Çarpanlar ve Asal Sayılar

Bir sayının çarpanları (bölenlerini), o sayıyı tam olarak bölen tüm pozitif sayılardır. 12 sayısını düşün - onu 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 ile bölebilirsin. İşte bunlar 12'nin çarpanları!

Asal sayılar sadece 1 ve kendisiyle bölünebilen özel sayılardır. 2, 3, 5, 7, 11 gibi. En küçük asal sayı 2'dir ve 2'den başka çift asal sayı yoktur çünkü diğer bütün çift sayılar 2'ye bölünür.

Bir sayının asal çarpanlarına ayırması için çarpan ağacı ya da algoritma kullanabilirsin. Mesela 20 = 2² × 5 şeklinde. Bu yöntem sayıları daha kolay anlamamızı sağlar.

İpucu: 1 sayısı her pozitif tam sayının çarpanıdır ama kendisi asal sayı değildir!

Asal Çarpanlara Ayırma Teknikleri

Çarpan ağacı yöntemiyle sayıyı dallandırarak asal çarpanlarına ayırabilirsin. 20'yi ele alırsan: 20 → 4×5 → 2×2×5 = 2²×5 elde edersin.

Asal çarpan algoritması daha sistematik bir yol. Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölersin: 40'ı 2'ye böl, 20 çıkar; 20'yi 2'ye böl, 10 çıkar; böyle devam et. Sonunda 40 = 2³×5 bulursun.

Bir sayının çarpan sayısını bulmak için asal çarpanlarındaki üsleri 1 artırıp çarp. 36 = 2²×3² için (2+1)×(2+1) = 9 çarpan var demektir.

Pratik: Asal çarpanlar algoritması büyük sayılarda çok işine yarayacak!

Çarpanlar Konu Testi - 1

Bu test sorularında 96, 910, 216 gibi sayıların çarpanlarını ve asal çarpanlarını bulman gerekiyor. Çarpan ağacı ve algoritma yöntemlerini kullanarak çözebilirsin.

18 sayısının pozitif çarpanları {1, 2, 3, 6, 9, 18} olduğundan bunların toplamı 39'dur. Bu tür hesaplamalarda sistematik olmak önemli.

Asal çarpanlara ayırma sorularında dikkat et: 54 = 2×3³, 300 = 2²×3×5² gibi. Üslü ifadelerdeki katsayıları doğru yazmak kritik.

Test stratejisi: Önce asal çarpanlara ayır, sonra istenen işlemi yap!

İleri Düzey Çarpan Problemleri

1500 = 2ᵃ×3ᵇ×5ᶜ türü sorularda sayıyı asal çarpanlarına ayırarak üsleri bul. 1500 = 2²×3×5³ olduğundan a+b+c = 2+1+3 = 6'dır.

720 sayısını asal çarpanlarına ayırdığında 720 = 2⁴×3²×5¹ elde edersin. Bu bilgiyle a, b, c değerlerinin özelliklerini kontrol edebilirsin.

En küçük sayı problemlerinde x³×y¹×z² formunda en küçük değerleri al: x=2, y=3, z=5 için 2³×3×5² = 8×3×25 = 600 bulursun.

Püf noktası: Asal çarpanlara ayırma her zaman ilk adımın olsun!

EBOB ve EKOK Temelleri

EBOB (En Büyük Ortak Bölen) iki sayının ortak çarpanlarının en büyüğüdür. EKOK (En Küçük Ortak Kat) ise ortak katlarının en küçüğüdür.

Algoritma yöntemiyle kolay hesaplayabilirsin: Sayıları birlikte asal çarpanlarına ayır. EBOB için sadece ortak çarpanları çarp. EKOK için tüm çarpanları çarp.

16 ve 24 için: EBOB(16,24) = 8, EKOK(16,24) = 48. Birbirinin katı olan sayılarda EBOB küçük sayıya, EKOK büyük sayıya eşittir.

