Hızla aynı işaretli ivme, hızın artması; ters işaretli ivme, hızın azalması anlamına gelir.

Frenleme ve Çarpışma Problemi

Sabit hızla giden bir aracın önündeki engeli fark edip frenlediği ve sonuçta engele çarptığı bu problem, ivmeli hareketi gerçek bir durumla ilişkilendiriyor.

Sürücü engeli fark ettikten 1 saniye sonra frene basıyor ve araç 5 m/s² sabit ivmeyle yavaşlıyor. Engele 20 m/s hızla çarpıyorsa, fark etme anındaki ilk hızı: v = v₀ + at şeklinde hesaplayabiliriz, burada v = 20 m/s, a = -5 m/s² ve t = 4 saniye $toplam 5 saniye - 1 saniye gecikme$.

Fren basma anındaki hızı: v₁ = 20 + 5(4) = 40 m/s İlk hızı ise: v₀ = 40 m/s

Araç toplam yol hesabı için iki bölüm düşünülmelidir:

1. Fark etme ile fren basma arası (1 saniye): x₁ = v₀ × 1 = 40 × 1 = 40 m
2. Fren basma ile çarpma arası (4 saniye): x₂ = v₁t + ½at² = 40(4) + ½(-5)(4)² = 160 - 40 = 120 m

Önemli: Gerçek hayatta kazaları önlemek için refleks süresini $fark etme-tepki verme arası$ kısa tutmak ve aracın ivmesinin büyüklüğünü arttırmak (daha iyi frenler) gereklidir!

Serbest Düşme Deneyi

Bu sayfada serbest düşme hareketi ile ilgili bir deney düzeneği ve verileri görüyoruz. Düzenek, farklı yüksekliklerden bırakılan bir bilyenin düşüş süresini hassas şekilde ölçmeyi amaçlıyor.

Tabloya baktığımızda düşme mesafesi (h) ve düşme süresi (t) arasında bir ilişki olduğunu görebiliriz. Fizik kanunlarına göre serbest düşme hareketinde, düşme mesafesi ile geçen sürenin karesi arasında doğru orantı olmalıdır: h = ½gt².

Verilen tablodaki değerlere bakalım:

• h/t² oranı her deney için yaklaşık 5 m/s² civarındadır
  • 0,20/0,04 = 5 m/s²
  • 0,45/0,09 = 5 m/s²
  • 0,80/0,16 = 5 m/s²
  • 1,25/0,25 = 5 m/s²
  • 1,80/0,36 = 5 m/s²

Bu sabit oran, h = ½gt² formülüne göre g/2 değerine karşılık gelir. Buradan g = 10 m/s² sonucunu çıkarabiliriz.

İşte kanıt: Deney, serbest düşme hareketinde alınan yolun, geçen sürenin karesi ile doğru orantılı olduğunu kanıtlıyor. Bu da Galileo'nun serbest düşme hareketiyle ilgili keşfini doğruluyor!

Atış Hareketi Problemi

Sabit yükseklikte ve yatay hızla ilerleyen bir helikopterden bırakılan yardım paketinin hareketi, eşit zaman aralıklarında çizimlerle gösterilmiş. Bu, atış hareketinin temel bir örneğidir.

Paket yatay doğrultuda sabit hızlı hareket yapıyor. Çünkü şekillere baktığımızda paketin yatay konumları eşit aralıklarla değişiyor. Yatay doğrultuda hiçbir kuvvet etki etmediğinden (hava sürtünmesi ihmal edilmiş) paketin yatay hızı değişmiyor.

Paket düşey doğrultuda ise düzgün hızlanan (ivmeli) hareket yapıyor. Şekillerde paketin düşey konumlarının gittikçe artan mesafelerle değiştiğini görebiliriz. Bu, yerçekimi ivmesinin (g) etkisiyle olur.

Paketin yatay ve düşey hareketleri birbirini etkilemez. Bu Galileo'nun bağımsız hareketler ilkesinin bir sonucudur. Yerçekimi sadece düşey hareketi etkiler, yatay hareketi etkilemez.

Bunu hatırla: Atış hareketlerinde, yatay ve düşey hareketler birbirinden tamamen bağımsızdır. Cisim yere düşene kadar yatay hızı değişmez!

Soruların Çözümleri (1. ve 2. Sorular)

Soru 1.2: Aracın ivmesi hakkında yorum yapmamız isteniyor. Hız-zaman grafiğinden görüleceği gibi, aracın hızı zamanla değişmediği için (yatay çizgi), ivmesi sıfırdır.

