Çarpanlar ve Bölenler

Sayılar dünyasının en temel kavramlarından biri olan çarpanlar (bölenler), bir sayının hangi sayılarla tam bölünebildiğini gösterir.

Bir pozitif tam sayı, en az iki pozitif tam sayının çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu sayılara o sayının çarpanları (bölenleri) denir. Örneğin, 12'nin çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir.

Bir sayının çarpanlarını bulmak için o sayıyı tam bölen sayıları listelememiz yeterlidir. Örneğin, 24 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür. Burada 1 ve sayının kendisi her zaman o sayının çarpanıdır.

Asal sayılar ise yalnızca 1 ve kendisinden başka böleni olmayan sayılardır. 2, 3, 5, 7, 11 gibi. Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için 2, 3, 5 ve 7 ile bölünüp bölünmediğine bakmak genellikle yeterlidir.

💡 Unutma! 1 asal sayı değildir ve 2, tek çift asal sayıdır.

Asal çarpanlara ayırma işlemi, herhangi bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmamızı sağlar. Bu, matematiksel işlemlerde çok işimize yarayacak bir beceridir. Sayıyı asal sayılara bölmeye devam ederek bu işlemi yapabilirsiniz.

Asal Çarpanlar ve Üslü İfadeler

Sayıları daha detaylı inceleyip asal çarpanlarına ayırmak, pek çok matematiksel işlemde bize kolaylık sağlar.

Bir sayının asal çarpanları, o sayıyı bölen asal sayılardır. Örneğin, 20 sayısının asal çarpanları 2 ve 5'tir. 38 sayısının asal çarpanları ise 2 ve 19'dur.

Herhangi bir tam sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için iki pratik yöntem kullanabiliriz:

1. Çarpan Ağacı: Sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde dallara ayırıp, asal olanları işaretleriz. Örneğin:

   20
   / \
   

2 10 /
2 5

Burada 20 = 2 × 2 × 5 = 2² × 5

2. **Asal Çarpan Algoritması:** Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak böleriz. Örneğin:

40 | 2 20 | 2 10 | 2 5 | 5 1

Burada 40 = 2³ × 5

Asal çarpanlarına ayrılmış sayıları üslü ifade olarak yazmak, işlemleri daha pratik hale getirir. 

> 💡 Bir sayının pozitif çarpanlarının sayısını bulmak için, asal çarpanlarını üslü şekilde yazdıktan sonra, her bir üssü 1 arttırıp çarparız.

Örneğin 36 = 2² × 3² için (2+1) × (2+1) = 3 × 3 = 9 tane çarpanı vardır. Bu çarpanlar: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

EBOB - En Büyük Ortak Bölen

İki veya daha fazla sayının paylaştığı en büyük bölene EBOB (En Büyük Ortak Bölen) denir. EBOB bulmak, günlük hayatta karşılaşacağınız birçok problemi çözmenize yardımcı olacak.

EBOB'u bulmanın birkaç yolu vardır:

1. Çarpanları Listeleyerek: Her sayının tüm çarpanlarını bulup, ortak olanların en büyüğünü seçeriz. Örneğin, 16'nın çarpanları: 1, 2, 4, 8, 16 24'ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 Ortak çarpanlar: 1, 2, 4, 8 → EBOB(16, 24) = 8

2. Asal Çarpanlar Algoritması ile: İki sayıyı aynı anda asal çarpanlarına ayırır ve ortak asal çarpanları işaretleriz.

   16  24 | 2
   8   12 | 2
   4    6 | 2
   2    3 | 2
   1    3 | 3
       1
   

   Ortak asal çarpanlar: 2 × 2 × 2 = 8 → EBOB(16, 24) = 8

💡 Birbirinin katı olan sayılarda, EBOB her zaman küçük olan sayıya eşittir.

EBOB problemlerinde genellikle bir bütünü eşit parçalara bölme işlemi vardır. "Eşit uzunlukta", "eşit büyüklükte" gibi ifadeler EBOB kullanmanız gerektiğini gösterir.

