Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

İçinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin bazı değerlerinde doğru olan eşitliklere denklem denir. Bilinmeyenin kuvveti 1 olan denklemlere ise birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir ve bunlar $ax+b=0$ şeklinde gösterilir.

Bir denklemin çözümünü bulmak için şu adımları takip ederiz:

• Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa taşınır
• Parantezler dağılma yöntemi ile açılır
• Paydalar eşitlenir ve kaldırılır
• Bilinmeyenler toplanır ve bilinmeyen yalnız bırakılır

Örneğin $3x+6=12$ denklemini çözmek için önce bilinmeyeni yalnız bırakmalıyız: $3x=12-6$ $3x=6$ $x=2$

İpucu: Rasyonel denklemlerde paydayı sıfır yapan x değeri çözüm kümesine alınmaz, buna dikkat etmelisin!

Kesirli Denklemler

Kesirli denklemlerde, payda eşitlenerek denklemin çözümüne ulaşılır. Bu tip denklemler günlük hayatta karşılaştığımız orantılı durumları modellemede kullanılır.

Örnek bir kesirli denklem: $\frac{x-1}{3}=\frac{x+3}{5}$

Bu denklemi çözmek için önce paydaları eşitleriz. Paydalar 3 ve 5 olduğundan, eşitliğin her iki yanını da bu sayıların en küçük ortak katı olan 15 ile çarpabiliriz.

$\frac{x-1}{3} \times 15 = \frac{x+3}{5} \times 15$

$5(x-1) = 3(x+3)$

$5x-5 = 3x+9$

$5x-3x = 9+5$

$2x = 14$

$x = 7$

Not: Kesirli denklemlerde çözüm bulduğunda, bu çözümün payda değerini sıfır yapmadığını kontrol etmeyi unutma!

Sözel Problemleri Denklemlerle Çözme

Günlük hayatta karşılaştığımız birçok problemi denklemlerle ifade edip çözebiliriz. İşte bazı örnekler:

Sayı Problemleri: "Hangi sayının yarısı, aynı sayının 3 katının 100 eksiğine eşittir?" sorusu şöyle çözülür: $\frac{x}{2} = 3x - 100$ $3x - \frac{x}{2} = 100$ $\frac{6x-x}{2} = 100$ $\frac{5x}{2} = 100$ $5x = 200$ $x = 40$

Yaş Problemleri: "Bir sınıftan öğrencilerin $\frac{2}{5}$'i ayrıldığında 18 öğrenci kalıyor." Burada toplam öğrenci sayısını x kabul ederiz: $x - \frac{2}{5}x = 18$ $\frac{3}{5}x = 18$ $x = 30$

Hatırlatma: Problem çözümlerinde, bilinmeyeni doğru belirlemek çözümün en önemli adımıdır. Soruyu dikkatle oku ve neyin sorulduğunu iyi anla!

Yaşam Problemleri ve Denklemler

Günlük hayatta karşılaştığımız karmaşık problemleri denklemlerle modelleyebiliriz.

Bitki Büyümesi: Başlangıçta 40 cm olan bir fidan her 2 ayda 15 cm uzuyor. 5 yıl sonraki boyu: $y = 40 + 15 \times \frac{5 \times 12}{2} = 40 + 15 \times 30 = 40 + 450 = 490$ cm

Diophantus Problemi: "Diophantus'un yaşını bulma" problemi matematikçinin hayatını denklemle modelliyor: $\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x$

Burada $x$ Diophantus'un toplam yaşadığı yıl sayısıdır. Bütün parçaları toplarsak, $x = 84$ yıl bulunur.

Ödeme Planı: "Bisiklet almak isteyen bir müşteriye satıcının sunduğu ödeme planı" problemi:

• Fiyatın $\frac{1}{3}$'ü 5 ay eşit taksitte
• Kalanı 4 ay, her ay bir önceki ayın taksitine 24 TL ekleyerek

Bu tür problemlerde toplam ödenecek miktar ile fiyat arasında bir denklem kurarız.

