Üslü ve Köklü Sayılar

Matematik yolculuğunuzda çok işinize yarayacak bir üniteye başlıyoruz! Bu ünitede öğreneceğimiz konular:

• Üslü Sayıların Özellikleri: Sayıların kuvvetleriyle nasıl işlem yapacağımızı göreceğiz
• Üslü Sayılarda İşlemler: Çarpma, bölme ve diğer işlemleri üslerle nasıl yaparız
• Üslü Denklemler: Bilinmeyenin üssü olan denklemleri nasıl çözeriz
• Köklü Sayıların Özellikleri: Kök işaretleri ve özellikleriyle tanışacağız
• Köklü Denklemler: Köklü ifadelerin olduğu denklemlerin çözüm yöntemleri

⭐ Pratik Bilgi: Üslü ve köklü sayılar, matematiğin pek çok alanında kullanılan temel kavramlardır. Fizik ve kimya gibi derslerde de sıkça karşınıza çıkacak!

Bu konuyu iyi anlamanız, ileriki matematik derslerinde başarılı olmanıza büyük katkı sağlayacak.

Üslü İfadeler

Üslü ifadeler, aynı sayının tekrarlı çarpımını kısaca göstermenin yoludur. $a^n$ ifadesinde $a$ sayısına taban, $n$ sayısına ise üs denir.

$a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a = a^n$ şeklinde gösterilir. Örneğin, $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ gibi.

$a \neq 0$ olmak üzere $a^0 = 1$ olduğunu unutmayın!

Üslü Sayılarda Çarpma ve Bölme

Üslü sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinde aşağıdaki kuralları kullanırız:

• Çarpma Kuralı: Aynı tabanı çarparken üsleri toplanır: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$
• Kuvvetin Kuvveti: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$
• Çarpımın Kuvveti: $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$
• Bölme Kuralı: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
• Negatif Üs: $a^{-n} = \frac{1}{a^n} = (\frac{1}{a})^n$

🔍 İpucu: Üslü sayılarda işlem yaparken, önce kuralın ne olduğunu hatırlayın, sonra uygulamaya geçin. Örneğin: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Köklü İfadeler

Köklü ifadeler, üslü ifadelerin tersi gibi düşünülebilir. $x^n = a$ ise $x = \sqrt[n]{a}$ şeklinde gösterilir.

Köklü ifadelerin önemli özellikleri:

• $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (a, b ≥ 0)
• $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ (a ≥ 0, b > 0)
• $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

Paydayı rasyonel yapmak için özel formüller:

• $\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$
• $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$

Üslü Sayılar Test Çözümleri

Üslü sayılarla ilgili test sorularında neler yapabileceğimize bakalım. Bu örnekler size sınavlarda çok yardımcı olacak!

Soru 9'da $\frac{2^1 + 3^{-1}}{3^1 + 4^{-1}} \cdot \frac{1}{7}$ ifadesini hesaplamamız isteniyor. Öncelikle negatif üsleri düzenleyelim:

$\frac{2 + \frac{1}{3}}{\frac{3}{1} + \frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{7} = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{13}{4}} \cdot \frac{1}{7} = \frac{4}{13}$

Soru 11'de $2^x = 5$ ve $(2^3)^x = 5^3$ veriliyor. Buradan: $(2^3)^x = (2^x)^3$ eşitliğinden $5^3 = 125$ olduğunu buluyoruz.

Soru 14'te bir etkinlik problemi var. 81 ilin her birinden 27 kişi katılıyor ve her görevli 26 kişiye davetiye gönderiyor:

• Toplam görevli sayısı: $81 \cdot 27 = 3^4 \cdot 3^3 = 3^7$ kişi
• Her görevli 26 kişi davet ediyor: $3^7 \cdot 26$ kişi
• Toplam katılımcı: $3^7 + 3^7 \cdot 26 = 3^7(1 + 26) = 3^7 \cdot 27 = 3^{10}$

💡 Pratik Öneri: Üslü sayı sorularında aynı tabanı elde etmeye çalışın. Örneğin $2^a \cdot 4^b$ ifadesini $2^a \cdot (2^2)^b = 2^a \cdot 2^{2b} = 2^{a+2b}$ şeklinde yazabilirsiniz.