Eğer iki sayının asal çarpanları üslü ifadelerle gösterilmişse, ortak tabanlardan üssü küçük olanları seçerek EBOB'u hesaplarsınız.

EKOK - En Küçük Ortak Kat

İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne EKOK (En Küçük Ortak Kat) denir. EKOK, özellikle periyodik olaylarla ilgili problemlerde karşımıza çıkar.

EKOK'u bulmanın birkaç yolu vardır:

1. Katları Listeleyerek: Her sayının katlarını yazdıktan sonra ortak katların en küçüğünü buluruz. Örneğin, 4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28... 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30... Ortak katlar: 12, 24... → EKOK(4, 6) = 12

2. Asal Çarpanlar Algoritması ile: İki sayıyı birlikte asal çarpanlarına ayırırız ve tüm asal çarpanların çarpımını alırız.

   15  50 | 2
   15  25 | 3
   5   25 | 5
   1    5 | 5
       1
   

   Tüm asal çarpanlar: 2 × 3 × 5 × 5 = 150 → EKOK(15, 50) = 150

💡 Birbirinin katı olan sayılarda, EKOK her zaman büyük olan sayıya eşittir.

EKOK problemlerinde genellikle parçaları birleştirip bütün oluşturma durumu vardır. "Belirli sayıda gruplama", "zaman içeren" veya "belirli sayıda sıralama" gibi ifadeler EKOK kullanmanız gerektiğini gösterir.

İki sayının çarpımı, bu iki sayının EBOB ve EKOK'unun çarpımına eşittir: A × B = EBOB(A, B) × EKOK(A, B)

Asal çarpanlara ayrılmış ifadelerde EKOK'u bulmak için, ortak tabanlardan üssü büyük olanları ve ortak olmayanların tümünü çarparsınız.

Aralarında Asal Sayılar

Matematiksel işlemlerde çok sık karşımıza çıkan özel bir durum, iki sayının aralarında asal olmasıdır. Bu kavram, asal sayılar ve çarpanlar konusunun önemli bir parçasıdır.

İki doğal sayının 1'den başka ortak böleni yoksa, bu sayılar aralarında asaldır. Yani EBOB'ları 1'dir. Örneğin, 8 ve 15 aralarında asaldır çünkü:

• 8'in çarpanları = {1, 2, 4, 8}
• 15'in çarpanları = {1, 3, 5, 15}
• Ortak çarpanları sadece 1'dir.

Aralarında asal olan sayılar hakkında bilmeniz gereken önemli noktalar:

• Aralarında asal olan sayıların kendilerinin asal olması gerekmez. Örneğin, 8 ve 15 aralarında asal olmasına rağmen, ikisi de asal sayı değildir.
• Tüm asal sayılar birbirleriyle aralarında asaldır.
• 1 sayısı, bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.
• Ardışık iki sayı her zaman aralarında asaldır.

💡 Eğer iki sayı aralarında asal ise, bunların EKOK'u çarpımlarına eşittir.

Aralarında asal sayıları belirlemek için, sayıların asal çarpanlarını bulup karşılaştırmak en pratik yöntemdir. Eğer ortak asal çarpanları yoksa, bu sayılar aralarında asaldır.

Aralarında asal kavramı, özellikle kesirli ifadeleri sadeleştirmede ve matematik problemlerinin çözümünde sıkça kullanılır.

EBOB ve EKOK Problemleri

Matematik sınavlarında karşınıza çıkacak EBOB ve EKOK problemlerini çözerken bazı ipuçlarını bilmeniz çok yararlı olacak.