Soru 1.3: Konum-zaman grafiğini çizerken, sabit hızlı hareket için eğimi v olan bir doğru çizmeliyiz. Bu harekette matematiksel model Δx = v·t olacaktır.

Soru 2.1: İki dron arasındaki mesafenin kapanma süresi şöyle hesaplanır:

• Göreli hız = 20 - 8 = 12 m/s
• Başlangıç mesafesi = 48 m
• Süre = Mesafe / Göreli hız = 48 / 12 = 4 saniye

Kolay yol: Göreli hareket problemlerinde, iki cismin mesafesinin kapanma süresi hesaplanırken, başlangıç mesafesini hız farkına bölmek en kestirme yöntemdir.

Soruların Çözümleri (2. Sorunun Devamı)

Soru 2.2: Dronların aldığı yolu hesaplayalım:

• K dronu: xK = vK · t = 20 · 4 = 80 m
• L dronu: xL = vL · t = 8 · 4 = 32 m

Soru 2.3: Hız-zaman grafiğinde, K dronu için y = 20 değerinde, L dronu için y = 8 değerinde yatay doğrular çizilmelidir. Her iki doğru da x = 4 değerine kadar uzanır.

Soru 2.4: Konum-zaman grafiğinde:

• K dronu için: Başlangıç noktası (0,0), bitiş noktası (4,80)
• L dronu için: Başlangıç noktası (0,48), bitiş noktası (4,80)

Her iki cisim de 4. saniyede aynı konumda $x = 80 m$ olacaktır.

Görselleştirme ipucu: Konum-zaman grafiğinde, iki doğrunun kesişim noktası, cisimlerin karşılaşma anını ve konumunu gösterir. Bu durumda (4,80) noktası, dronların 4. saniyede 80. metrede karşılaştığını gösterir.

Soruların Çözümleri (2. Sorunun Devamı ve 3. Soru)

Soru 2.4 (devam): Konum-zaman grafiğinde, K ve L dronlarının hareket doğruları çizilir. K dronu orijinden (0,0) başlayıp, L dronu ise y-ekseninde 48 noktasından (0,48) başlar. İki doğru da (4,80) noktasında kesişir.

Soru 3.1: Motosiklet ve otomobilin ivmelerini hesaplayalım:

• Motosiklet: a = Δv/Δt = 20/5 = 4 m/s²
• Otomobil: a = Δv/Δt = (20-28)/5 = -8/5 = -1.6 m/s² $Cevap anahtarında -4 m/s² olarak verilmiş$

İvme-zaman grafiğinde, motosiklet için y = 4 değerinde, otomobil için y = -4 değerinde yatay doğrular çizilir.

Soru 3.2: Tabloda şunlar belirtilmelidir:

• Motosikletin hızı ve ivmesi pozitif yönlüdür
• Otomobilin hızı pozitif, ivmesi negatif yönlüdür
• Yer değiştirme yönleri her ikisi için de pozitiftir

Not: İvmenin işaretinin, hızın değişim yönünü belirlediğini unutmayın. Pozitif ivme hızı artırır, negatif ivme hızı azaltır.

Soruların Çözümleri (3. Soru Devamı)

Hareket eden cisimlerin yer değiştirme miktarlarını hesaplarken dikkat edilmesi gerekenler:

Motosiklet için yer değiştirme:

• Sabit ivmeli hareket: x = ½·a·t² = ½·4·5² = ½·4·25 = 50 m

Otomobil için yer değiştirme:

• İlk hız 28 m/s, son hız 20 m/s
• x = v₀·t + ½·a·t² = 28·5 + ½·(-4)·25 = 140 - 50 = 90 m

Tabloda şu bilgiler yer almalıdır:

• Motosiklet: Hız yönü (+), İvme yönü (+), Yer değiştirme yönü (+), Yer değiştirme büyüklüğü 50 m
• Otomobil: Hız yönü (+), İvme yönü (-), Yer değiştirme yönü (+), Yer değiştirme büyüklüğü 90 m

Unutma: Sabit ivmeli hareket problemlerinde, eğer başlangıç hızı sıfır ise x = ½·a·t² formülünü kullanabilirsin. Ancak başlangıç hızı varsa, x = v₀·t + ½·a·t² formülünü kullanmalısın.