Çarpanlar ve Katlar

Çarpanlar her sayının temel yapı taşlarıdır ve günlük hayatta sürekli karşılaştığın durumlar. Bir sayının en küçük çarpanı her zaman 1, en büyük çarpanı ise kendisidir.

EBOB (En Büyük Ortak Bölen) büyük parça verilip küçük parça istendiğinde kullanılır. İki sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. EKOK (En Küçük Ortak Kat) ise küçük parça verilip büyük parça istendiğinde devreye girer.

Asal sayılar sadece 1 ve kendisiyle bölünebilen özel sayılardır (2, 3, 5, 7...). Aralarında asal sayıların EBOB'u 1, EKOK'u ise sayıların çarpımına eşittir. Asal çarpan ağacı yöntemiyle herhangi bir sayıyı asal çarpanlarına ayırabilirsin.

💡 İpucu: Ardışık iki sayı (örneğin 7 ve 8) her zaman aralarında asaldır!

Üslü İfadeler

Üslü ifadeler matematik dilinin en pratik araçlarından biri! Taban kendisiyle kaç kere çarpılacağını, üs ise bu çarpma işleminin sayısını gösterir.

Temel kurallar şöyle: Tabanlar aynıysa üsler toplanır (2³ · 2⁵ = 2⁸), üsler aynıysa tabanlar çarpılır (3⁴ · 5⁴ = 15⁴). Negatif üs durumunda sayının tersini alıp üsü pozitif yaparsın.

Bilimsel gösterim çok büyük veya küçük sayıları kolayca yazmanı sağlar. Format: a × 10ⁿ (1 ≤ |a| < 10). Işık hızı 3·10⁵ km/sn gibi! Üssün üssü alınırken üsler çarpılır: (3²)³ = 3⁶.

💡 Hatırla: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir, 1'in tüm kuvvetleri ise 1'e eşittir.

Kareköklü İfadeler

Karekök hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemidir. √16 = 4 çünkü 4² = 16! Tam kare sayılar (1, 4, 9, 16, 25...) karekökü tam sayı olan özel sayılardır.

İşlemler oldukça mantıklı: katsayılar kendi aralarında, kareköklü sayılar kendi aralarında çarpılır veya bölünür. Toplama-çıkarma için kök içindeki sayılar aynı olmalı (4√3 + 5√3 = 9√3).

Rasyonel sayılar a/b şeklinde yazılabilir, irrasyonel sayılar ise yazılamaz. √5, π gibi sayılar irrasyonel olup virgülden sonraki basamakları düzensizdir. Tam kare olmayan sayıların karekökü hangi iki tam sayı arasında ise o aralıkta bulunur.

💡 Pratik bilgi: Ondalık gösterimlerin karekökünü alırken önce kesir şeklinde yaz, sonra karekök al!

Veri Analizi

Veriler hayatımızın her yerinde! Çizgi grafikleri zaman içindeki değişimleri, sütun grafikleri karşılaştırmaları gösterir. Tablodaki verileri grafiklere dönüştürmek analiz yapmayı kolaylaştırır.

Sütun grafiğini daire grafiğine çevirmek için önce toplam değeri bul, sonra her parçanın oranını hesapla. 360°'ye oranı çarparak her dilimin açısını bulabilirsin. Örneğin toplam 18000 m² alan varsa, 7000 m²'lik kısım (7000/18000) × 360° = 140° yapar.

Grafiklerin doğru yorumlanması kritik! Eksenlerdeki birimlere dikkat et, ölçeklerin eşit olup olmadığını kontrol et. Bu beceriler sadece matematikte değil, tüm derslerde ve günlük hayatta işine yarayacak.

💡 Grafik okuma ipucu: Grafiklerdeki en yüksek ve en düşük değerleri önce belirle, sonra genel eğilimi gözlemle.

Basit Olayların Olma Olasılığı

Olasılık günlük hayatın her anında karşılaştığın bir kavram! Yarın yağmur yağma ihtimali, zar atışında 6 gelme şansı... Hepsi olasılık hesabı.

Temel formül: Olasılık = İstenilen olası durumların sayısı / Tüm olası durumların sayısı. Bir zarla çift sayı gelme olasılığı: 3 (çift sayı: 2,4,6) / 6 (toplam) = 1/2 = %50.

Kesin olay olasılığı 1 (%100), imkânsız olay olasılığı 0 (%0)'dır. Fillerin uçma olasılığı 0, paranın yazı veya tura gelmesi 1! Her olayın olasılığı 0 ile 1 arasında bir değer alır.

