Koordinat Sistemi ve Noktalar

Koordinat düzleminde bir nokta (x,y) şeklinde gösterilir. Noktanın bulunduğu bölge önemlidir. Eğer bir A(x,y) noktası I. bölgede ise x>0 ve y>0 olur. II. bölgede x<0, y>0; III. bölgede x<0, y<0; IV. bölgede ise x>0, y<0'dır.

Eksenler üzerindeki noktalar özeldir. Mesela A(a,0) noktası x ekseni üzerinde, A(0,a) noktası ise y ekseni üzerindedir. Yani eksenlerin üzerindeki noktaların koordinatlarından biri her zaman sıfırdır.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü şöyledir: |AB| = √$x₂-x₁$² + $y₂-y₁$². Örneğin, A(-1,5) ve B(3,2) noktaları arasındaki uzaklık |AB| = √(-1-3)² + (5-2)² = √16+9 = 5 birimdir.

💡 İpucu: İki nokta arasındaki uzaklığı hesaplarken mutlak değerleri değil, farkların karelerini alıyoruz. Bu sayede sonuç her zaman pozitif çıkar!

Orta Nokta ve Ağırlık Merkezi

İki noktanın orta noktası $x₁+x₂$/2, $y₁+y₂$/2 formülüyle bulunur. Örneğin A(-3,4) ve B(3,-6) noktalarının orta noktası ((-3+3)/2, (4+(-6))/2) = (0,-1) olur.

Bir üçgenin ağırlık merkezi, üç köşe noktasının koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır. Formülü: G = $(x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3$. Mesela, A(1,-2), B(2,6), C(-3,-4) noktalarındaki üçgenin ağırlık merkezi (1+2+(-3))/3, (-2+6+(-4))/3) = (0,0) olur.

Dikdörtgen gibi şekillerde, karşılıklı köşe noktaları birbirini tamamlar. Örneğin, ABCD dikdörtgeninde A(0,8), B(-5,0), D(7,0) köşeleri biliniyorsa, C köşesi için x+0=7+(-5) ve y+8=0+0 eşitliklerini çözeriz ve C(2,-8) buluruz.

🔍 Unutma: Bir şeklin ağırlık merkezi, koordinatların toplamının nokta sayısına bölünmesiyle bulunur. Koordinat düzleminde bu özelliği kullanarak bilinmeyen noktaların koordinatlarını hesaplayabilirsin!

Doğru Denklemleri ve Eğim

Doğruların genel denklemi ax+by+c=0 şeklindedir. Bu denklemde:

• x=0 için by+c=0 eşitliğinden y ekseniyle kesişim noktasını buluruz
• y=0 için ax+c=0 eşitliğinden x ekseniyle kesişim noktasını buluruz

Bir doğrunun eğimi, o doğrunun yatayla yaptığı açının tanjantıdır ve genellikle m ile gösterilir. Eğim, m = tan α = (karşı dik kenar)/(komşu dik kenar) formülüyle bulunur. Eğim açısı arttıkça, doğrunun eğimi de artar.

Özel eğim değerleri vardır: y=a doğrusunun eğimi 0'dır ve yatay bir çizgidir. x=a doğrusunun eğimi ise tanımsızdır ve dikey bir çizgidir. Eğim açıları şöyledir: 0° için m=0, 45° için m=1, 90° için m tanımsız, 180° için m=0.

⚠️ Dikkat: Bir doğrunun eğimi negatifse, doğru aşağıya doğru iner. Pozitifse, yukarıya doğru çıkar. Eğim doğrunun "dikliğini" gösterir - eğim değeri ne kadar büyükse, doğru o kadar diktir!

Eğim Hesaplaması ve Doğru Denklemleri

Bir doğrunun eğimini ax+by+c=0 denkleminden bulmak için üç adım takip ederiz:

1. Denklemi y'yi yalnız bırakacak şekilde düzenle
2. Her tarafı y'nin katsayısına böl
3. x'in katsayısı bize eğimi verir

İki noktadan geçen doğrunun eğimini bulmak için m = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$ formülünü kullanırız. Örneğin, A(2,3) ve B(-4,6) noktalarından geçen doğrunun eğimi m = (6-3)/(-4-2) = 3/(-6) = -1/2'dir.

Eğimi m olan ve A(x₁,y₁) noktasından geçen bir doğrunun denklemi y-y₁ = m$x-x₁$ formülüyle bulunur. Buna "noktadan geçen doğrunun denklemi" denir. Örneğin, A(-2,3) noktasından geçen ve eğimi -3 olan doğrunun denklemi y-3 = -3$x+2$ şeklinde yazılır ve sadeleştirilerek y+3x-3=0 elde edilir.

💡 Püf Noktası: Doğru denklemlerini yazmak için önce bildiğin duruma göre eğimi bul, sonra "y-y₁ = m$x-x₁$" formülünü kullan. Denklemi sadeleştirmeyi unutma!

Doğru Denklemlerinin Farklı Formları

İki noktası bilinen A(x₁,y₁) ve B(x₂,y₂) doğrusunun denklemini yazarken, önce eğimi m = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$ formülüyle buluruz. Sonra bu eğimi, noktalardan birini kullanarak y-y₁ = m$x-x₁$ formülüne yerleştiririz.

