Pozitif Tam Sayıların Çarpanları

Bir sayının çarpanı, o sayıyı kalansız bölen sayılardır. Örneğin 24 sayısını düşünelim:

Çarpan ağacı yöntemiyle 24'ün çarpanlarını bulalım:

• 24 = 1 × 24
• 24 = 2 × 12
• 24 = 3 × 8
• 24 = 4 × 6

Bu durumda 24'ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür.

Asal çarpanlar ise sayılarımızı asal sayılarla ifade etme yöntemidir. Asal sayılar sadece 1 ve kendisine bölünebilen sayılardır (2, 3, 5, 7, 11...).

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için, o sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak böleriz:

72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

72 ÷ 2 = 36
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1

💡 Sayıları asal çarpanlarına ayırmak, EBOB ve EKOK hesaplamalarında çok işimize yarayacak!

Sonuç olarak 72 = 2³ × 3² şeklinde yazılır.

En Büyük Ortak Bölen (EBOB)

EBOB, iki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. EBOB bulmak için iki yöntem kullanabiliriz:

1. Yöntem: Bölenleri Yazarak 18 ve 24'ün EBOB'unu bulalım:

• 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• 24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6
• En büyük ortak bölen: 6

2. Yöntem: Asal Çarpanlar Algoritması Bu yöntemde sayıları aynı anda asal sayılara böleriz:

18  24  |  2
9   12  |  2
9   6   |  2
3   3   |  3
1   1   |

Her iki sayıyı da bölen asal sayıları aldığımızda EBOB(18,24) = 2 × 3 = 6 olur.

EBOB'un kullanıldığı durumlar:

• Eşit hacimli kaplara sıvı doldurma
• Eşit boyutlu karelerle kaplama
• Eşit aralıklarla ağaç dikme

💡 EBOB, büyük bir nesneyi eşit parçalara bölmek istediğimizde kullanılır!

Örneğin, 20 ve 28 litrelik yağları eşit hacimli kaplara koymak istiyorsak, kapların hacmi EBOB(20,28) = 4 litre olmalıdır.

En Küçük Ortak Kat (EKOK)

EKOK, iki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür. EKOK bulmak için iki yöntem kullanabiliriz:

1. Yöntem: Katları Yazarak 12 ve 18'in EKOK'unu bulalım:

• 12'nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72...
• 18'in katları: 18, 36, 54, 72, 90...
• Ortak katlar: 36, 72, 108...
• En küçük ortak kat: 36

2. Yöntem: Asal Çarpanlar Algoritması

12  18  |  2
6   9   |  2
3   9   |  3
1   3   |  3
    1   |

Tüm asal çarpanları aldığımızda EKOK(12,18) = 2² × 3² = 36 olur.

EKOK'un kullanıldığı durumlar:

• Belirli periyotlarla tekrarlanan olayların birlikte tekrar etme zamanı
• Nöbet, ilaç alma gibi belirli aralıklarla yapılan işlerin tekrar çakışma zamanı

💡 EKOK ve EBOB arasında şu ilişki vardır: A × B = EBOB(A,B) × EKOK(A,B)

Aralarında Asal Sayılar: İki sayının EBOB'u 1 ise, bu sayılar "aralarında asal" sayılardır. Örneğin 10 ve 21 aralarında asaldır ve EBOB(10,21) = 1, EKOK(10,21) = 10 × 21 = 210'dur.

Asal Çarpanlar Alıştırmaları

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırırken şu adımları izleriz:

1. En küçük asal sayı olan 2'den başlarız
2. Sayımız bu asal sayıya bölünebiliyorsa böleriz
3. Bölünmüyorsa bir sonraki asal sayıya geçeriz
4. Bölüm 1 olana kadar devam ederiz

Örneğin 108 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

108 ÷ 2 = 54
54 ÷ 2 = 27
27 ÷ 3 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1

Bu durumda 108 = 2² × 3³ şeklinde yazılır.

Çarpan ağacı ise sayıyı çarpanlarına ayırarak ağaç şeklinde gösterdiğimiz bir yöntemdir:

      108
     /   \
    2    54
        /  \
       2    27
           /  \
          3     9
               / \
              3   3

Bu tür alıştırmalar, sayıların iç yapısını anlamamıza yardımcı olur ve EBOB-EKOK hesaplamalarında işimize yarar.