EBOB problemleri genellikle bir bütünü eşit parçalara bölmeyi gerektirir:

• Bir bahçeyi eşit büyüklükte karelere bölmek
• İki farklı uzunluktaki demiri eşit uzunlukta parçalara kesmek
• Eşit aralıklarla ağaç dikmek
• Eşit miktarda paketleme yapmak

Örnek: 72 cm ve 84 cm uzunluğunda iki çubuğu eşit parçalara ayırmak için, en büyük parça uzunluğu ne olmalıdır? Çözüm: EBOB(72, 84) = 12 cm (en büyük eşit parçalar bu uzunlukta olabilir)

EKOK problemleri genellikle parçaları birleştirip bütün oluşturmayı gerektirir:

• Belirli aralıklarla çalan ziller
• Belirli sayıda gruplama yapma
• Periyodik olayların kesişim zamanını bulma
• Tam bölünebilme şartları

Örnek: 4 günde bir ve 6 günde bir nöbet tutan iki hemşire, kaç gün sonra yine aynı gün nöbet tutarlar? Çözüm: EKOK(4, 6) = 12 gün

💡 Problem çözümlerinde sorunun ne istediğini dikkatle okumanız çok önemlidir. Parçadan bütüne gidiliyorsa EKOK, bütünden parçaya gidiliyorsa EBOB kullanmalısınız.

Pratik yaparak bu tür problemleri hızlı bir şekilde çözmeye alışabilirsiniz. Her zaman soruyu dikkatlice okuyup, ne istendiğini anlamak çözümün ilk ve en önemli adımıdır.

Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemleri

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırabilmek, matematikte çok kullanacağınız temel bir beceridir. Bu işlemi yapmanın birkaç yöntemi vardır.

Bölen Listesi Yöntemi (Asal Çarpan Algoritması) En pratik yöntemlerden biridir. İşlem adımları şöyledir:

1. Sayıyı en küçük asal sayı olan 2 ile bölmeye çalışırız
2. Bölünüyorsa böleriz, bölünmüyorsa bir sonraki asal sayı ile deneriz
3. Bölüm 1 olana kadar devam ederiz

Örnek: 72 sayısı için

72 | 2
36 | 2
18 | 2
 9 | 3
 3 | 3
 1

Sonuç: 72 = 2³ × 3²

Çarpan Ağacı Yöntemi Sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde dallara ayırırız:

    72
   /  \
  8    9
 / \   / \
4   2 3   3
/ \
2  2

Sonuç: 72 = 2³ × 3²

💡 Asal çarpanlara ayırma işlemi, EBOB ve EKOK hesaplamalarını kolaylaştırır, kesirli ifadeleri sadeleştirmede ve üslü sayılarla işlemlerde çok işimize yarar.

Sayının asal çarpanlarını üslü ifade olarak yazıp hafızanızda tutarsanız, bu sayıyla ilgili işlemleri daha kolay yapabilirsiniz. Örneğin 36 = 2² × 3² olarak aklınızda tutarsanız, bu sayının çarpanlarını, EBOB ve EKOK hesaplamalarını daha hızlı yapabilirsiniz.

Örnek Test Soruları - I

Test sorularını çözerken sayıları asal çarpanlarına ayırma, EBOB ve EKOK bulma becerilerinizi kullanacaksınız. İşte bazı örnek sorular:

Soru: 48 ile 72 sayılarının EBOB'u kaçtır? Bu soruyu çözmek için sayıları asal çarpanlarına ayıralım:

• 48 = 2⁴ × 3
• 72 = 2³ × 3² EBOB, ortak tabanlı asal çarpanların en küçük üslülerinin çarpımıdır: EBOB = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24

Soru: 14 ile x tam sayılarının EKOK'u 126 olduğuna göre, x'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

• 14 = 2 × 7
• 126 = 2 × 3² × 7 EKOK formülünden: x × 14 = EBOB(x, 14) × 126 x'in alabileceği değerler: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63'tür. Toplam: 252

Soru: Aslı Hemşire 9 günde bir, Elif Hemşire 12 günde bir nöbet tutuyor. İkisi birlikte nöbet tuttuktan en az kaç gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar? Bu bir EKOK problemidir:

• EKOK(9, 12) = EKOK(3² × 1, 2² × 3) = 2² × 3² = 36 gün

💡 EBOB ve EKOK sorularında, sayıları asal çarpanlarına ayırmanız ve ortak çarpanları belirlemeniz çözümü kolaylaştıracaktır.

