Üslü Sayılar - Temel Alıştırmalar

Üslü sayılarla işlem yapmak, doğru kuralları bildiğinizde oldukça kolaydır. Aynı tabanlı sayıların çarpımında üsler toplanır $a^m × a^n = a^(m+n)$.

Sayıları üslü biçimde ifade etmek, bazı hesaplamaları çok daha pratik hale getirir. Örneğin 4³·2⁴ işleminde, 4'ü 2²'ye dönüştürerek (2²)³·2⁴ = 2⁶·2⁴ = 2¹⁰ sonucunu kolayca bulabilirsiniz.

Üslü sayılarla hesaplamalarda negatif üsler için de dikkatli olmalısınız. Bir sayının negatif üssü, o sayının pozitif üssünün çarpmaya göre tersine eşittir $a^(-n) = 1/a^n$. Örneğin, 5^$x-1$ = 25 ise 5^x = 5·25 = 125 olur.

İpucu: Üslü sayılarda zorlandığınızda, aynı tabana çevirmeyi deneyin. Örneğin 8⁸·4⁴/2² işleminde hepsini 2 tabanında yazabilirsiniz: (2³)⁸·(2²)⁴/(2²) = 2²⁴·2⁸/2² = 2³⁰

Üslü Denklem Çözümleri

Üslü sayılar içeren denklemlerde, genellikle denklemin her iki tarafını aynı tabana dönüştürmek işe yarar. Örneğin (1/3)^x = 1/81 denkleminde 1/81 = (1/3)^4 olduğunu görürsek, x = 4 sonucuna ulaşabiliriz.

Üslü denklemlerde değişkeni yalnız bırakmak çözüme giden en kısa yoldur. 5^x + 5^x + 5^x = 5/3 denklemini ele alalım. Önce 3·5^x = 5/3 elde ederiz, buradan 5^x = 5/9 bulunur. 5^x = 5·5^-1 = 5/5 olduğundan x = -1 olur.

Kesirlerin üslü ifadelerinde de benzer kurallar geçerlidir. $6^x$/$2^x$ = 9 denkleminde önce 6^x = 9·2^x yazılır. 6 = 2·3 olduğundan (2·3)^x = 9·2^x ifadesine ulaşırız. Buradan 2^x·3^x = 9·2^x ve 3^x = 9 elde edilir. 3^2 = 9 olduğundan x = 2 bulunur.

Basamak sayısı hesaplamalarında üslü sayılar büyük kolaylık sağlar. 999·10^11 sayısının basamak sayısını bulmak için 10^11'in 11 basamaklı olduğunu ve 999'un 3 basamaklı olduğunu düşünürsek, sonucun 14 basamaklı olduğu anlaşılır.

Üslü İfadelerde Çeşitli İşlemler

Üslerin üssü alınırken, üsler çarpılır. Örneğin $m^4$·$m^2$^3/m^2 işleminde, $m^2$^3 = m^6 olur. İşlemi düzenlersek m^4·m^6/m^2 = m^8 sonucuna ulaşırız.

Negatif tabanlı üslü sayılarda çift üsler pozitif, tek üsler negatif sonuç verir. (-2)^3·(-2)^-4·(-2)^4-2 işleminde, (-2)^3 = -8, (-2)^-4 = 1/16, (-2)^4 = 16 olduğundan (-8)·(1/16)·16-2 = -8·1-2 = -10 bulunur.

Üslü denklemlerde tabanlar farklıysa, uygun dönüşümler yapmalısınız. 8^$x+2$ = $4^(1-x)$^2 denkleminde önce 8 = 2^3 ve 4 = 2^2 yazarak $2^3$^$x+2$ = $(2^2)^(1-x)$^2 ifadesine ulaşırız. Üsleri düzenlersek 2^$3x+6$ = 2^$4-4x$ elde ederiz. Üslerin eşitliğinden 3x+6 = 4-4x, buradan 7x = -2, yani x = -2/7 bulunur.

Püf Nokta: Karmaşık üslü ifadelerde, önce parantezleri çözüp üs hesaplamalarını yaparak ilerleyin. Örneğin $-2^2$^-1·(-2)^3/(-1)^$3+3^2$ işleminde, önce parantez içindeki işlemleri hesaplamalısınız.

Karmaşık Üslü İfadeler

Negatif üslü sayılar tersini alma anlamına gelir. $1/125$^-1·$5^2$^-3 işleminde, 1/125 = 5^-3 ve $5^2$^-3 = 5^-6 olduğundan, sonuç 5^3·5^-6 = 5^-3 olur.