EBOB ve EKOK Alıştırmaları

EBOB ve EKOK bulurken asal çarpanlar yöntemini kullanmak çok pratiktir:

12 ve 18 için hesaplayalım:

12  18  |  2
6   9   |  2
3   9   |  3
1   3   |  3
    1   |

EBOB(12,18) = 6 (ortak asal çarpanlar: 2 × 3) EKOK(12,18) = 36 (tüm asal çarpanlar: 2² × 3²)

EBOB bulurken: Sayıları birlikte bölen asal sayıları alırız. EKOK bulurken: Tüm bölme işleminde kullanılan asal sayıları, tekrarsız olarak alırız.

Birden fazla sayının EBOB ve EKOK'unu hesaplamak için de aynı yöntemi kullanırız. Örneğin 12, 18 ve 36 için:

12  18  36  |  2
6   9   18  |  2
3   9   9   |  3
1   3   3   |  3
    1   1   |

EBOB(12,18,36) = 6 EKOK(12,18,36) = 36

💡 EBOB her zaman en küçük sayıdan küçük veya ona eşit, EKOK ise en büyük sayıdan büyük veya ona eşittir.

Üç veya daha fazla sayının EBOB ve EKOK'unu hesaplamak, matematik problemlerini çözerken özellikle yararlıdır.

EBOB ve EKOK Problem Çözümleri

Örnek Problem 1: Boyutları 18 cm, 24 cm ve 42 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutu içine eşit büyüklükte en az kaç küp yerleştirilir?

Çözüm: Bu tip problemlerde büyük bir bütünü eşit parçalara ayırdığımız için EBOB kullanırız.

EBOB(18, 24, 42) = 6

Küplerin ayrıt uzunluğu 6 cm olacaktır. Kutu hacmini küp hacmine böldüğümüzde: 18 × 24 × 42 ÷ (6³) = 18 × 24 × 42 ÷ 216 = 84 küp

Örnek Problem 2: Burcu hasta olduğu için kullandığı üç hapı 6, 8 ve 10 saat arayla almaktadır. Hapları birlikte aldıktan kaç saat sonra üç hapı da üçüncü kez birlikte alır?

Çözüm: Periyodik olarak tekrarlanan olayların tekrar birlikte gerçekleşme zamanını bulmak için EKOK kullanırız.

EKOK(6, 8, 10) = 120 saat

Bu, üç hapın birlikte alınma süresidir. Üçüncü kez birlikte almak için: 120 × 3 = 360 saat sonra

💡 EBOB problemleri genellikle bölme veya parçalama, EKOK problemleri ise tekrar eden olayların çakışmasıyla ilgilidir.

EBOB ve EKOK Problem Alıştırmaları

Örnek Problem: Kenarları 45 m, 60 m ve 90 m uzunluğunda olan üçgen şeklindeki bir arsanın etrafına köşelere de dikmek koşuluyla eşit aralıklarla en az kaç ağaç dikilir?

Çözüm: Bu tür problemlerde eşit aralıklar için EBOB kullanırız:

EBOB(45, 60, 90) = 15

İki ağaç arasındaki mesafe 15 m olacaktır. Çevreye dikilecek ağaç sayısı:

• 45 m kenarına: 45 ÷ 15 = 3 ağaç
• 60 m kenarına: 60 ÷ 15 = 4 ağaç
• 90 m kenarına: 90 ÷ 15 = 6 ağaç

Toplam: 3 + 4 + 6 = 13 ağaç

EKOK Problemleri:

• İki olayın birlikte gerçekleşme süresini bulma
• Farklı periyotlarla çalışan makinelerin aynı anda çalışma zamanını hesaplama

EBOB Problemleri:

• Eşit büyüklükte parçalara ayırma
• Kare veya küpler yerleştirme
• Eşit aralıklarla nesneleri yerleştirme

💡 Bir problem "en az" ile ilgiliyse, genellikle EBOB kullanmanız gerekir; "tekrar birlikte" ifadesi geçiyorsa, genellikle EKOK kullanmanız gerekir.