Soru 15'te bir araç 5ⁿ km'de 2⁵ litre yakıt tüketiyor. 10ⁿ km'de tüketilen yakıtı bulmak için: 10ⁿ = (5ⁿ)² olduğundan, tüketilen yakıt: 2⁵ · 2 = 2⁶ = 2¹¹ litre olur.

Üslü sayı sorularını çözerken işlem sırasına dikkat edin ve mümkün olduğunca aynı tabanı kullanmaya çalışın.

Köklü Sayılar Test Çözümleri

Köklü sayılar konusunda karşımıza çıkan test sorularında uygulanabilecek stratejilere bakalım.

Soru 8'de reel sayı ekseninde gösterilen irrasyonel sayıların yerlerinin doğruluğu sorulmuş. Köklü sayıların değerlerini hesaplayarak yaklaşık değerlerini bulabiliriz:

• $\sqrt{2} \approx 1,414$
• $\sqrt{3} \approx 1,732$
• $\sqrt{4} = 2$
• $\sqrt{5} \approx 2,236$
• $\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2,828$

Soru 9'da $\sqrt{72}$ ifadesinin $a = \sqrt{2}$ ve $b = \sqrt{3}$ türünden eşitini bulmamız gerekiyor: $\sqrt{72} = \sqrt{2^3 \cdot 3^2} = \sqrt{8 \cdot 9} = \sqrt{2^3} \cdot \sqrt{3^2} = 2\sqrt{2} \cdot 3 = 6\sqrt{2}$

🔑 Önemli Teknik: Köklü sayı sorularında, önce sayıyı asal çarpanlarına ayırıp, sonra kök içinde düzenleme yapmak çözümü kolaylaştırır.

Soru 11'de $a < b < 0$ için $\sqrt{(a-b)^2} + \sqrt{(b-a)^2}$ ifadesinin değerini hesaplamamız isteniyor: $\sqrt{(a-b)^2} + \sqrt{(b-a)^2} = |a-b| + |b-a|$

$a < b < 0$ olduğundan: $|a-b| = -(a-b) = b-a$ ve $|b-a| = b-a$ Sonuç: $(b-a) + (b-a) = 2(b-a)$

Soru 14'te Erzurumlu İbrahim Hakkı'nın karekök alma yöntemini uyguluyoruz. $\sqrt{150}$ için:

• 150'den küçük en büyük tam kare: 144
• $\sqrt{144} = 12$
• Kesir kısmı: $\frac{150-144}{2 \cdot 12 + 1} = \frac{6}{25}$
• $\sqrt{150} = 12 + \frac{6}{25}$

Bu yöntem, modern hesap makineleri olmadığı dönemde kullanılan pratik bir yaklaşımdır.

Köklü Sayılar Test Çözümleri - 2

Köklü sayılarla ilgili daha karmaşık problemlere bakalım.

Soru 7'de bir karenin kenarı $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ birim, alanı $b$ birimkare ve çevresi $c$ birim olduğu belirtiliyor. Buna göre:

Alan: $b = a^2 = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$ birimkare Çevre: $c = 4a = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Sonuçta $c = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ olur.

📝 Not: Köklü ifadeler içeren çevre-alan problemlerinde, önce bilinen değerleri kullanarak diğer değerleri hesaplamalısınız.

Soru 8'de bir aracın geri görüş kamerasındaki uyarıyla ilgili bir problem var. Arka mesafe $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ metre, ön mesafe $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ metre. Araç $\sqrt{2}$ birim geri giderse:

• Yeni arka mesafe: $2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ metre
• Yeni ön mesafe: $4\sqrt{2} + \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ metre

Ön boşluğun arka boşluğa oranı: $\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5$

Soru 10'da çokgenlerde tanımlanan bir işlem için: $\frac{6 + \sqrt{108}}{3 + \sqrt{27}} = \frac{6 + 6\sqrt{3}}{3 + 3\sqrt{3}} = \frac{6(1 + \sqrt{3})}{3(1 + \sqrt{3})} = 2$

Bu tür sorularda, köklü ifadeleri sadeleştirip ortak parantezine almak çözümü kolaylaştırır.