Günlük Hayat Bağlantısı: Matematiğin soyut gibi görünen konuları, aslında günlük hayatımızda sürekli karşımıza çıkar. Bu problemleri çözerek matematiğin yaşamdaki yerini daha iyi anlarsın!

Denklem Çözme Alıştırmaları

Denklemlerde ustalaşmanın yolu bol bol alıştırma yapmaktan geçer. İşte bazı örnek sorular:

$2-3x=\frac{1}{2}x-5$ denkleminin çözümünü bulalım: $2-3x=\frac{1}{2}x-5$ $2+5=3x+\frac{1}{2}x$ $7=3x+\frac{1}{2}x$ $7=\frac{6x+x}{2}$ $7=\frac{7x}{2}$ $14=7x$ $x=2$

$\frac{5x+10}{3}=3-\frac{1}{2}x$ gibi kesirli denklemleri çözerken önce paydaları yok edip düzenlemek işimizi kolaylaştırır.

Püf Nokta: Denklemi çözerken her adımı dikkatlice takip et. Matematiksel işlemlerde bir hata yapmak, yanlış sonuca ulaşmanıza neden olabilir. İşlemlerini kontrol etmeyi alışkanlık haline getir!

Gerçek Hayat Denklem Uygulamaları

Birinci dereceden denklemlerle çözülebilen günlük hayat problemlerini inceleyelim:

Yaş Problemi: "Ali'nin yaşı Mehmet'in yaşının 3 katıdır. 4 yıl sonra Ali'nin yaşı Mehmet'in yaşının 2 katından 8 fazla olacak."

Mehmet'in yaşını x kabul edersek, Ali'nin yaşı 3x olur. 4 yıl sonra:

• Mehmet'in yaşı: x + 4
• Ali'nin yaşı: 3x + 4
• Koşul: 3x + 4 = 2$x + 4$ + 8
• Çözüm: 3x + 4 = 2x + 8 + 8
• x = 12, o halde Ali'nin yaşı 3x = 36'dır.

Zıplayan Top Problemi: "Düşey doğrultuda yere bırakılan bir top yere her çarpışında bırakıldığı yüksekliğinin $\frac{1}{5}$'i kadar yerden yükseliyor. 4. defa yere çarptığı ana kadar toplam 374 cm yol alıyor."

Burada bir top hareketi modellenmiş ve toplam alınan yol ile başlangıç yüksekliği arasında bir denklem kurulmuştur.

Gerçek Hayat İpucu: Matematik sadece sınıfta çözdüğün sorulardan ibaret değil! Etrafındaki olayları matematiksel olarak modellemeye çalış - bu, matematiği daha iyi anlamanı sağlayacak.

Koordinat Sistemi

Koordinat sistemi, iki sayı doğrusunun birbirine dik olacak şekilde kesişmesiyle oluşan düzlemdir. Bu sistem, noktaların konumunu belirlemek için kullanılır.

Koordinat sisteminin temel özellikleri:

• Yatay eksene apsis veya x ekseni denir
• Dikey eksene ordinat veya y ekseni denir
• Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir ve (0,0) ile gösterilir
• Noktalar (x,y) şeklinde sıralı ikili olarak gösterilir

Koordinat düzlemi dört bölgeye ayrılır:

• I. Bölge: x > 0, y > 0
• II. Bölge: x < 0, y > 0
• III. Bölge: x < 0, y < 0
• IV. Bölge: x > 0, y < 0

Bir noktanın eksenlere uzaklığı şöyle hesaplanır:

• X eksenine uzaklık: |y| (ordinatın mutlak değeri)
• Y eksenine uzaklık: |x| (apsisin mutlak değeri)

Uygulamada İpucu: Koordinat sistemi, haritacılıktan bilgisayar oyunlarına, robot hareketlerinden mühendislik çizimlerine kadar pek çok alanda kullanılır. Çevrende koordinat sisteminin kullanıldığı yerlere dikkat et!