Eksenlerle kesişim noktaları bilinen doğruların denklemi $x/a$ + $y/b$ = 1 şeklinde yazılabilir. Burada a ve b, doğrunun sırasıyla x ve y eksenlerini kestiği noktaların koordinatlarıdır.

Eşitsizlikler doğrularla ilgili önemli bir konudur. ax+by+c>0, ax+by+c<0 gibi eşitsizlikler, düzlemi iki bölgeye ayıran doğruların bir tarafındaki tüm noktaları ifade eder. Örneğin, 2x+y<4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulmak için:

1. Önce 2x+y=4 doğrusunu çizeriz
2. Doğrunun üstünde bir noktayı (örneğin orjin) deneyerek doğru eşitsizliğin hangi tarafta sağlandığını buluruz

🌟 Önemli Not: Bir eşitsizliğin çözümünü grafikte gösterirken, doğrunun hangi tarafının çözüm kümesine ait olduğunu belirlemek için test noktası kullanabilirsin. Genellikle (0,0) noktasını test etmek işini kolaylaştırır!

Doğrular Arası İlişkiler

İki doğrunun birbirine paralel olması için eğimlerinin eşit olması gerekir: m₁ = m₂. Örneğin, 3x-y+6=0 ve ax+2y+4=0 doğrularının paralel olması için eğimlerinin eşit olması gerekir: 3 = a/2, buradan a = 6 bulunur.

İki eşitsizliğin ortak çözüm kümesini bulmak için, doğruların kesişim noktasını hesaplar ve her iki eşitsizliği de sağlayan bölgeyi belirleriz. Örneğin, x-y>4 ve x+y<6 eşitsizliklerinin ortak çözüm kümesi için, önce x-y=4 ve x+y=6 doğrularının kesişim noktasını buluruz: (5,1).

İki doğrunun kesişimi:

• Çakışık ise: Sonsuz sayıda ortak nokta vardır
• Paralel ise: Hiçbir ortak nokta yoktur
• Ne çakışık ne paralel ise: Tam bir ortak nokta vardır

🔎 Önemli İpucu: İki doğrunun konumunu belirlerken önce eğimlerine bak. Eğimleri eşitse paralel veya çakışık olabilirler. Bunu belirlemek için doğruların kesişim noktalarını kontrol et!

Dik Doğrular ve Orta Dikmeler

İki doğrunun dik olması için eğimlerin çarpımının -1'e eşit olması gerekir: m₁×m₂ = -1. Dik doğruların eğimleri, birbirlerinin negatif tersidir: m₂ = -1/m₁. Örneğin, eğimi -2 olan bir doğruya dik olan doğrunun eğimi 1/2'dir.

Bir doğru parçasının orta dikmesi, o doğru parçasının orta noktasından geçen ve doğru parçasına dik olan doğrudur. A(0,4) ve B(2,-6) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta dikmesini bulmak için:

1. Önce orta noktayı buluruz: (1,-1)
2. AB doğrusunun eğimini hesaplarız: m = (−6-4)/(2-0) = -5
3. Orta dikmesinin eğimi bunun negatif tersidir: 1/5
4. Orta nokta ve eğimi kullanarak doğru denklemini yazarız: y-(-1) = (1/5)$x-1$

İki doğrunun birbirine göre durumları üç şekilde olabilir:

1. Çakışık Doğrular: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ koşulu sağlanır, sonsuz sayıda ortak nokta vardır
2. Paralel Doğrular: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ koşulu sağlanır, ortak nokta yoktur
3. Kesişen Doğrular: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ koşulu sağlanır, tam bir ortak nokta vardır

⚡ Unutma: Dik doğrular birbirine 90° açıyla kesişirler ve eğimlerinin çarpımı her zaman -1'dir. Bu özellik, geometrik problemleri çözerken çok işine yarayacak!

Noktanın Doğruya ve Doğrular Arası Uzaklık

Bir A(x₀,y₀) noktasının ax+by+c=0 doğrusuna olan uzaklığı şu formülle hesaplanır: d = |ax₀ + by₀ + c| / √$a² + b²$

Örneğin, A(-1,3) noktasının 2x-y+8=0 doğrusuna uzaklığını bulmak için: d = |2(-1) - 3 + 8| / √(2² + (-1)²) = |3| / √5 = 3/√5 = 3√5/5 birim

İki paralel doğru arasındaki uzaklık benzer bir formülle bulunur: d = |c₂ - c₁| / √$a² + b²$

Bu formül, paralel doğruların genel denklemleri ax+by+c₁=0 ve ax+by+c₂=0 için geçerlidir. Örneğin, 3x-4y+8=0 ve 3x-4y+c=0 doğruları arasındaki uzaklık 2 birim ise: 2 = |c-8| / √(3² + (-4)²) = |c-8| / 5 |c-8| = 10 c = 18 veya c = -2

🧩 Önemli Not: Nokta ve doğru arasındaki uzaklık formülünü ezberlemek yerine, formülün mantığını anlamaya çalış. Doğru denklemini normalize edip $a² + b² = 1 olacak şekilde$, noktanın koordinatlarını doğru denkleminde yerine koyduğunda çıkan sonucun mutlak değeri, uzaklığı verir!