Soru 11'de iki dikdörtgen kartonun kesişimi ile ilgili bir problem var: $x = \sqrt{242} - 2\sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 60,5} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{60,5} - 2\sqrt{2}$

Üslü ve Köklü Sayılar - Karışık Sorular

Şimdi üslü ve köklü sayılarla ilgili farklı tipte sorulara göz atalım.

Soru 1'de bir uzay mekiğinin saniyede 2 birim yükselerek atmosferden çıkış süresini hesaplamamız gerekiyor. Atmosfer 450-820 birim yükseklikte olduğuna göre, uzaya ulaşma süresi:

• En az $\frac{450}{2} = 225$ saniye
• En çok $\frac{820}{2} = 410$ saniye sürer.

Soru 3'te $4 < \sqrt{x} < 4,5$ olduğuna göre, x'in alabileceği tam sayı değerlerini bulmamız isteniyor. $4 < \sqrt{x} < 4,5$ ⟹ $16 < x < 20,25$ olur. Bu aralıkta x'in alabileceği tam sayı değerleri: 17, 18, 19, 20 (toplam 4 tam sayı).

🚀 Hatırlatma: Kök içindeki sayının aralığını bulduğunuzda, sonucu karşılaştırmak için tekrar kökünü alıp kontrol edin.

Soru 4'te bir sayının asal çarpanlarıyla ilgili bir problem var. Sayı $2^{140} \cdot 3^{70}$ şeklinde yazıldığına göre, $144^x = 2^{140} \cdot 3^{70}$ olmalı.

$144 = 12^2 = (2^2 \cdot 3)^2 = 2^4 \cdot 3^2$ olduğundan: $(2^4 \cdot 3^2)^x = 2^{140} \cdot 3^{70}$ $2^{4x} \cdot 3^{2x} = 2^{140} \cdot 3^{70}$

Buradan $4x = 140$ ve $2x = 70$ denklemlerini çözerek $x = 35$ buluruz.

Soru 6'da sosyal ağa katılım problemi var. Her gün üye sayısı 2 katına çıkıyor ve ilk gün 1 kişi üye olmuş. İnternet kullanan kişi sayısı 85 olduğuna göre: $2^{n-1} = 2^{15} = 32768 > 2^{16} = 65536$ olduğundan, en az 17 gün gerekir.

Dönem Tekrar Testi - 1

Bu sayfada, dönem boyunca öğrendiğiniz konuları kapsayan soruları inceleyeceğiz.

Soru 1'de ayrık kümelerde birinci bileşeni ikinci bileşenine eşit kaç ikili olduğu soruluyor. A ve B ayrık kümeler olduğundan, ortak elemanları yoktur. Bu nedenle $A \times B$ kümesinin hiçbir elemanının birinci bileşeni ikinci bileşenine eşit olamaz. Cevap: 0.

💡 Hatırlatma: A ve B kümeleri ayrıksa, $A \cap B = \emptyset$ yani ortak elemanları yoktur.

Soru 2'de bir kümenin kuvvet kümesinin eleman sayısını bulmamız isteniyor. A kümesinin elemanları {1, 2, 3, 4} olabilir. n elemanlı bir kümenin kuvvet kümesinin eleman sayısı $2^n$ olduğundan, A'nın kuvvet kümesinin eleman sayısı $2^4 = 16$ olur.

Soru 5'te iki kümenin eşleştirilip çarpılması ve toplamın tam sayı olması isteniyor. Eşleşen çarpım sonuçlarının toplamının tam sayı olabilmesi için, terimlerin irrasyonel kısımlarının toplamının sıfır olması gerekir.

Soru 7'de bir çocuğun boyu 12 dm ve gözlerinin yerden yüksekliği soruluyor. İnsan boyunun yaklaşık 8/10'u kadar yükseklikte gözleri bulunur: $12 \cdot \frac{8}{10} = 9,6$ dm Bu değere en yakın seçenek $9\sqrt{2} \approx 9 \cdot 1,414 \approx 12,726$ olur.

Boyumuzu ölçerken, matematik bize farklı birimler ve gösterimler kullanma esnekliği verir. Günlük hayatta metre ve santimetre kullanırken, matematikte köklü ifadeleri de kullanabiliriz.

Dönem Tekrar Testi - 2

Bu sayfada, dönem sonu tekrar testinden çeşitli soruları inceleyeceğiz.

