Tam Sayılarla İşlemler

Rüzgâr enerjisi, hava akımının hareket enerjisinden yararlanarak elektrik üreten harika bir teknolojidir. İnsanlar yaklaşık 5500 yıldır rüzgârın gücünden faydalanıyor! İlk zamanlar yelkenli gemilerde ve yel değirmenlerinde kullanılan rüzgâr, şimdi daha çok elektrik üretimi için tercih ediliyor.

Rüzgâr enerjisinin gelişimi adım adım ilerlemiştir. 1887'de İskoç Profesör James Belyth ilk rüzgâr güç deneylerini başlatmış ve 1891'de İngiltere'de bir pil şarj cihazının patentini almıştır. Aynı dönemlerde Amerikalı Charles Brush ve Danimarkalı Poul La Cour da rüzgâr türbinleri geliştirmiştir.

Modern rüzgâr endüstrisi ise 1979'da Danimarka'da seri üretimin başlamasıyla gelişmiştir. Günümüzde rüzgâr enerjisi çevre dostu bir enerji kaynağı olarak önem taşımaktadır.

Unutma! Tam sayılarda bölme işlemi yaparken bir sayıyı sıfıra bölemeyiz çünkü bu işlem tanımsızdır. Ancak sıfırın bir tam sayıya bölümü her zaman sıfırdır.

Tam sayılarla işlem yaparken bazı temel özellikler vardır:

• Toplama işleminde değişme özelliği (3+4=4+3) ve birleşme özelliği ((3+4)+5=3+(4+5)) bulunur
• Çarpma işleminde de benzer şekilde değişme (4·5=5·4) ve birleşme ((4·5)·6=4·(5·6)) özellikleri vardır
• Toplama işleminin etkisiz elemanı 0'dır
• Çarpma işleminin etkisiz elemanı 1 ve yutan elemanı 0'dır

Rasyonel Sayılar ve İşlemler

Rasyonel sayılar, günlük hayatta sıkça karşılaştığımız kesir biçimindeki sayılardır. Bu sayılar, a ve b tam sayı olmak üzere ve b≠0 şartıyla a/b şeklinde yazılır ve Q sembolüyle gösterilir.

Rasyonel sayılarla toplama işlemi yaparken payda eşitlemek önemlidir. Eğer paydalar aynıysa, sadece payları toplayıp payda aynı kalır. Örneğin 1/5 + 3/5 = 4/5 şeklinde hesaplanır. Eğer paydalar farklıysa, önce ortak payda bulmalısın: 1/2 + 2/3 = 3/6 + 4/6 = 7/6 olur.

Çarpma işleminde ise pay ile pay, payda ile payda çarpılır. Örneğin 3/7 × 5/2 = 15/14 olur. Bir tam sayıyla rasyonel sayıyı çarparken tam sayının paydası 1 olarak düşünülür: 2 × 3/2 = 2/1 × 3/2 = 6/2 = 3.

Önemli! Rasyonel sayılarda işlemler yaparken işaretlere dikkat etmelisin. Çarpma ve bölmede aynı işaretli sayıların sonucu pozitif, farklı işaretli sayıların sonucu negatif olur.

Bölme işlemi, bölünenin bölenin tersiyle çarpılmasıyla yapılır: 5/6 ÷ 3/5 = 5/6 × 5/3 = 25/18. Bir rasyonel sayının 0'a bölümü tanımsızdır, ancak 0'ın bir sayıya bölümü her zaman 0'dır.

Rasyonel sayıları karşılaştırırken unutma ki pozitif sayılar negatif sayılardan büyüktür. Pozitif sayılarda 0'a yakın olan daha küçük, negatif sayılarda ise 0'a yakın olan daha büyüktür. Rasyonel sayıların ondalık gösteriminde bazen devirli sayılar oluşabilir: 10/9 = 1,111... = 1,1̅ şeklinde yazılabilir.

Cebirsel İfadeler ve Denklemler

Matematiğin en ilginç konularından biri bilinmeyenlerle çalışmaktır. Ama hiç düşündün mü, neden bilinmeyen olarak genellikle "x" kullanıyoruz? Bunun nedeni, İslam bilim insanlarının 10. yüzyılda bilinmeyenler için kullandığı Arapça "şey" kelimesinin İspanyolcaya çevrilememesi ve sonunda Yunancadan alınan "x" sembolüyle gösterilmeye başlanmasıdır.

Cebirsel ifadelerde, değişkenler ve katsayılar önemli kavramlardır. Örneğin 8x ifadesinde, 8 katsayı, x ise değişkendir. 3x + 5 ifadesinde, 3x bir terim, 5 ise sabit terimdir.

Cebirsel ifadelerde toplama yaparken benzer terimleri birleştiririz. Örneğin $3x+5$ + $7x-2$ = 10x+3 olur. Çıkarma işlemi yaparken önce parantez içindeki ifadenin işaretlerini değiştirip toplama işlemine çeviririz: $3x+5$ - $2x+3$ = $3x+5$ + $-2x-3$ = x+2.

İpucu: Bir cebirsel ifadeyi bir sayıyla çarparken, çarptığın sayı her bir terimin katsayısını etkiler. Örneğin 5$3x + 7$ = 15x + 35 olur.

Birinci dereceden denklemler, bilinmeyenin üssünün 1 olduğu denklemlerdir. Örneğin 3x + 6 = 9 bir birinci dereceden denklemdir. Denklem çözerken eşitliğin her iki tarafına aynı işlemi yaparak bilinmeyeni yalnız bırakmak önemlidir. Örneğin x-3=10 denklemini çözerken, her iki tarafa 3 eklersek x=13 buluruz.

