約数と倍数、素数の基本概念

君たちが普段何気なく使っている「割り切れる」という概念が、実は数学の重要な土台になってるんだ。整数bで整数aが割り切れるとき、つまりa=bkとなる整数kが存在するとき、bはaの約数、aはbの倍数って呼ぶよ。

素数は1とその数自身以外に正の約数を持たない、1より大きい自然数のこと。2, 3, 5, 7, 11...が代表例で、2は唯一の偶数の素数だから覚えておこう。逆に合成数は1より大きい自然数で素数じゃないもの。

ここで絶対に忘れちゃいけないのは、1は素数でも合成数でもないってこと！これは入試でよく引っかけ問題に使われるから要注意だ。

重要ポイント: どんな合成数も素因数分解の形はただ一通りに決まる（素因数の一意性）。この性質が後の計算の根拠になる。

最大公約数と最小公倍数の定義

**最大公約数（GCD）**は2つ以上の整数に共通する約数のうち最も大きいもので、**最小公倍数（LCM）**は共通する正の倍数のうち最も小さいものだ。この2つの概念は入試問題で頻出だから、確実にマスターしよう。

2つの整数の最大公約数が1のとき、それらは互いに素って言う。例えば8と9は互いに素（両方が素数である必要はないよ）。

素因数分解を使ったGCDとLCMの求め方が基本中の基本。まず各数を素因数分解して、GCDは各素因数の指数の最小値、LCMは各素因数の指数の最大値を取る。

暗記必須の公式: 2つの自然数a,bについて、ab = GCD × LCM が常に成り立つ。ただし3つ以上の数では一般に成り立たないから注意！

素因数分解による計算方法

実際の計算例で理解を深めよう。84と90のGCDとLCMを求める場合を見てみる。

まず素因数分解：84 = 2² × 3¹ × 7¹、90 = 2¹ × 3² × 5¹。GCDでは共通する素因数2と3について、指数の小さい方を選んで2¹ × 3¹ = 6。

LCMでは全ての素因数2,3,5,7について、指数の大きい方を選んで2² × 3² × 5¹ × 7¹ = 1260になる。

この方法なら複雑な数でも確実に計算できるし、3つ以上の数でも同じルールが適用できる。どんな問題でもまず素因数分解から考える癖をつけよう。

計算のコツ: 指数を比較するとき、ない素因数は指数0として考える。84には5⁰ = 1があると考えて、5¹と比較する。

ユークリッドの互除法

数が大きくて素因数分解が困難な場合の救世主がユークリッドの互除法だ。この方法は不定方程式の基礎にもなるから絶対マスターしておこう。

原理はシンプル：gcd(a,b) = gcd(b, aをbで割った余り)が成り立つことを利用する。大きい方を小さい方で割って、その余りで次の計算を続け、余りが0になるまで繰り返す。

例：gcd(272,119)の場合、272÷119=2余り34、119÷34=3余り17、34÷17=2余り0。余りが0になったときの直前の余り17が答えだ。

この手順は機械的にできるから、計算ミスが起こりにくい。大きい数の問題では素因数分解より圧倒的に早いよ。

応用への橋渡し: ユークリッドの互除法の計算過程は、不定方程式ax+by=cの特殊解を求めるのに直接使える貴重な情報になる。

実践問題での解法パターン

3つの数54, 72, 180のGCDとLCMを求める問題で実践してみよう。まず素因数分解：54 = 2¹ × 3³、72 = 2³ × 3²、180 = 2² × 3² × 5¹。

GCDは共通する素因数2と3について最小の指数：min(1,3,2)=1、min(3,2,2)=2だから2¹ × 3² = 18。LCMは全ての素因数について最大の指数：max(1,3,2)=3、max(3,2,2)=3、max(0,0,1)=1だから2³ × 3³ × 5¹ = 1080。

「nと24のLCMが360になるnをすべて求めよ」のような逆算問題では、nを n = 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ × ... の形で置いて、LCMの定義に従って各指数の条件を求める。

逆算問題のコツ: 求める数の素因数分解の形を文字で置いて、与えられた条件から各指数の値を特定する。系統的にやれば取りこぼしがない。

入試で狙われる重要ポイント

入試でよく引っかかるポイントを整理しておこう。1は素数ではないのは定義の問題で、これを忘れると失点する。互いに素は「共通の約数が1のみ」という意味で、両方が素数である必要はない（4と9は互いに素）。

GCDとLCMを求めるとき、GCDは指数の小さい方、LCMは指数の大きい方を取る。この逆をやってしまうミスが本当に多いから要注意だ。

ab = GCD × LCM の公式は2つの数のときだけ成り立つ。3つ以上では一般に成り立たないから、安易に使わないこと。

「平方数になる」という条件は、素因数分解したときの全ての指数が偶数になる、という条件に言い換えられる。この変換ができると問題が一気に解きやすくなるよ。

最終確認: 素因数分解→GCD/LCM→公式の活用という流れを身につければ、どんな問題でも対応できる。基本を確実にして応用問題に挑もう！