Çarpım ve bölüm içeren üslü ifadelerde, üslerin toplanması ve çıkarılması kurallarını kullanırız. $4x^2$^3/$8x^3$^2 ifadesinde, $4x^2$^3 = 4^3·$x^2$^3 = 64x^6 ve $8x^3$^2 = 8^2·$x^3$^2 = 64x^6 olduğundan, sonuç 64x^6/64x^6 = 1 olur.

Üslü denklemi çözerken, bazen logaritma kurallarını kullanmak gerekebilir. 3^$x+4$ = (1/3)^3 denkleminde, sağ tarafı 3^-3 olarak yazabiliriz. Buradan 3^$x+4$ = 3^-3, yani x+4 = -3 elde edilir. Sonuç olarak x = -7 olur.

Karşılaştırma sorularında, üslü sayıları aynı tabana dönüştürmek işinizi kolaylaştırır. a = 2^10, b = 4^6, c = 8^3 değerlerini karşılaştırmak için hepsini 2 tabanında yazabiliriz: a = 2^10, b = $2^2$^6 = 2^12, c = $2^3$^3 = 2^9. Buna göre b > a > c sıralaması doğrudur.

Üslü Denklemlerin Çözüm Teknikleri

Karmaşık üslü denklemleri çözerken, eşitliğin her iki tarafındaki üs ve tabanları dikkatle analiz etmelisiniz. 8^$x+2$ = $4^(1-x)$^2 denkleminde, her iki tarafı da 2 tabanında yazarak ilerlemelisiniz.

Farklı tabanlar içeren denklemlerde, tabanları aynı hale getirmeniz gerekir. 10^x = 5^$x-1$ denkleminde, 10 = 2·5 olduğunu kullanarak (2·5)^x = 5^$x-1$ yazabiliriz. Buradan 2^x·5^x = 5^$x-1$, yani 2^x = 5^$x-1$/5^x = 5^-1 = 1/5 bulunur.

Üslü denklemlerin bazı çözümlerinde logaritma da kullanılabilir. 3^x = 2 denkleminde x = log₃2 olarak ifade edilir. 9^$1-x$/3 = 27^$x+2$ denkleminde ise (3²)^$1-x$/3 = 3^$3(x+2)$ yazarak 3^$2-2x$/3 = 3^$3x+6$, yani 3^$2-2x-1$ = 3^$3x+6$ elde ederiz. Üslerin eşitliğinden 2-2x-1 = 3x+6, buradan 5x = -5, yani x = -1 bulunur.

Hatırlatma: Üslü sayılarda işlem yaparken tabanların aynı olması çok önemlidir. Tabanları aynıysa üsleri toplar veya çıkarırsınız, farklıysa tabanları aynı hale getirmeniz gerekir.

Üslü İfadelerde İleri İşlemler

Kesirli sayıların üslü ifadelerinde, kesiri üssüyle birlikte yazmak işlemleri kolaylaştırır. (1/2)^-3 ifadesini hesaplarken, negatif üssün tersi alma anlamına geldiğini hatırlayın: (1/2)^-3 = (2)^3 = 8.

Üslü ifadelerin çarpımında, tabanlar aynıysa üsleri toplayarak ilerleyebilirsiniz. $3^-2·3^-2·3^-2$^2 işleminde, parantez içini sadeleştirip 3^-6 elde edebiliriz. Daha sonra dış üssü dağıtarak 3^-12 sonucunu buluruz.

Değişkenli üslü ifadelerde, benzer terimler bir araya getirilerek sadeleştirilir. $9x^2$^4·$27x^-4$^2 = $3^2·x^2$^4·$3^3·x^-4$^2 = 3^8·x^8·3^6·x^-8 = 3^14·x^0 = 3^14 sonucunu verir.

Üslü denklemlerde eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar farklıysa, uygun dönüşümler yapmalısınız. 2^m - 6 = (0,5)^m denkleminde, (0,5)^m = (1/2)^m = 2^-m olduğunu kullanarak 2^m - 6 = 2^-m yazabiliriz. Bu tür denklemlerde, m = 3 değerini deneyerek çözüme ulaşabiliriz.

Üslü Sayıların Pratik Uygulamaları

Üslü sayıların doğru kullanımı, karmaşık görünen işlemleri basitleştirebilir. Ancak, dikkat edilmesi gereken bazı durumlar vardır. Örneğin (-2)^-1·2 = -1/2·2 = -1 (doğru) iken, yanlış hesaplama yapılarak -4 bulunabilir.

Cebirsel ifadelerdeki üslü terimler, dikkatle hesaplanmalıdır. Örneğin x = -1 ve y = -2 için x²y - y²x + $x - y$$x - y$ = 1·(-2) - 4·(-1) + ((-1)-(-2))² = -2 + 4 + 1 = 3 olur.