Koordinat Sisteminde İşlemler

Koordinat sisteminde verilen bir noktanın hangi bölgede olduğunu anlamak için koordinatlarının işaretlerine bakılır.

Örneğin, A(5,2) noktası I. bölgede, B(-3,-4) noktası III. bölgede yer alır. Bir nokta eksenlerin üzerindeyse herhangi bir bölgeye ait değildir.

Koordinat düzleminde verilen noktalarla çeşitli işlemler yapabiliriz:

Orta Nokta Bulma: A(-2,4) ve B(4,4) noktalarından geçen doğru parçasının orta noktası C ise, C noktasının koordinatları: C = $(\frac{-2+4}{2}, \frac{4+4}{2}) = (1, 4)$

Alan Hesaplama: Köşeleri A(4,-1), B(3,4) ve C(-5,4) olan üçgenin alanı:

• İlk olarak noktaları koordinat düzlemine yerleştiririz
• Sonra uygun formülleri kullanarak alanı hesaplarız

Uzaklık Hesaplama: A ve B noktaları arasındaki uzaklık: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

İpucu: Koordinat sistemi, birçok matematiğin (analitik geometri, calculus vb.) temelidir. Bu yüzden bu konuyu çok iyi anlamalısın!

Doğrusal İlişkiler

İki değişkenin birbirine bağlı olarak, aynı oranda artıp azaldığı durumlara doğrusal ilişki denir. Bir değişkenin değeri bilindiğinde diğerinin de hesaplanabildiği ilişkilerdir.

Doğrusal ilişkide:

• Ardışık terimler arasındaki farklar eşittir
• İlişki $ax+by+c=0$ şeklinde bir doğru denklemiyle ifade edilir
• Grafiği düzlemde bir doğrudur

Örnek: Sabit hızlı bir aracın zaman-yol ilişkisi doğrusaldır. Hızı 80 km/saat olan araç için bu ilişki $y=80x$ şeklinde yazılabilir (y: yol, x: zaman).

Bağımlı ve bağımsız değişkenler:

• Bağımsız değişken: Değerini bizim belirlediğimiz değişken
• Bağımlı değişken: Değeri bağımsız değişkenin değerine göre değişen değişken

Örneğin, bir otopark ücretinde ilk saat 7 TL, sonraki her saat için 3 TL alınıyorsa, bu ilişki $y = 7 + 3(x-1)$ veya $y = 3x + 4$ şeklinde yazılabilir (x: saat, y: ücret).

Günlük Hayatta Uygulama: Alışveriş yaparken, ulaşımda, sporda - hayatın her alanında doğrusal ilişkilerle karşılaşırsın. Mesela telefon faturanda sabit ücret ve konuşma süresiyle orantılı değişken ücret varsa, bu bir doğrusal ilişkidir.

Doğrusal İlişkilerin Grafikleri

Doğrusal ilişkileri anlamak için grafikleri kullanabiliriz. Grafikler, değişkenler arasındaki ilişkiyi görsel olarak anlamamızı sağlar.

Bir otoparkın ücretlendirmesi şöyle olsun:

• İlk saat: 7 TL
• Sonraki her saat: 3 TL

Bu durumda ücret (y) ile süre (x) arasındaki ilişki: $y = 7 + 3(x-1) = 4 + 3x$

Bu ilişkiyi grafiğe döktüğümüzde, bir doğru elde ederiz.

Başka bir örnek: Samsun'dan 900 km uzaklıktaki Balıkesir'e hiç durmadan giden bir araç, saatte 100 km hızla giderse:

• Kalan yol (y) ile geçen süre (x) arasındaki ilişki: $y = 900 - 100x$
• Grafiği, saat eksenini x = 9'da kesen bir doğru olur
• 6. saat sonunda kalan yol: $y = 900 - 100 \times 6 = 300$ km
• Toplam yolculuk süresi: 9 saat

Not: Doğrusal ilişkilerin grafiklerinin eğimi, ilişkideki değişim oranını gösterir. Örneğin, saatte 100 km hızla giden aracın grafiğinin eğimi -100'dür.