Test sorularında süreyi iyi kullanmak için pratik yöntemler geliştirmeniz önemlidir. Sayıları hızla asal çarpanlarına ayırmayı alışkanlık haline getirin.

Örnek Test Soruları - II

Test sorularında karşınıza çıkabilecek farklı soru tiplerini görelim. Bu sorular, öğrendiğiniz EBOB, EKOK ve aralarında asal kavramlarını pekiştirmenizi sağlayacak.

Soru: A ve 42 aralarında asal sayılar olduğuna göre, A sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

• 42 = 2 × 3 × 7
• A sayısı, 42'nin asal çarpanlarından hiçbirini içermemelidir
• Cevap: 55 (5 × 11)

Soru: Uzunlukları 120 cm ve 165 cm olan iki tahta parçası, santimetre cinsinden tam sayı olan eşit uzunlukta parçalara ayrılacaktır. Bu iş için en az kaç kesim yapılmalıdır?

• EBOB(120, 165) = 15 cm (bir parçanın uzunluğu)
• 120 ÷ 15 = 8 parça, 165 ÷ 15 = 11 parça
• Toplam kesim sayısı = (8-1) + (11-1) = 17 kesim

Soru: Kenar uzunlukları 540 cm ve 780 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir salonun tabanı, kenar uzunluğu santimetre cinsinden tam sayı olan eş kare mermerlerle kaplanacaktır. En az kaç mermer gereklidir?

• EBOB(540, 780) = 60 cm (bir karenin kenar uzunluğu)
• 540 ÷ 60 = 9 tane, 780 ÷ 60 = 13 tane
• Toplam mermer sayısı = 9 × 13 = 117 tane

💡 Pratik yapmak, benzer soru tiplerini tanımanızı ve çözüm stratejilerini hızla uygulamanızı sağlar.

Test sorularında başarılı olmak için, çarpanlar ve katlar konusunu iyi anlamanız, EBOB ve EKOK hesaplamalarını hızlı yapabilmeniz, ve aralarında asal kavramını doğru kullanabilmeniz gerekir.

Günlük Hayatta Çarpanlar ve Katlar

Matematik sadece kağıt üzerinde değil, günlük hayatta da karşımıza çıkar. Çarpanlar ve katlar konusu, birçok pratik problemin çözümünde kullanılır.

Zamanlama Problemleri: İki farklı periyotta gerçekleşen olayların kesişim noktasını bulmada EKOK kullanılır.

• Örnek: 30 dakikada bir ve 45 dakikada bir çalan iki zil, 07:30'da birlikte çaldıktan sonra ne zaman tekrar birlikte çalar? EKOK(30, 45) = 90 dakika = 1 saat 30 dakika Yani 09:00'da tekrar birlikte çalarlar.

Eşit Paylaştırma Problemleri: Farklı miktardaki nesneleri eşit gruplara ayırmada EBOB kullanılır.

• Örnek: 54 kg şeker ve 96 kg nohut, eşit büyüklükte ve hiç artmadan torbalara doldurulacak. Kaç torbaya ihtiyaç vardır? EBOB(54, 96) = 6 kg (bir torbadaki miktar) 54 ÷ 6 = 9 torba şeker, 96 ÷ 6 = 16 torba nohut Toplam 25 torba gerekir.

Alışveriş ve Maliyet Problemleri: Farklı fiyatlardaki ürünlerin en az maliyetle satın alınması.

• Örnek: A marka bal 600 g için 160 TL, B marka bal 800 g için 180 TL ise, eşit miktarda bal almak için minimum kaç kg bal alınmalıdır? EKOK(600, 800) = 2400 g = 2,4 kg

💡 Matematik, günlük hayatımızın her alanında bizlere yardımcı olur. Çarpanlar ve katlar konusunu anlamak, pratik problemleri daha kolay çözmenizi sağlayacaktır.

Kendi hayatınızda da bu tür problemlerle karşılaştığınızda, çarpanlar ve katlar konusundaki bilgilerinizi kullanarak pratik çözümler üretebilirsiniz.