Sayısal değerli üslü işlemler yaparken, adım adım ilerlemek hata yapma olasılığını azaltır. $4^4 + 4^4 + 4^4 + 4^4$^2 = 4·4^4 = 4^5 = 2^10 işleminde, 4 tane 4^4'ü toplayarak 4·4^4 elde edilir.

Öneri: Üslü sayı problemlerinde önce dönüşümleri yapıp, sonra işlemlere geçin. Örneğin (3x²)² · (9x)^-1/x³ işleminde, önce paydayı ve payı ayrı ayrı sadeleştirerek ilerleyin.

Karmaşık Üslü Denklem Problemleri

Üslü denklemlerde, bilinmeyeni yalnız bırakmak için çeşitli dönüşümler gerekebilir. Örneğin $x-3$^36 = $2x+5$^36 denkleminde, üsler eşit olduğundan x-3 = 2x+5 yazabiliriz. Buradan -3-5 = 2x-x, yani -8 = x elde edilir.

Karmaşık üslü ifadeleri sadeleştirirken, ortak paydalar bulun ve terimleri düzenleyin. $2^94 + 2^95 - 2^96$/$2^93 - 2^92 + 2^91$ ifadesinde, her terimi ortak çarpan 2^91'e bölerek sadeleştirmeye başlayabiliriz.

Üslerin toplamını içeren ifadelerde, ortak üslü terimi dışarı çıkarabilirsiniz. 2^$x+1$ + 3·2^x + 2^x = 48 denkleminde, 2^x'i ortak çarpan olarak yazarsak: 2^x(2 + 3 + 1) = 48, yani 2^x·6 = 48, 2^x = 8, x = 3 bulunur.

Farklı tabanları karşılaştırmak için aynı tabana çevirebilirsiniz. a = 2^21, b = 3^14, c = 5^7 olduğunda, bu sayıları karşılaştırmak için logaritma kullanılabilir veya yaklaşık değerleri hesaplanarak b > a > c sonucuna ulaşılır.

Üslü İfadelerde İleri Problemler

Karmaşık kesirli üslerde dikkatli olmalısınız. $1/64$^(-1/3)² / $-128^(-1/7)$^3 ifadesinde önce kökleri hesaplayın, sonra üsleri uygulayın. Bu işlemlerde, negatif tabanların kök ifadelerinde tanımsız olabildiğini unutmayın.

Ondalık sayıların üslü gösterimlerinde, önce sayıyı standart biçimde yazmak işe yarar. (0,0081)^-1 · 10^-4 işleminde, 0,0081 = 9^-2 olduğundan 9^2 · 10^-4 elde edilir.

Üslü ifadelerin oranında, ortak tabanları kullanarak sadeleştirme yapabilirsiniz. 3^x · 3^$x+1$ · 3^$x+2$ / 3^x · 3^$x-1$ · 3^$x-2$ = 3^$3x+3$ / 3^$3x-3$ = 3^6 = 729 sonucunu verir.

Pratik İpucu: Negatif ve kesirli üslerle çalışırken, üslerin anlamını tekrar düşünün. Örneğin 2^(-1/3) ifadesi, küp kök 2'nin çarpmaya göre tersini verir.

Karmaşık Üslü Denklem Sistemleri

Üslü denklem sistemlerinde, değişkenleri yalnız bırakmak için denklemleri birlikte kullanmalısınız. 16^$x-2y$ = 1 ve 81^$x+2y$ = 27 denklemlerinde, tabanları aynı hale getirip üsleri eşitleyerek çözüme ulaşabilirsiniz.

Çoklu üslü ifadelerin toplamını içeren sorularda, ortak üs varsa faktörize etmeyi deneyin. $5^-2 + 5^-2 + 5^-2 + 5^-2 + 5^-2$ / 625^-2 = 5 · 5^-2 / 5^-4 = 5 · 5^2 = 5^3 = 125 şeklinde hesaplayabilirsiniz.

Üslü eşitsizliklerde, işaretlerin yönüne dikkat edin. 7/2(3/7)^x > 7/2(3/7)^2x eşitsizliğinde, 3/7 < 1 olduğundan, üs arttıkça değer azalır. Bu durumda x < 0 olmalıdır.

Karmaşık üslü denklemleri, terim terim inceleyerek çözebilirsiniz. 2^$x+2$ - 3·2^$x-1$ + 5·2^$x-2$ = 480 denkleminde, 2^$x-2$'yi ortak çarpan olarak alırsanız, çözüme daha kolay ulaşabilirsiniz. Bu denklemde x = 7 olur.