Önermeler ve Doruluk Değerleri

Hayatımızda kullandığımız her ifade bir önerme değildir. Önerme, kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm içeren ifadelerdir. Önermeler genellikle p, q, r, s gibi harflerle gösterilir.

Bir önerme sadece iki durumda olabilir: ya doğru ya da yanlış. Bir önermenin doğru ya da yanlış olması durumuna o önermenin doğruluk değeri denir. Doğru yerine 1, yanlış yerine 0 simgesi kullanılır. Bu sayılar matematiksel değil, sadece sembolik değerlerdir.

Mantıkta kullanılan bazı terimler vardır. Terim, bir bilim dalı içerisinde günlük dilden farklı anlama sahip sözcüklerdir. Örneğin "açı" geometrinin, "toplama" matematiğin terimidir. Bazı terimler (nokta, doğru, küme gibi) tanımsızdır ve sezgisel olarak anlaşılır.

Not: Mantık aslında akıl yürütme yöntemlerini inceleyen bir bilim dalıdır. George Boole, 1848 yılında "Mantığın Matematik Analizi" adlı çalışmasıyla mantığa matematiksel bir yapı kazandırmıştır.

Bileşik Önermeler ve Olumsuzlama

Her gün kullandığımız cümlelerin çoğu basit değil, bileşiktir. Bileşik önerme, iki ya da daha fazla önermenin "ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak" gibi bağlaçlarla birleştirilmesiyle oluşturulur.

Bir önermeyi tersine çevirmek istediğimizde olumsuzunu alırız. Bir p önermesinin olumsuzu p' (veya ~p) ile gösterilir. Olumsuz almak için önermenin sonuna "değil" sözcüğünü ekleriz. Örneğin "Ali siyah saçlıdır" önermesinin olumsuzu "Ali siyah saçlı değildir" olur.

Denk önermeler, doğruluk değeri aynı olan önermelerdir. İki önerme birbirine denk ise bunu p = q biçiminde gösteririz. Mantıkta kullanılan temel bağlaçlar şunlardır:

• "veya" sembolü: V
• "ve" sembolü: ∧
• "ise" sembolü: →
• "ancak ve ancak" sembolü: ↔

İpucu: Bağlaçları anlamak için günlük hayattan örnekler düşünebilirsin. Örneğin, "Bugün hem yağmur yağıyor hem de soğuk" cümlesi "ve" bağlacına, "Sinemaya ya da tiyatroya gideceğim" cümlesi "veya" bağlacına örnek olabilir.

"Veya" ve "Ve" Bağlaçları

"Veya" bağlacı (V) ile birleştirilen iki önermeden en az biri doğru olduğunda, oluşan bileşik önerme doğrudur. Her ikisi de yanlış olduğunda ise oluşan bileşik önerme yanlıştır. Örneğin "3<7 veya 10 asal bir sayıdır" bileşik önermesinde, ilk önerme doğru, ikincisi yanlıştır, ama bileşik önerme doğrudur.

"Ve" bağlacı (∧) ile birleştirilen iki önermenin her ikisi de doğruysa, oluşan bileşik önerme doğrudur. En az biri yanlışsa, oluşan bileşik önerme yanlıştır. Örneğin "3<7 ve 10 asal bir sayıdır" bileşik önermesinde, ilk önerme doğru, ikincisi yanlış olduğundan bileşik önerme yanlıştır.

Mantık işlemleriyle ilgili bazı özellikler vardır:

• Teklik özelliği: p V p = p ve p ∧ p = p
• Değişme özelliği: p V q = q V p ve p ∧ q = q ∧ p
• Birleşme özelliği: p V (q V r) = (p V q) V r
• Dağılma özelliği: p ∧ (q V r) = (p ∧ q) V (p ∧ r)

Hatırlatma: De Morgan kuralları çok önemlidir: (p ∧ q)' = p' V q' ve (p V q)' = p' ∧ q'. Bu kurallar, bir bileşik önermenin olumsuzunu almada kullanılır ve kümelerdeki işlemlerle benzerlik gösterir.

Önermeler Cebiri

Önermeler cebri, tıpkı sayılarla yaptığımız işlemler gibi, önermelerle de belirli kurallara göre işlem yapmamızı sağlar. Bağlaçların özelliklerini kullanarak karmaşık önermeleri daha basit hale getirebiliriz.

Bir bileşik önermenin en sade halini bulmak için önermeler cebirini kullanırız. Örneğin $(p V q) ∧ (p' V q)$ = q önermesinin sadeliği, bağlaç özelliklerini kullanarak gösterilebilir.

Doğruluk tabloları, bir önermenin doğruluğunu incelemenin sistematik bir yoludur. Tabloların her satırı, bileşik önermeyi oluşturan basit önermelerin olası doğruluk değeri kombinasyonlarını gösterir.

Mantıktaki işlemlerle kümelerle yapılan işlemler arasında sıkı bir bağlantı vardır:

• Önermeler cebri = Kümeler
• "ve" bağlacı (∧) = Kesişim (∩)
• "veya" bağlacı (V) = Birleşim (∪)
• Olumsuzlama (') = Tümleme (')

Dikkat: Önermelerin sadeliğini bulmaya çalışırken sayısal değerleri biliyorsak $p=0, q=1 gibi$, doğrudan bu değerleri yerine koyarak işlem yapabiliriz. Bu, uzun doğruluk tabloları oluşturmaktan bizi kurtarabilir.

"Ya da" Bağlacı ve Özel Durumlar

Mantıkta kullanılan bir diğer önemli bağlaç "ya da" bağlacıdır (⊕). Bu bağlaç, mantıktaki "exclusive or" (dışlayıcı veya) anlamına gelir. p ile q önermeleri denk önermelerken "ya da" bağlacı ile kurulan "p ya da q" bileşik önermesi yanlıştır. Eğer denk değillerse, "p ya da q" bileşik önermesi doğrudur.