EBOB ve EKOK Problem Uygulamaları

Şimdi daha karmaşık problemleri çözmeyi deneyelim:

Problem Tipi 1: Dikdörtgensel bir alanı kare parçalara bölme

• Kenar uzunlukları 24 cm ve 36 cm olan dikdörtgen içine hiç boşluk kalmayacak şekilde en az kaç eşit kare çizilebilir?
• Çözüm: EBOB(24, 36) = 12 cm (karenin kenar uzunluğu)
• Dikdörtgenin alanı: 24 × 36 = 864 cm²
• Karenin alanı: 12 × 12 = 144 cm²
• Kare sayısı: 864 ÷ 144 = 6 kare

Problem Tipi 2: Farklı boyutlardaki nesneleri bir araya getirerek kare oluşturma

• Kısa kenarı 60 cm, uzun kenarı 72 cm olan dikdörtgen şeklindeki fayanslardan en az kaç tanesi bir araya getirilerek bir kare oluşturulur?
• Çözüm: EKOK(60, 72) = 360 cm (oluşacak karenin kenar uzunluğu)
• Her fayans alanı: 60 × 72 = 4320 cm²
• Kare alanı: 360 × 360 = 129600 cm²
• Fayans sayısı: 129600 ÷ 4320 = 30 fayans

Problem Tipi 3: Eşit aralıklarla yerleştirme

• Kenar uzunlukları 36 m ve 60 m olan dikdörtgen biçimindeki tarlanın kenarlarına köşelere de gelecek şekilde eşit aralıklarla en az kaç ağaç dikilir?
• Çözüm: EBOB(36, 60) = 12 m
• Çevre: 2 × (36 + 60) = 192 m
• Ağaç sayısı: 192 ÷ 12 = 16 ağaç

Çarpanlar ve Katlar - Çözümlü Örnekler

Bu sayfada asal çarpanlar bulma alıştırmalarının çözümleri verilmiştir. Sayıları asal çarpanlarına ayırırken uyguladığımız yöntemleri gözden geçirelim:

Çarpan Ağacı Yöntemi:

       50
     /   \
    2     25
         /  \
        5    5

50 = 2 × 5²

Asal Çarpanlarına Ayırma: 144 sayısı için:

144 ÷ 2 = 72
72 ÷ 2 = 36
36 ÷ 2 = 18
18 ÷ 2 = 9
9 ÷ 3 = 3
3 ÷ 3 = 1

144 = 2⁴ × 3²

Diğer Örnekler:

• 500 = 2² × 5³
• 81 = 3⁴
• 36 = 2² × 3²
• 64 = 2⁶
• 180 = 2² × 3² × 5

💡 Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, o sayının matematiksel DNA'sını bulmaya benzer! Bu yöntem matematik problemlerinde çok işe yarar.

Bu alıştırmalar, sayıların yapısal özelliklerini anlamamıza yardımcı olur ve EBOB-EKOK hesaplamalarında temel oluşturur.

Çarpanlar ve Katlar - EBOB EKOK Çözümleri

Bu sayfada EBOB ve EKOK hesaplamaları için çözümlü örnekler bulunmaktadır. Asal çarpanlar yöntemiyle EBOB ve EKOK bulma adımlarını gözden geçirelim:

EBOB ve EKOK Hesaplama: 15 ve 20 için:

15  20  |  2
15  10  |  2
15   5  |  3
 5   5  |  5
 1   1  |

EBOB(15, 20) = 5 EKOK(15, 20) = 2² × 3 × 5 = 60

Üç Sayı İçin EBOB ve EKOK: 12, 18 ve 36 için:

12  18  36  |  2
 6   9  18  |  2
 3   9   9  |  3
 1   3   3  |  3
     1   1  |

EBOB(12, 18, 36) = 6 EKOK(12, 18, 36) = 36

Problem Çözümü Örneği: 20 ve 28 litrelik yağları eşit hacimli kaplara koymak için: EBOB(20, 28) = 4 litre (her bir kabın hacmi) Kap sayısı = (20 ÷ 4) + (28 ÷ 4) = 5 + 7 = 12 kap

💡 Günlük hayatta EBOB ve EKOK kullanabileceğiniz pek çok durum vardır: Eşit parçalara bölmek, periyodik olayların kesişme noktalarını bulmak gibi!

Bu alıştırmaları çözerek EBOB ve EKOK kavramlarını daha iyi anlayabilir ve matematiksel problem çözme becerinizi geliştirebilirsiniz.