Rasyonel Sayıların Tanımı

Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılardır. Yani a bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere a/b biçiminde gösterilen sayılara rasyonel sayı denir.

Tüm tam sayılar aslında rasyonel sayıdır çünkü her tam sayıyı bir kesir olarak yazabiliriz. Örneğin:

• 7 = 7/1
• -5 = -5/1
• 0 = 0/1

Kesirler de rasyonel sayılardır. Pay ve paydası tam sayı olan tüm kesirler $2/7, 16/7, 5/4 gibi$ rasyonel sayı tanımına uygundur.

Bunu Biliyor muydun? Ondalık gösterimde yazdığımız sayılar da $2,2 = 22/10 veya -0,07 = -7/100 gibi$ aslında rasyonel sayıların farklı bir gösterim şeklidir!

Rasyonel Sayıların Özellikleri

Rasyonel sayılar, işaretlerine göre pozitif veya negatif olabilir. Eğer pay ve paydadaki tam sayıların ikisi de pozitifse, rasyonel sayı pozitiftir. Sayılardan herhangi biri negatifse, rasyonel sayı negatiftir.

Rasyonel sayıların sayı doğrusundaki yerlerini kolayca bulabilirsin. Örneğin, 3/5 rasyonel sayısı, 0 noktasından başlayarak 1 birimin 3/5'i kadar uzaklıktadır.

Rasyonel sayıları iki şekilde gösterebiliriz:

1. Devirsiz ondalık gösterim: Ondalık kısımda sonlu sayıda rakam vardır (0,12 gibi)
2. Devirli ondalık gösterim: Ondalık kısımda aynı rakamlar sürekli tekrarlanır 0,333... = 0,3̅ gibi

Bir ondalık sayıyı kesre çevirmek için:

• Ondalık gösterimi paydası 1 olan kesir olarak yaz
• Kesri, ondalık gösterimin basamak sayısı kadar 10 ile çarp
• Gerekirse sadeleştir

Dikkat! Devirli sayılarda tekrarlanan rakamların üzerine çizgi koyarak gösterilir: 0,333... = 0,3̅

Rasyonel Sayıları Karşılaştırma

Rasyonel sayıları karşılaştırırken farklı gösterimler varsa, önce hepsini aynı biçimde (kesir veya ondalık) yazmak işini kolaylaştırır.

Kesir şeklindeki rasyonel sayıları karşılaştırırken kullanabileceğin yöntemler:

• Paydaları eşitse: Payı büyük olan daha büyüktür (3/10 < 5/10)
• Payları eşitse: Paydası küçük olan daha büyüktür (5/10 < 5/4)
• Yarıma veya bütüne uzaklıklarını düşünerek: 5/10 sayısı yarımı ifade eder, 5/4 ise 1'den büyüktür

Negatif rasyonel sayılarda işin biraz değişir. Negatif sayılarda payı küçük olan rasyonel sayı diğerinden daha büyüktür. Örneğin, -3/2 < -6/5

İpucu: Karşılaştırma yaparken sayı doğrusu harika bir araçtır! Sayı doğrusunda sağda olan sayı her zaman daha büyüktür.

İki Rasyonel Sayı Arasında Başka Sayılar Bulma

İki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır. Bunu şöyle görebilirsin: İki rasyonel sayıyı paydalarını aynı yapacak şekilde genişlet, sonra bu iki sayı arasındaki farklı payları bularak yeni rasyonel sayılar elde edebilirsin.

Rasyonel Sayılarla İşlemler

Toplama İşlemi:

• Paydalar eşitse: Paylar toplanır, ortak payda aynen yazılır Örnek: 2/5 + (-6/5) = (2-6)/5 = -4/5
• Paydalar eşit değilse: Önce paydalar eşitlenir, sonra paylar toplanır Örnek: 2/7 + 5/2 = 4/14 + 35/14 = 39/14

Çıkarma İşlemi:

• Paydalar eşitse: Paylar çıkarılır, ortak payda aynen yazılır Örnek: 3/4 - 2/4 = (3-2)/4 = 1/4
• Paydalar eşit değilse: Önce paydalar eşitlenir, sonra paylar çıkarılır Örnek: 3/5 - 4/15 = 9/15 - 4/15 = 5/15 = 1/3

Bunu Dene: Toplama işleminin özellikleri vardır. Örneğin, yerleri değiştirsen de sonuç değişmez (2/5 + 1/9 = 1/9 + 2/5). Buna değişme özelliği denir.