Doğruluk tablosunda "ya da" bağlacı şöyle gösterilir:

• p=1, q=1 iken p⊕q=0
• p=1, q=0 iken p⊕q=1
• p=0, q=1 iken p⊕q=1
• p=0, q=0 iken p⊕q=0

Mantıkta sayısal değerleri bildiğimiz önermelerin doğruluk değerlerini, doğruluk tablosu yapmadan da bulabiliriz. Örneğin p=1, q=0 ve r=1 olduğunu biliyorsak, $(p∧q) V r$ önermesinin doğruluk değerini doğrudan hesaplayabiliriz: $(1∧0) V 1$ = $0 V 1$ = 1.

Pratik Bilgi: "Ya da" bağlacını anlamak için günlük hayattan örnek verebiliriz: "Ya sinemaya gideceğim ya da tiyatroya" dediğimizde, ikisine birden gidemeyeceğimizi, sadece birini seçebileceğimizi anlatırız. Bu tam olarak mantıktaki "ya da" (⊕) bağlacının anlamıdır.

"İse" Bağlacı ve Koşullu Önermeler

"İse" bağlacı (→), önermeleri neden-sonuç ilişkisi içinde birleştirir. p ve q iki önerme olsun. "p ise q" (p→q) bileşik önermesi, sadece p doğru ve q yanlış olduğunda yanlıştır, diğer tüm durumlarda doğrudur.

Doğruluk tablosu şöyledir:

• p=1, q=1 iken p→q=1
• p=1, q=0 iken p→q=0
• p=0, q=1 iken p→q=1
• p=0, q=0 iken p→q=1

Koşullu önerme diye adlandırılan p→q önermesinde, p'ye hipotez (varsayım), q'ya ise hüküm (yargı) denir. Eğer p→q önermesi doğruysa, buna "p gerektirir q" da denir. Bu durumda p, q için yeter koşul, q ise p için gerek koşul olur.

Her koşullu önermenin bir karşıtı, bir tersi ve bir karşıt tersi vardır:

• p→q önermesinin karşıtı: q→p
• p→q önermesinin tersi: p'→q'
• p→q önermesinin karşıt tersi: q'→p'

Örnek: "Hava sıcaksa, pikniğe gideriz" önermesinin karşıtı "Pikniğe gidiyorsak, hava sıcaktır" olur. Tersi ise "Hava sıcak değilse, pikniğe gitmeyiz" şeklindedir. Koşullu önermeleri günlük hayatta sıkça kullanırsın, bu sebeple mantıktaki karşılıklarını anlamak önemlidir.

"Ancak ve ancak" Bağlacı ve Çift Yönlü Koşullu Önermeler

"Ancak ve ancak" bağlacı (↔) ile kurulan bir önerme, iki önermenin doğruluk değerleri aynı olduğunda doğru, farklı olduğunda yanlıştır. Bu bağlaç "p ancak ve ancak q" şeklinde okunur ve p↔q ile gösterilir.

p↔q önermesine çift yönlü koşullu önerme veya çift gerektirme de denir. Bu tür bir önerme, p→q ve q→p önermelerinin "ve" bağlacıyla birleştirilmiş halidir: p↔q = (p→q) ∧ (q→p).

Doğruluk tablosu incelendiğinde:

• p=1, q=1 iken p↔q=1
• p=1, q=0 iken p↔q=0
• p=0, q=1 iken p↔q=0
• p=0, q=0 iken p↔q=1

Mantıkta çeşitli önerme dönüşümleri vardır. Örneğin:

• (p→q) = p' V q
• (p→q) ∧ (q→p) = p↔q

Bu dönüşümler, karmaşık önermeleri daha basit hale getirmekte kullanılır.

Pratik Uygulama: "İki üçgen birbirine benzerdir, ancak ve ancak açıları eşittir" önermesi, çift yönlü koşullu bir önermedir. Bu, "İki üçgen birbirine benzerse, açıları eşittir VE açıları eşitse, iki üçgen birbirine benzerdir" şeklinde de ifade edilebilir. Bu tür önermelerde koşul hem gerekli hem de yeterlidir.

Totoloji, Çelişki ve Değerlendirme

Mantıkta bazı özel bileşik önermeler vardır. Bir bileşik önerme, kendisini oluşturan önermelerin her biri için daima doğru oluyorsa, bu önermeye totoloji denir. Örneğin p V p' her zaman doğrudur.

Eğer bir bileşik önerme daima yanlış oluyorsa, buna çelişki denir. Örneğin p ∧ p' her zaman yanlıştır.

Mantık problemlerini çözerken kullanabileceğin birkaç ipucu:

1. n farklı önerme için, doğruluk tablosunda 2^n satır olur.
2. Karmaşık önermelerin değerlerini bulurken, işlem önceliği kurallarına dikkat et.
3. Bir önermenin değilini alırken, doğruluk değerinin tersini al.
4. Bağlaç özelliklerini kullanarak karmaşık önermeleri sadeleştirebilirsin.

Mantık, matematiğin birçok alanında ve günlük hayatta kullandığımız akıl yürütme becerilerimizin temelini oluşturur. George Boole'un çalışmaları, modern bilgisayar biliminin de temellerini atmıştır.

Önemli Hatırlatma: Mantık sınavlarında genellikle doğruluk tabloları ve önerme sadeleştirmeleri sorulur. Bu konuda pratik yapmak, problem çözme becerilerini geliştirir ve matematik başarını artırır. İyi bir başlangıç için basit önermelerle doğruluk tabloları oluşturmayı dene!