Tam Sayılarla İşlemler

Rüzgâr enerjisi, havanın hareket enerjisidir ve tarihi çok eskiye dayanır. İnsanlar yaklaşık 5500 yıldır yelkenli gemilerde rüzgârdan yararlanıyor. İlk kez Yunan mühendis Heron, milattan sonra 1. yüzyılda rüzgâr enerjisinin kullanımını tarif etmiştir.

Tam sayıların işlemleri konusunda bilmen gerekenler:

Toplama İşlemi:

• Pozitif + Pozitif = Pozitif (5+3=8)
• Negatif + Negatif = Negatif $(-7)+(-4)=-11$
• İşaretleri farklı sayılarda, mutlak değerlerinin farkı alınır ve büyük sayının işareti yazılır $(-7)+(+4)=-3$

Çıkarma İşlemi:

• Çıkarma, eksilen ile çıkanın zıt işaretlisi toplanarak yapılır $(+4)-(-3)=(+4)+(+3)=+7$

Çarpma İşlemi:

• Pozitif × Pozitif = Pozitif $(+5)×(+3)=+15$
• Negatif × Negatif = Pozitif $(-5)×(-4)=+20$
• Pozitif × Negatif = Negatif $(+7)×(-3)=-21$

Bölme İşlemi:

• Bölme işleminde işaretler çarpma gibidir $(+8)÷(+4)=+2$
• Sıfırın tam sayıya bölümü sıfırdır
• Tam sayının sıfıra bölümü tanımsızdır

Dikkat! Mutlak değerleri eşit olan zıt işaretli sayıların toplamı her zaman sıfırdır. Bu bilgiyi denklemlerde kullanabilirsin.

Rasyonel Sayılar ve İşlemler

Rasyonel sayılar, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır (b≠0). Q harfiyle gösterilirler.

Toplama İşlemi:

• Paydalar eşitse: Paylar toplanır, payda aynen yazılır
• Paydalar eşit değilse: Paydalar ortak katta eşitlenir, sonra toplama yapılır
• Toplama işleminin etkisiz elemanı 0'dır $\frac{3}{10}+0=\frac{3}{10}$

Çıkarma İşlemi:

• Eksilen ile çıkanın toplama işlemine göre tersi toplanır

Çarpma İşlemi:

• Pay ile pay, payda ile payda çarpılır $\frac{3}{5}×\frac{2}{7}=\frac{6}{35}$
• Bir tam sayı ile rasyonel sayı çarpılırken tam sayının paydası 1 kabul edilir
• Çarpma işleminin etkisiz elemanı 1'dir $\frac{3}{4}×1=\frac{3}{4}$
• Çarpma işleminin yutan elemanı 0'dır $\frac{3}{4}×0=0$

Bölme İşlemi:

• Birinci rasyonel sayı ile ikincisinin çarpmaya göre tersinin çarpımıyla yapılır
• 0'ın bir rasyonel sayıya bölümü sıfırdır
• Bir sayının 0'a bölümü tanımsızdır

Rasyonel Sayıları Karşılaştırma:

• Pozitif sayılar negatif sayılardan büyüktür
• Pozitif sayılarda 0'a yakın olan küçüktür
• Negatif sayılarda 0'a yakın olan büyüktür

Unutma! Rasyonel sayının karesini hesaplarken, sayı negatif olsa bile sonuç pozitiftir. Küpünü hesaplarken ise sayının işareti korunur.

Cebirsel İfadeler ve Denklemler

"x" harfi nereden geldi? Matematikte kullanılan bilinmeyen "x", Arapça "şey" kelimesinden gelir. Avrupa dillerine çevrilirken "ş" sesi İspanyolcada olmadığından Yunanca "kai" harfiyle karşılanmış ve zamanla "x" şeklini almıştır.

