Matematik Yazılı Hazırlık Çalışması

Bu çalışma, 1. dönem 1. yazılınıza hazırlık amacıyla hazırlanmış 100 açık uçlu sorudan oluşmaktadır. Fasikül içeriğinde tam sayılarla işlemler ve rasyonel sayılar konularına odaklanılmıştır.

Çalışma, şu konuları kapsıyor:

• Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri (20 soru)
• Toplama işleminin özellikleri (10 soru)
• Tam sayılarla çarpma ve bölme işlemleri (20 soru)
• Üslü nicelikler (10 soru)
• Tam sayılarla problem çözme (20 soru)
• Rasyonel sayıları tanıma (10 soru)
• Rasyonel sayıların ondalık gösterimi (10 soru)

İpucu: Tüm soruların video çözümlerine YouTube'dan (@eminsancar7831) ulaşabilirsiniz!

Tam Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Tam sayılarla işlem yaparken sayıların işaretlerine dikkat etmelisiniz. Sayı doğrusunda "-4 ile +4" arasında toplam 9 tane tam sayı bulunur. Bu sayılar: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 şeklindedir.

İşlem yaparken çıkarma işlemini toplama işlemine dönüştürmek size kolaylık sağlar. Örneğin: $(-3) - (-4)$ işlemini $(-3) + (+4)$ şeklinde yazabilirsiniz.

Gerçek hayat problemlerinde tam sayılar çok işimize yarar. Mesela toprağın altındaki bir bitkinin durumunu düşünelim: Toprağın 40 cm derinliğindeki bir bitki her ay 30 cm uzarsa, 5 ay sonunda bitkinin yerden yüksekliği $-40 + (5 \times 30) = -40 + 150 = 110$ cm olur.

Unutma! Bir sayının toplamaya göre tersi, o sayının işaretinin değiştirilmesiyle bulunur. Yani +15'in tersi -15'tir.

Tam Sayılarla Toplama ve Çıkarma Problem Çözümleri

Tam sayılar günlük hayatta birçok durumu modellemek için kullanılır. Örneğin, bir marketten alınan paketlerin ağırlıklarındaki sapmaları göstermek için + ve - işaretlerini kullanabiliriz. 250 gramlık dört paket fındığın gerçek ağırlıkları +12, -8, +6, -11 gram sapma gösterirse, toplam ağırlık $4 \times 250 + (+12) + (-8) + (+6) + (-11) = 1000 - 1 = 999$ gram olur.

Tam sayılarla çalışırken mutlak değer kavramı da önemlidir. Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusundaki 0'a olan uzaklığıdır. Örneğin, |-4| = 4 ve |+2| = 2'dir.

Negatif tam sayılarla ilgili dikkat etmeniz gereken bazı noktalar vardır: Negatif tam sayılar sayı doğrusunda her zaman sıfırın solunda yer alır ve en büyük negatif tam sayı -1'dir.

Bilgi Notu: Tam sayıların sembolü Z harfidir, N harfi ise doğal sayıları temsil eder.

Tam Sayılarla Günlük Hayat Problemleri

Tam sayılar sıcaklık ölçümlerinde çok kullanışlıdır. Örneğin, Yalova'da hava sıcaklığı 5°C iken 8°C düşerse, yeni sıcaklık 5 - 8 = -3°C olur. Eksi değerler donma noktasının altındaki sıcaklıkları gösterir.

Deniz seviyesinden yükseldikçe sıcaklık değişimi de tam sayılarla ifade edilir. Her 200 metrede 1°C azalan sıcaklık, deniz seviyesinde -5°C iken 600 metre yüksekte $-5 - 3 = -8$°C olur.

Mutlak değer işlemlerinde sayının işareti değişir. Örneğin, $+13$-|-4|+|+2|-$-1$ işleminde |-4|=4 ve |+2|=2 olduğundan işlem $+13$-4+2-$-1$ = 13 - 4 + 2 + 1 = 12 olur.

Püf Nokta: Sıcaklık tahminlerinde hata paylarını hesaplarken, gerçek değerden yüksek veya düşük olma durumunu + ve - işaretleriyle belirtiriz. Tahmininiz gerçekten düşükse, gerçek değere ulaşmak için + işareti kullanırsınız.

Tam Sayılarla Modelleme ve Uygulama

Tam sayıları modellemek için sayı doğrusu ve sayma pullarını kullanabiliriz. Sayma pullarında + ve - pullar birbirini götürür. Örneğin 5 tane + pul ve 3 tane - pul, sonuçta 2 tane + pul anlamına gelir.

Bir toplama işlemini sayı doğrusunda gösterirken, ilk sayıdan başlanır ve ikinci sayı kadar ileri veya geri gidilir. Pozitif sayılar için sağa, negatif sayılar için sola hareket edilir.

Gerçek hayatta bir asansörle katlarda hareket etme problemi düşünelim: Bir apartman görevlisi başlangıçta bulunduğu kattan 4 kat yukarı çıkıp 3 kat aşağı inerse, +4-3=+1 kat değişim yapmış olur. Daha sonra 7 kat yukarı çıkarak binanın 13. katına ulaşırsa, başlangıç katı 13-8=5'tir.

Hatırlatma: Toplama işlemlerini modellerken, yönlere dikkat edin! Pozitif yön sağa, negatif yön sola doğrudur. Sayı doğrusunda gösterim, soyut işlemleri somutlaştırmanıza yardımcı olur.

Toplama İşleminin Özellikleri

Toplama işleminin önemli özellikleri işlemlerimizi kolaylaştırır. Bunlar değişme özelliği, birleşme özelliği, etkisiz eleman özelliği ve ters eleman özelliğidir. Bu özellikler, karmaşık işlemleri daha hızlı çözmenize yardımcı olur.