Çarpma ve Bölme İşlemleri

Çarpma İşlemi: Rasyonel sayıları çarparken, paylar kendi aralarında, paydalar da kendi aralarında çarpılır:

• (2/3) × (4/7) = (2×4)/(3×7) = 8/21

Bölme İşlemi: Rasyonel sayılarda bölme işlemi, ikinci sayının çarpmaya göre tersi ile çarpma demektir:

• (2/7) ÷ (4/5) = (2/7) × (5/4) = 10/28 = 5/14

Rasyonel sayıların çarpımında ve bölümünde şu kurallar geçerlidir:

• İşaretleri aynı iki sayının çarpımı veya bölümü pozitiftir
• İşaretleri farklı iki sayının çarpımı veya bölümü negatiftir

Bir Rasyonel Sayının Karesi ve Küpü:

• Karesi: Sayının kendisiyle çarpımıdır → (2/3)² = (2/3) × (2/3) = 4/9
• Küpü: Sayının kendisiyle iki kere çarpımıdır → (-2/3)³ = (-2/3) × (-2/3) × (-2/3) = -8/27

Not: Pozitif sayıların karesi ve küpü her zaman pozitiftir. Negatif sayıların karesi pozitif, küpü ise negatiftir.

Çok Adımlı İşlemler

Çok adımlı işlemlerde işlem sırasına dikkat etmek çok önemlidir:

1. İlk önce parantez içindeki işlemler yapılır
2. İç içe parantezler varsa en içten başlanır
3. Kesir çizgisi kullanıldığında, pay ve paydadaki işlemler önce yapılır, sonra bölme işlemi yapılır

Örnek: 3/4 - $1/4 + (7/2 - 5/4)$ = 3/4 - $1/4 + (14/4 - 5/4)$ = 3/4 - $1/4 + 9/4$ = 3/4 - 10/4 = -7/4

Merdiven şeklinde kesir çizgisi içeren işlemlerde, işlemler en kısa kesir çizgisinden en uzun kesir çizgisine doğru yapılır:

3 + 9/$1+8/(5-1/x)$ = 6 ifadesinde x'i bulurken geriye doğru düşünürüz:

• 3 ile hangi sayının toplamı 6 eder? 3
• 9'u hangi sayıya bölersek 3 eder? 3
• 1 ile hangi sayının toplamı 3 eder? 2
• 8'i hangi sayıya bölersek 2 eder? 4
• 5'ten hangi sayıyı çıkarırsak 4 eder? 1
• 1/x = 1 olduğundan x = 1 buluruz.

İşlem Hatası Yapma: Karmaşık işlemlerde her adımı teker teker yaz. Acele etme ve hesaplamaları kontrol et!

Rasyonel Sayılarla Problem Çözme

Bir problemi çözerken izlemen gereken adımlar:

1. Problemi Anlama: Verilenleri ve istenenleri belirle
2. Plan Yapma: Verilenleri kullanarak çözüm yolunu adım adım planla
3. Planı Uygulama: İşlemleri dikkatle yap
4. Çözümü Kontrol Etme: Farklı bir yoldan çözerek veya geriye doğru işlemler yaparak kontrol et

Örnek Problem: 640 metrelik bir koşu parkurunda Başak, parkurun 3/8'inde bir sakatlık yaşıyor. Daha sonra parkurun 3/16'sını daha koşup yarışı bırakıyor. Başak, yarışın bitmesine kaç metre kala yarışı bırakmıştır?

Plan:

1. Başak'ın toplam koştuğu mesafeyi bul: 3/8 + 3/16 = 6/16 + 3/16 = 9/16
2. Bu kesir cinsinden mesafeyi metreye çevir: 640 × 9/16 = 360 metre
3. Toplam parkurdan koşulan kısmı çıkar: 640 - 360 = 280 metre

Cevap: Başak, yarışın bitmesine 280 metre kala yarışı bırakmıştır.

Püf Noktası: Problem çözerken her adımı açıkça yazman, hem işlem hatalarını azaltır hem de çözüm yolunu daha net görürsün.