Soru 21'de $a_i < i$ koşulunu sağlayan 20 tam sayının toplamının en büyük değeri soruluyor. En büyük değeri elde etmek için her $a_i$ değerini mümkün olan en büyük değer olarak seçmeliyiz: $a_1 = 0, a_2 = 1, a_3 = 2, ..., a_{20} = 19$ Toplam: $0 + 1 + 2 + ... + 19 = \frac{19 \cdot 20}{2} = 190$

Soru 22'de dikdörtgen kartonun uzun kenarı kısa kenarının 3 katı olan bir dikdörtgene çizilebilecek en uzun çizginin uzunluğunu bulmamız isteniyor. Kısa kenar $x$, uzun kenar $3x$ ise, köşegen (en uzun çizgi) Pisagor teoreminden: $\sqrt{x^2 + (3x)^2} = \sqrt{x^2 + 9x^2} = \sqrt{10x^2} = x\sqrt{10}$ Yani en uzun çizgi, kısa kenarın $\sqrt{10}$ katıdır.

🔍 Geometri İpucu: Dikdörtgende en uzun çizgi her zaman köşegendir ve Pisagor teoremiyle hesaplanır.

Soru 26'da $\frac{21x^2 - x^3}{x^2}$ ifadesinin değerinin $4$ olduğu durumda x'in en küçük tam sayı değerinin rakamları toplamı soruluyor: $\frac{21x^2 - x^3}{x^2} = 21 - x = 4$ Buradan $x = 17$ bulunur. Rakamlar toplamı: $1 + 7 = 8$

Soru 27'de 7646231 sayısında $10^x$'ler basamağındaki rakamın $2x$ olduğu durumda $x$ değerini bulmamız isteniyor: $10^1$'ler basamağı birler basamağıdır ve rakam 1'dir. $10^2$'ler basamağı onlar basamağıdır ve rakam 3'tür. $10^3$'ler basamağı yüzler basamağıdır ve rakam 2'dir. $10^4$'ler basamağı binler basamağıdır ve rakam 6'dır.

$2x = 6$ olduğundan $x = 3$ olur.

Dönem Tekrar Testi - 3

Son sayfada, kalan sorulara göz atalım.

Soru 28'de bir öğrenci, verilen $x$ sayısını 43 ile çarpmış ve sonucu 2795 bulmuş. Ancak kontrol ederken $x$ sayısının birler basamağını 2 eksik aldığını fark etmiş.

$2795 \div 43 = 65$ bulunur. Ancak birler basamağı 2 eksik alındığı için, doğru değer $65 + 2 = 67$ olmalıydı. Doğru sonuç: $43 \times 67 = 2881$ olur.

Soru 30'da sayı doğrusu üzerinde üç bölgenin kesişimi soruluyor. $(4)_2$ bölgesi: $|x-4| \leq 2$ yani $2 \leq x \leq 6$ aralığı. $(6)_3$ bölgesi: $|x-6| \leq 3$ yani $3 \leq x \leq 9$ aralığı. $(8)_2$ bölgesi: $|x-8| \leq 2$ yani $6 \leq x \leq 10$ aralığı.

Bu üç bölgenin ortak aralığı $6 \leq x \leq 6$ olduğundan, sadece $x = 6$ değeri üç bölgede de bulunur. Bu durum $(6)_0$ bölgesi olarak gösterilebilir.

⚠️ Uyarı: Aralık sorularında, tüm aralıkları ayrı ayrı belirleyip kesişimlerini bulmak en doğru yöntemdir.

Soru 32'de bir sınıftaki matematik dersinden geçme durumu inceleniyor. Kızların yarısı, erkeklerin üçte biri matematikten geçmiş. Toplam 20 öğrenci geçmiş ve 24 öğrenci kalmış.

Sınıftaki kız sayısını $k$, erkek sayısını $e$ diyelim:

• Matematikten geçen kız sayısı: $\frac{k}{2}$
• Matematikten geçen erkek sayısı: $\frac{e}{3}$
• $\frac{k}{2} + \frac{e}{3} = 20$
• $\frac{k}{2} + \frac{2e}{3} = 24$
• $k + e = 44$

Bu denklemleri çözerek $k = 24$ buluruz.

Matematik sorularında denklem kurma, birçok problemin çözümünde anahtar rol oynar.