Bir sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının işaretinin değiştirilmesiyle bulunur. Yani +13 sayısının toplama işlemine göre tersi -13'tür. Eğer -13 sayısının 4 eksiğini soruyorsa, -13-4=-17 olur.

Eşitliklerde bilinmeyen değerleri bulurken bu özellikleri kullanabilirsiniz. Örneğin, $\Delta + (-3) + (-5) = (+6) + \square + (-5)$ ise, $\Delta = (+6) + \square$ olur. Eşitliğin her iki tarafında bulunan ortak terimler sadeleştirilir.

Önemli! Toplama işleminin etkisiz elemanı 0'dır. Yani herhangi bir sayıya 0 eklemek, sayının değerini değiştirmez. Bir sayı ile toplama işlemine göre tersinin toplamı her zaman 0'dır $a + (-a) = 0$.

Toplama İşleminin Özellikleri ve Uygulamaları

Toplama işleminin özellikleri işlemlerimizi kolaylaştırır:

• Değişme özelliği: a + b = b + a
• Birleşme özelliği: $a + b$ + c = a + $b + c$
• Etkisiz eleman özelliği: a + 0 = a
• Ters eleman özelliği: a + $-a$ = 0

-23 sayısının toplama işlemine göre tersi +23, +47 sayısının tersi ise -47'dir. Bu durumda X + Y = +23 + $-47$ = -24 olur.

Tam sayılarla ters eleman özelliği, bir sayı ile tersinin toplamının sıfır olmasını ifade eder. Örneğin, -1 + 1 = 0 veya 6 + $-6$ = 0. Balonlar arasında hangi çiftte sayıların toplamı 0 oluyorsa, orada ters eleman özelliği vardır.

Bunu dene: Toplama işleminin özellikleriyle ilgili bir örnek verin. Mesela $3 + 4$ + 5 = 3 + $4 + 5$ işlemi birleşme özelliğini gösterir. Siz de başka bir özellik için örnek yazın!

Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemleri

Tam sayılarla çarpma kurallarını hatırlayalım:

• İki sayının işareti aynıysa sonuç pozitiftir: (+) × (+) = (+) ve (-) × (-) = (+)
• İki sayının işareti farklıysa sonuç negatiftir: (+) × (-) = (-) ve (-) × (+) = (-)

Bölme işleminde de benzer kurallar geçerlidir. Örneğin, $-20$ : $+4$ = -5 ve $-17$ : $-1$ = +17 olur.

Tam sayılarda çarpma işleminin dağılma özelliği çok önemlidir: a × $b + c$ = a × b + a × c. Mesela 5 × $(-3) + 7$ = 5 × $-3$ + 5 × 7 = -15 + 35 = 20 olur.

Rakamları birbirinden farklı en küçük iki basamaklı tam sayı -98'dir. Rakamları birbirinden farklı iki basamaklı en küçük pozitif tam sayı ise 10'dur. Bunların çarpımı -98 × 10 = -980 olur.

Püf Nokta: Çarpma işleminde sayı çokluğunu, bölme işleminde ise paylaşımı düşünürseniz işaretleri karıştırmazsınız!

Tam Sayılarla Çarpma-Bölme ve Mutlak Değer

Tam sayılarda mutlak değer ile işlem yaparken, önce mutlak değerlerin içindeki ifadeleri hesaplayıp sonra mutlak değeri buluruz. Örneğin, |$-11$ - $-7$| - |10 : $-2$| = |$-11$ + 7| - |$-5$| = |$-4$| - 5 = 4 - 5 = -1 olur.

Bir sayının mutlak değerini biliyorsak, o sayı iki farklı değer alabilir. Örneğin, |A| = 5 ise A = 5 veya A = -5 olabilir. Benzer şekilde, |□| = 3 ise □ = 3 veya □ = -3 olabilir.

İki sayının çarpımı sabit verildiğinde, bu iki sayının toplamını hesaplarken farklı olasılıkları düşünmeliyiz. Eğer a × b = 12 ise, (a,b) çiftleri (1,12), (2,6), (3,4), $-1,-12$, $-2,-6$, $-3,-4$, (12,1), (6,2), (4,3), $-12,-1$, $-6,-2$, $-4,-3$ olabilir.

Dikkat: Bir işlem şemasında bitişik kutulardaki sayıların çarpımı üstteki kutuya yazılıyorsa, işlem sırası yukarı doğrudur. Bu tür şemaları çözerken, şemanın mantığını iyi anlamak önemlidir.

Tam Sayılarla İlgili Farklı Çözümler

İki sayının çarpımı sabit olduğunda, toplamlarının en küçük değerini bulmak için sayıların birbirine mümkün olduğunca yakın olması gerekir. Eğer m × n = 12 ise, m ve n değerleri -4 ve -3 olduğunda m + n = -7 olur ve bu en küçük toplamı verir.

Sayma pullarıyla modellenen çarpma işlemlerinde, pulların renkleri ve sayıları önemlidir. Örneğin, 3 tane negatif pul ile 2 tane pozitif pulun çarpımı, 3 × 2 tane negatif pul veya -6 anlamına gelir.

Aralıklardaki sayıların çarpımı sorulduğunda, sayıları tek tek çarpmanız gerekir. Örneğin, $-4$ ile $+3$ arasındaki tam sayılar -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3'tür ve bunların çarpımı 0'dır çünkü aralarında 0 vardır.

İpucu: İki kutunun değerleri çarpılarak üstteki kutuya yazılıyorsa, en üstteki değerden yola çıkarak alt kutuları bulabilirsiniz. Örneğin, üstte -20 varsa ve bir alt kutu -4 ise, diğer alt kutu 5 olmalıdır.