Örüntüler de cebirsel ifadelerle gösterilebilir. 5, 8, 11, ... örüntüsünün genel kuralı 3n + 2 olduğundan, 12. terimi 3·12 + 2 = 38 olur.

Oran, Orantı ve Yüzdeler

Oran ve orantı, günlük hayatta karşılaştığımız problemleri çözmede çok işimize yarayan kavramlardır. Oran, iki çokluğun karşılaştırılmasıdır. Örneğin 20 kız ve 15 erkek öğrencinin olduğu sınıfta kızların erkeklere oranı 20/15 = 4/3'tür.

Orantı ise iki oranın eşitliğidir ve a/b = c/d şeklinde gösterilir. Bir orantıda içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir $a·d = b·c$. Örneğin 2/6 = 4/12 orantısında 2·12 = 6·4 olduğunu görebilirsin.

İki çokluk arasında doğru orantı varsa biri artarken diğeri de aynı oranda artar. Örneğin 1 kg elma 5 TL ise, 3 kg elma 15 TL'dir. Ters orantı ise biri artarken diğeri azalır. 2 işçi bir işi 10 günde yapıyorsa, 5 işçi aynı işi 4 günde yapar.

Aklında tut: Altın oran (yaklaşık 1,618), sanat ve mimaride sıkça kullanılan ve doğada da bulunan özel bir orandır. Fibonacci sayılarında (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...) ardışık sayıların oranı altın orana yaklaşır.

Yüzde hesaplamaları da günlük hayatta çok işimize yarar. % a = a/100 anlamına gelir. Bir çokluğun yüzdesini bulmak için o çokluk yüzde ile çarpılır. Örneğin 40 kişilik sınıfın %20'si 40 · 20/100 = 8 kişidir.

Belirli bir yüzdesi verilen çokluğun tamamını bulmak için verilen sayıyı yüzdenin payına bölüp 100 ile çarparız. Örneğin %30'u çürük olan 24 portakal varsa, toplam portakal sayısı 24 · 100/30 = 80'dir.

Doğrular, Açılar, Çokgenler ve Çember

Geometri konuları içinde doğrular ve açılar en temel kavramlardır. Açıortay, bir açıyı iki eş parçaya bölen ışındır. Paralel doğrularda iç ters açılar ve dış ters açılar birbirine eşittir, yöndeş açılar ise toplamları 180° olacak şekilde bütünler açılardır.

Çokgenler köşeleri ve kenarları olan kapalı şekillerdir. Bir çokgenin ardışık olmayan köşelerini birleştiren doğru parçasına köşegen denir. n kenarlı bir çokgenin iç açılarının toplamı $n-2$·180° formülüyle bulunur. Dış açıların toplamı her zaman 360°'dir.

Dörtgenler özel çokgenlerdir. Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel ve eşit olan dörtgendir. Dikdörtgen, tüm açıları 90° olan paralelkenardır. Eşkenar dörtgen, tüm kenar uzunlukları eşit olan paralelkenardır. Kare ise hem dikdörtgen hem de eşkenar dörtgendir.

Faydalı bilgi: Düzgün çokgenlerde tüm kenarlar ve tüm iç açılar birbirine eşittir. Örneğin düzgün beşgende her dış açı 72°, her iç açı 108°'dir.

Çember, bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar kümesidir. İçi dolu haline daire denir. Çemberin çevresi 2πr, dairenin alanı πr² formülleriyle hesaplanır.

Bir çemberde merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Çember parçasının uzunluğu, açının derece cinsinden ölçüsünün 360'a oranı ile çemberin çevresi çarpılarak bulunur: |AB| = (α/360°)·2πr. Daire diliminin alanı ise benzer şekilde (α/360°)·πr² formülüyle hesaplanır.

Veri Analizi

Veri analizi, bilgileri anlamlı hale getirmek için kullanılan önemli bir alandır. Veriler genellikle grafik ve tablolar yardımıyla görselleştirilir. Böylece bilgileri daha kolay anlamak ve yorumlamak mümkün olur.

Daire grafiği, verilerin bir dairenin dilimleri şeklinde gösterildiği grafik türüdür. Veriler toplam 360° olacak şekilde dilimlere ayrılır. Her dilimin merkez açısı, o verinin toplam içindeki oranına göre belirlenir.

Çizgi grafiği ise verilerin yatay ve dikey eksendeki değerlerinin işaretlenerek noktaların birleştirilmesiyle oluşur. Genellikle zaman içindeki değişimleri göstermek için kullanılır. Örneğin sıcaklık değişimleri veya bir öğrencinin günlük çözdüğü soru sayıları çizgi grafiğiyle gösterilebilir.

Hatırla: Bir veri grubunun aritmetik ortalaması, verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle bulunur. Örneğin 15, 10 ve 20 sayılarının ortalaması (15+10+20)/3 = 15'tir.

Veri analizinde kullanılan diğer önemli kavramlar mod (tepe değer) ve medyan (ortanca değer)dır. Mod, bir veri grubunda en çok tekrar eden sayıdır. Medyan ise veriler küçükten büyüğe sıralandığında ortada kalan değerdir.

Günlük hayatta karşılaştığımız problemleri çözmek için veri analizi yöntemlerinden faydalanabiliriz. Tıpkı Ağustos Böceği ile Karınca masalında olduğu gibi, geleceğimiz için planlama yapmak ve hazırlıklı olmak hayatımızda başarılı olmamızı sağlar.