Cebirsel İfadeler:

• 8x ifadesinde 8 katsayı, x değişken, 8x terimdir
• 3x+5 ifadesinde 3x terim, 5 sabit terimdir

Cebirsel İfadelerde İşlemler:

• Toplama yaparken benzer terimlerin katsayıları toplanır: $(3x+5)+(7x-2)=10x+3$
• Çıkarma yaparken işlem toplamaya çevrilir: $(3x+5)-(2x+3)=(3x+5)+(-2x-3)=x+2$
• Çarpma yaparken katsayılar çarpılır: $5(3x+7)=15x+35$

Denklemler:

• Eşitliğin her iki tarafına aynı sayı eklenirse eşitlik bozulmaz: $x-3=10 → x-3+3=10+3 → x=13$
• Eşitliğin her iki tarafı aynı sayıya bölünürse eşitlik bozulmaz: $2x=4 → \frac{2x}{2}=\frac{4}{2} → x=2$
• Eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılırsa eşitlik bozulmaz: $\frac{x}{3}=5 → \frac{x}{3}×3=5×3 → x=15$

İpucu! Denklemleri teraziye benzetebilirsin. Terazinin dengede kalması için her iki tarafa aynı işlemi yapmalısın.

Doğrular, Açılar ve Çokgenler

Doğrular ve açılarla ilgili temel kavramlar:

• Açıortay: Bir açıyı iki eş parçaya bölen ışındır
• Paralel doğrular: İç ters açılar eşittir $d=f, c=e$, yöndeş açılar eşittir $b=f, a=e$

Çokgenler:

• Düzgün çokgen: Kenar uzunlukları ve iç açıları eşit olan çokgenlerdir
• İç ve dış açılar: n kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamı $n-2$×180°'dir
• Herhangi bir çokgenin dış açılarının toplamı 360°'dir

Dörtgenler:

• Paralelkenar: Karşılıklı kenarları birbirine paralel ve eşit; köşegenler birbirini ortalar
• Dikdörtgen: Karşılıklı kenarları birbirine paralel ve eşit; köşegenler eşittir ve birbirini ortalar
• Eşkenar dörtgen: Tüm kenar uzunlukları eşit olan paralelkenardır; köşegenler dik kesişir
• Kare: Kenar uzunlukları eşit ve açıları dik olan dörtgendir; köşegenleri eşit ve dik kesişir
• Yamuk: İki kenarı birbirine paralel olan dörtgendir

Çember ve Daire:

• Çemberin çevresi: 2πr
• Dairenin alanı: πr²
• Merkez açı (x°) ile gördüğü yay uzunluğu: $\frac{x°}{360°}×2πr$
• Daire diliminin alanı: $\frac{x°}{360°}×πr²$

Bilgi! Düzgün beşgenin bir dış açısı 72°, bir iç açısı ise 108°'dir. Düzgün çokgenlerde bir dış açı $\frac{360°}{n}$ formülüyle hesaplanabilir.

Veri Analizi ve Cisimlerin Görünümleri

Ağustos böceği ile karınca hikâyesinde olduğu gibi, gelecek için hazırlık yapmak önemlidir. Şimdi verileri nasıl analiz edeceğimizi öğrenelim.

Daire Grafiği:

• Verilerin bir dairenin dilimleri şeklinde gösterildiği grafiktir
• Toplam veri 360° olacak şekilde oranlanır

Çizgi Grafiği:

• Verilerin yatay ve dikey eksenlere işaretlenerek noktaların birleştirilmesiyle oluşur
• Yatay eksene genellikle zamanla ilgili ölçüt yazılır

Aritmetik Ortalama:

• Verilerin toplamının veri sayısına bölümüdür
• Örnek: 15, 10, 20 sayılarının ortalaması = $\frac{15+10+20}{3}=\frac{45}{3}=15$

Mod (Tepe Değer):

• Veri grubunda en çok tekrar eden sayıdır
• Örnek: 2, 2, 3, 5, 8, 8, 8, 9, 9 veri grubunun modu 8'dir

Medyan (Ortanca Değer):

• Veri grubu küçükten büyüğe sıralandığında ortadaki sayıdır
• Veri sayısı çift ise ortadaki iki sayının aritmetik ortalaması alınır

Cisimlerin Farklı Yönlerden Görünümleri:

• Bir cisim farklı yönlerden bakıldığında farklı görünebilir
• Önden, sağdan, soldan, arkadan ve üstten görünümleri olabilir

Önemli! Bir problemde verilerin nasıl dağıldığını anlamak için tepe değeri (mod), ortanca değeri (medyan) ve aritmetik ortalamayı birlikte değerlendirmek gerekir.