💡 Pratik örnek: Bir torbada 3 kırmızı, 2 mavi top varsa, kırmızı çekme olasılığın 3/5 = 0,6 = %60'tır.

Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler

Cebirsel ifadeler matematiğin evrensel dilidir! 4x + 3y - 5 gibi ifadelerde x, y değişkenler, 5 ise sabit terimdir. Benzer terimler toplanıp çıkarılabilir.

Özdeşlikler her zaman doğru olan özel eşitliklerdir. En önemlileri:

• $a + b$² = a² + 2ab + b²
• $a - b$² = a² - 2ab + b²
• a² - b² = $a + b$$a - b$

Ortak çarpan parantezine alma faktoring işleminin temelidir. 6x + 3x² = 3x$2 + x$ gibi. Bu teknik denklem çözmede ve sadeleştirmede çok kullanılır.

💡 Görsel düşün: Özdeşlikleri geometrik kareler olarak hayal edersen daha kolay hatırlarsın!

Doğrusal Denklemler

Doğrusal denklemler en temel denklem türüdür ve grafikleri düz çizgi şeklindedir. 3x + 5 = 8 gibi birinci dereceden denklemlerin çözümü basit cebirsel işlemlerle bulunur.

Eğim doğrunun yatay eksene göre eğimi olup dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranıdır. y = mx + n formunda m eğimi temsil eder. Pozitif eğim sağa yatık, negatif eğim sola yatık doğru verir.

Koordinat sisteminde y = ax + b doğruları eksenleri keser, y = ax doğruları orijinden geçer. y = b yatay çizgi, x = a dikey çizgi oluşturur. Paralel doğruların eğimleri eşittir.

💡 Eğim ipucu: Yokuş yukarı giderken eğim pozitif, yokuş aşağı giderken negatiftir!

Eşitsizlikler

Eşitsizlikler günlük hayattaki sınırları matematikle ifade etmenin yoludur. x > 5 "5'ten büyük sayılar", x ≤ 8 "8 ve daha küçük sayılar" anlamına gelir.

Çözüm kuralları denklemlere benzer ama önemli bir fark var: negatif sayıyla çarpınca veya böldüğünde eşitsizlik yön değiştirir! -3x ≤ -6 → x ≥ 2 (dikkat et!).

Sayı doğrusunda gösterim: > ve < için içi boş nokta (dahil değil), ≥ ve ≤ için içi dolu nokta (dahil) kullan. Bu görsel temsil çözümün doğruluğunu kontrol etmeni sağlar.

💡 Kritik kural: Negatif sayıyla çarpınca eşitsizlik işareti döner! Bu en çok yapılan hata.

Üçgenler

Üçgen geometrinin temel şekli ve mühendislikten sanata kadar her yerde kullanılır! Üç kenar uzunluğu toplamı her zaman üçüncü kenardan büyük olmalı (üçgen eşitsizliği).

Özel doğrular üçgenin özelliklerini belirler. Yükseklik köşeden karşı kenara dik, açıortay açıyı ikiye böler, kenarortay kenar orta noktalarını karşı köşeye bağlar. Bunlar arasında: Yükseklik ≤ Açıortay ≤ Kenarortay bağıntısı vardır.

Üçgen çizimi için üç koşuldan biri yeter: üç kenar uzunluğu, bir kenar ve iki açı, iki kenar ve aralarındaki açı. Açı-kenar ilişkisi: büyük açının karşısındaki kenar daha uzundur.

💡 Eşkenar üçgende yükseklik, açıortay ve kenarortay aynı doğru parçasıdır!

Dik Üçgen ve Pisagor Bağıntısı

Pisagor bağıntısı matematiğin en ünlü formülüdür: a² = b² + c² $hipotenüs² = dik kenar₁² + dik kenar₂²$. Bu bağıntı inşaattan navigasyona kadar her yerde kullanılır.

Özel üçgenler pratik hesaplamalar için çok kullanışlı:

• 3-4-5 üçgeni $ve katları 6-8-10, 9-12-15...$
• 5-12-13 üçgeni
• 45°-45°-90° üçgeni $kenarlar 1-1-√2 oranında$

Açı kontrolü için: eğer a² = b² + c² ise dik açı, a² > b² + c² ise geniş açı, a² < b² + c² ise dar açı vardır. Bu test üçgenin türünü belirlemede çok kullanışlı.

💡 Hatırlatma: Hipotenüs her zaman en uzun kenardır ve dik açının karşısında bulunur!