Çarpanlar ve Bölenleri Anlamak

Matematikte bir sayıyı kalansız bölen sayılara o sayının çarpanları veya bölenleri denir. Örneğin 12 sayısı için çarpanlar 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Bunları bulmak için 12'nin çarpım şekillerine bakarız: 1×12, 2×6, 3×4.

Eğer bir sayının çarpanları arasında sadece asal sayılar varsa, bunlara asal çarpanlar denir. 12 için asal çarpanlar 2 ve 3'tür. Hatırlayalım ki asal sayı, 1 ve kendisinden başka böleni olmayan 1'den büyük doğal sayılardır (2, 3, 5, 7, 11...). 2 en küçük asal sayıdır ve tek çift asal sayıdır.

Herhangi bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için asal çarpan algoritması kullanılır. Örneğin 36 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: 36 ÷ 2 = 18 18 ÷ 2 = 9 9 ÷ 3 = 3 3 ÷ 3 = 1 Sonuç: 36 = 2² × 3²

İpucu: Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, o sayının temel yapısını anlamanın en iyi yoludur. Bu, EBOB ve EKOK hesaplarken çok işimize yarayacak!

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

EBOB, iki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. Yani bu sayıların hepsini tam bölen en büyük sayıdır. EBOB'u bulmanın birkaç yöntemi vardır:

1. Ortak bölenleri listeleme yöntemi: Önce her sayının bölenlerini yazar, sonra ortak olanlar arasında en büyüğünü seçeriz. Örnek: 12 ve 18 için

   • 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
   • 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
   • Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6
   • EBOB(12,18) = 6

2. Asal çarpanlar yöntemi: Sayıları asal çarpanlarına ayırıp, ortak asal çarpanların kuvveti küçük olanlarını alırız.

3. Bölme algoritması: Büyük sayıyı küçük sayıya böleriz, kalanı tekrar bölen olarak kullanarak süreci 0 kalana kadar devam ettiririz.

İpucu: Biri diğerinin katı olan sayıların EBOB'u küçük sayıya eşittir.

EBOB problemleri genellikle "bütünü eşit parçalara bölmek" ile ilgilidir. Örneğin, 24 ve 36 metre uzunluğundaki kumaşları eşit uzunlukta ve mümkün olan en büyük parçalara bölmek için EBOB(24,36) = 12 metre uzunluk kullanırız.

Önemli Not: EBOB problemlerinde "eşit ve en büyük parçalara ayırma" ifadesi anahtar sözcüktür. Böyle durumlarda problemin çözümü için EBOB kullanılır.

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

EKOK, iki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Bu sayıların tümüne tam bölünen en küçük sayı olarak da düşünebilirsin. EKOK'u bulmanın yöntemleri:

1. Ortak katları listeleme yöntemi: Sayıların katlarını yazıp ortak olan en küçüğünü buluruz. Örnek: 10 ve 15 için

   • 10'un katları: 10, 20, 30, 40, 50, 60...
   • 15'in katları: 15, 30, 45, 60...
   • Ortak katların en küçüğü: 30
   • EKOK(10,15) = 30

2. Asal çarpanlar yöntemi: Sayıları asal çarpanlarına ayırıp, ortak asal çarpanların kuvveti büyük olanları alırız.

İpucu: İki sayının EKOK'u ile EBOB'unun çarpımı, sayıların çarpımına eşittir: EKOK × EBOB = a × b

EKOK problemleri genellikle "nesnelerin belirli bir düzende tekrarlanması" ile ilgilidir. Örneğin, biri 30 dakikada, diğeri 45 dakikada çalan iki saatin kaç dakika sonra birlikte çalacağını bulmak için EKOK(30,45) = 90 dakika hesaplanır.

Örnek: 8-C sınıfındaki öğrenciler 4'er ve 5'er gruplandırıldığında her seferinde 1 öğrenci artıyorsa, sınıfta en az kaç öğrenci vardır? Çözüm: EKOK(4,5) = 20, artı 1 öğrenci = 21 öğrenci

Püf Nokta: EKOK problemlerinde "tekrar bir araya gelme" veya "aynı anda olma" gibi ifadeler olduğunda EKOK kullanıyoruz. Problemde "artma" durumu varsa, bulunan EKOK'a artık sayısı eklenir.

Aralarında Asal Sayılar

İki sayı, ortak bölenleri sadece 1 ise aralarında asal olarak adlandırılır. Bu sayıların asal sayı olması gerekmez; önemli olan aralarında 1'den başka ortak bölenlerinin olmamasıdır.

Aralarında asal sayıların özellikleri:

• EBOB'ları 1'dir.
• EKOK'ları sayıların çarpımına eşittir.
• Ardışık sayılar kesinlikle aralarında asaldır (örneğin 6 ve 7).
• 1 ile tüm sayılar aralarında asaldır.
• İki farklı asal sayı her zaman aralarında asaldır.

Örnek: 9 ile 16 aralarında asaldır çünkü ortak bölenleri sadece 1'dir.

Aralarında asal olan sayılarda sadeleştirme yaparken çok dikkatli olmamız gerekir. Örneğin $\frac{x}{y} = \frac{4}{6}$ ifadesinde x ve y aralarında asal ise, $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ olur ve x=2, y=3 bulunur.

Aralarında asal sayıları bulmak için asal çarpanlarına ayırıp ortak asal çarpanlarının olup olmadığına bakabiliriz. Eğer ortak asal çarpanları yoksa, o sayılar aralarında asaldır.

Hızlı İpucu: İki sayının aralarında asal olup olmadığını anlamanın en kolay yolu, EBOB'larını hesaplamaktır. EBOB=1 ise sayılar aralarında asaldır.

EBOB ve EKOK Problemleri

Günlük hayatta karşılaştığımız birçok problem, EBOB ve EKOK kavramlarıyla çözülebilir. İşte bazı temel problem tipleri:

EBOB Problemleri:

• Farklı uzunluktaki kumaş/tahta parçalarını eşit uzunlukta, israf etmeden bölmek
• Dikdörtgen bir alanı eşit kare fayanslarla döşemek
• Farklı hacimli sıvıları eşit hacimli kaplara israf etmeden doldurmak

Örnek: Atatürk Ortaokulu 18 erkek, 12 kız öğrenciyi spor müsabakalarına göndermiştir. Kızlar ve erkekler farklı odalarda kalacaksa, en az kaç odaya ihtiyaç vardır? Çözüm: EBOB(18,12) = 6, erkekler için 18÷6=3 oda, kızlar için 12÷6=2 oda. Toplam 5 oda gerekir.

EKOK Problemleri:

• Periyodik olarak tekrarlanan olayların ne zaman çakışacağını bulmak
• Farklı hızlarda ilerleyen nesnelerin ne zaman buluşacağını hesaplamak
• Belirli aralıklarla tekrarlanan işlemlerin ilk ortak zamanını bulmak

Örnek: Bir marangoz 18m ve 21m uzunluğundaki tahtaları eşit parçalara bölecektir. Her kesim için 4 TL alıyor. En az kaç lira kazanır? Çözüm: EBOB(18,21) = 3m uzunluğunda parçalar olacak. 18m için (18÷3)-1=5 kesim, 21m için (21÷3)-1=6 kesim yapar. Toplam 11 kesim × 4 TL = 44 TL kazanır.

Problem Çözme Stratejisi: "Bütünü eşit parçalara ayırma" → EBOB kullan. "Tekrar eden olayların buluşması" → EKOK kullan.