Önemli formül: İki sayının çarpımı = EBOB × EKOK

EBOB ve EKOK İleri Teknikleri

Asal çarpanlarından EBOB bulma: Aynı tabanlı çarpanlarda küçük üssü al. A=2³×3×5², B=2²×3²×7 için EBOB(A,B) = 2²×3.

EKOK bulma için aynı tabanlı çarpanlarda büyük üssü al, farklı tabanları da ekle. Yukarıdaki örnek için EKOK(A,B) = 2³×3²×5²×7.

A×B = EBOB×EKOK formülü çok işine yarayacak. EBOB(A,B)=3, EKOK(A,B)=30 ise A×B=90'dır.

Akıllı yaklaşım: EBOB×EKOK formülüyle bilinmeyen sayıları bulabilirsin!

EBOB Problemleri

EBOB problemleri bütünü parçalara ayırma ile ilgilidir. "Eşit parçalar", "eşit uzunluklar", "eşit ağırlıklar" görürsen EBOB kullan!

72 litre ve 80 litre yağı eşit hacimli şişelere doldurmak için EBOB(72,80) = 8 bul. Her şişe 8 litre olur, toplam 72/8 + 80/8 = 19 şişe gerekir.

Dikdörtgen bahçe problemlerinde çevre uzunluğunu EBOB'a böl. 18m×30m bahçede EBOB(18,30) = 6m aralıklarla ağaç dikersen çevre 96m, 96/6 = 16 ağaç gerekir.

Problem çözme ipucu: "Eşit" kelimesi görürsen hemen EBOB'u düşün!

EKOK Problemleri

EKOK problemleri parçaları birleştirip bütün oluşturma ile ilgilidir. Zaman, gruplama, sıralama sorularında EKOK kullan!

6 ve 8'e tam bölünen en küçük üç basamaklı sayı için EKOK(6,8) = 24 bul. En küçük üç basamaklı kat: 24×5 = 120.

Nöbet problemi: 4 günde bir ve 5 günde bir nöbet tutanlar EKOK(4,5) = 20 gün sonra tekrar birlikte nöbet tutarlar.

Bilye gruplama: 7'şerli grupta 3 artan, 9'arlı grupta 5 artan sayı için 7k+3 = 9m+5 eşitliğini çöz. EKOK(7,9) = 63 kullanarak en küçük değeri bul.

Zaman hesapları: Saat, gün, ay içeren problemlerde mutlaka EKOK kullan!

EBOB ve EKOK Konu Testi - 1

48 ve 72'nin EBOB'u için asal çarpanlarına ayır: 48 = 2⁴×3, 72 = 2³×3². Ortak çarpanlardan küçük üssü al: EBOB = 2³×3 = 24.

EKOK 120 olan iki sayının toplamının en küçük değeri için faktörlerini bul. 120 = 2³×3×5 olduğundan mümkün çiftleri dene: (8,15) toplamı 23.

Algoritma tablosu sorularında harflerin değerlerini bul. A ve B'yi algoritmaya sok, ortak çarpanları işaretle ve EBOB'u hesapla.

Test taktiği: Önce asal çarpanları bul, sonra EBOB/EKOK kurallarını uygula!

EBOB ve EKOK Konu Testi - 2

Kalan problemi: 4'erli ve 6'şarlı sayıldığında 3 artan sayı için EKOK(4,6) = 12 bul. 12k+3 formundaki 400'den büyük en küçük sayı: 12×34+3 = 411.

Zil problemi: 36 ve 45 dakikada çalan ziller EKOK(36,45) = 180 dakika = 3 saat sonra birlikte çalar. 07:30 + 3:00 = 10:30.

Döşeme problemi: 540×780 cm salon için EBOB(540,780) = 60 cm kenar uzunluklu kareler kullan. Salon alanı ÷ kare alanı = (540×780) ÷ (60×60) = 117 kare gerekir.

Gerçek hayat: Bu problemler günlük hayatta karşılaşacağın durumlarla aynı!