LGS Matematik Ders Notları

8. sınıf LGS hazırlık notlarına hoş geldin! Bu özette İşleyen Zeka, Son Viraj ve Beyin Takımı Yayınları'nın katkılarıyla hazırlanmış matematik konu anlatımlarını bulacaksın.

Bu notlar, LGS'de karşına çıkacak soruları kolayca çözebilmen için gereken tüm temel bilgileri içeriyor. Evde kaldığın bu günlerde matematik çalışmalarını daha verimli hale getirebilirsin.

İpucu: Bu notları günlük tekrarlarla pekiştirirsen, LGS'de matematikten yüksek puan alman çok daha kolay olacak!

Çarpanlar ve Katlar Konu Anlatımı

Çarpanlar ve Katlar, LGS'nin en temel ve önemli konularından biridir. Bu bölümde EBOB, EKOK, asal çarpanlar gibi temel kavramları öğreneceksin.

Konuyu iyi anlarsan, hem LGS'de soruları doğru çözebilir hem de sonraki yıllarda göreceğin matematik konularında sağlam bir temel oluşturabilirsin.

Şimdi önce pozitif tam sayıların çarpanlarını, sonra EBOB-EKOK kavramlarını ve en son aralarında asal sayıları inceleyeceğiz.

Unutma: Çarpanlar ve katlar konusu, günlük hayattaki pek çok problemin çözümünde de kullanılır!

Pozitif Tam Sayıların Çarpanları

Bir çarpma işleminde çarpılan sayıların her birine çarpan denir. Pozitif tam sayıların çarpanlarını bulmak için iki farklı yöntem kullanabiliriz.

1. Çarpan Ağacı Yöntemi: Sayıyı asal sayılarla bölerek faktörlerine ayırırız. Örneğin, 96 sayısını çarpan ağacıyla şöyle yazabiliriz:

96 → 2×48 → 2×2×24 → 2×2×2×12 → 2×2×2×2×6 → 2×2×2×2×2×3 = 2⁵×3

2. Asal Çarpanlar Algoritması: Sayıyı bölünebildiği en küçük asal sayıya böleriz ve işlemi tekrarlarız.

96 ÷ 2 = 48
48 ÷ 2 = 24
24 ÷ 2 = 12
12 ÷ 2 = 6
6 ÷ 2 = 3
3 ÷ 3 = 1

Sonuç: 96 = 2⁵×3

Önemli Not: 24 sayısının pozitif tam sayı çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür. Bir sayının çarpanlarını listelerken tüm pozitif bölenleri yazmalısın!

Pozitif Tam Sayıların Çarpanları Örnek Soru

LGS'de karşına çıkabilecek soru tiplerini iyi bilmelisin:

1. Birinci tip sorularda bir sayının asal çarpanlara ayrılmış halini yazman gerekir. Bölme algoritması veya çarpan ağacı kullanabilirsin.

2. İkinci tip sorularda bir sayının tüm pozitif çarpanlarını bulman istenir.

LGS 2018 Örnek Soru: Alanları 21 m², 14 m², 24 m², 10 m² ve 35 m² olan dikdörtgen şeklinde bölümlere ayrılmış bir kat planı verilmiştir. Dikdörtgenlerin kenar uzunlukları metre cinsinden doğal sayı olduğuna göre, alan verilmeyen bölümlerin alanları toplamı en az kaçtır?

Çözüm: Alanları verilen dikdörtgenlerin kenar uzunluklarını bulalım:

• 21 m² = 3×7 m²
• 14 m² = 2×7 m²
• 24 m² = 3×8 m²
• 10 m² = 2×5 m²
• 35 m² = 5×7 m²

Alan verilmeyen dikdörtgenlerin alanları:

• A bölümü: 7×7 = 49 m²
• B bölümü: 5×3 = 15 m²

Toplam: 49 + 15 = 64 m²

Problem Çözme Taktiği: Alan problemlerinde, dikdörtgenlerin kenar uzunluklarını bulurken o sayının çarpanlarını düşünmelisin!

EBOB - EKOK

EBOB: İki doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne en büyük ortak bölen denir.

EKOK: İki doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne en küçük ortak kat denir.

EBOB ve EKOK hesaplarken asal çarpanlar algoritmasından yararlanabiliriz:

EBOB Örneği: 28 ve 42 sayılarının EBOB'unu bulalım.

28 = 2²×7
42 = 2×3×7

Ortak asal çarpanlardan (2 ve 7) kuvveti küçük olanların çarpımı: EBOB(28, 42) = 2×7 = 14

EKOK Örneği: 20 ve 24 sayılarının EKOK'unu bulalım.

20 = 2²×5
24 = 2³×3

Ortak asal çarpanlardan (2) kuvveti büyük olanlar ile ortak olmayanların (3 ve 5) çarpımı: EKOK(20, 24) = 2³×3×5 = 120

Ne zaman ne kullanılır? Bir problemde bütün daha küçük parçalara ayrılıyorsa EBOB, parçalardan bütün oluşturuluyorsa EKOK kullanılır!

EBOB - EKOK Örnek

LGS'de bu konuyla ilgili iki tip soru çıkabilir:

1. Doğrudan EBOB veya EKOK hesaplama
2. EBOB-EKOK problemi çözme

LGS 2019 Örnek Soru: Alanları sırasıyla 35 cm², 77 cm² ve 110 cm² olan dikdörtgen şeklindeki kartonlardan ikisi seçilip 3 cm'lik kısımları üst üste yapıştırılarak yeni bir dikdörtgen oluşturulacaktır. Bu şekilde oluşturulan kartonun bir yüzünün alanı en fazla kaç santimetrekaredir?

Çözüm: Öncelikle kartonların kenar uzunluklarını bulalım:

• 35 cm² = 5×7 cm²
• 77 cm² = 7×11 cm²
• 110 cm² = 10×11 cm²

Kartonları üst üste koyduğumuzda oluşacak dikdörtgenin alanı en fazla olması için:

• 7 cm ve 11 cm kenarına sahip ikinci karton ile
• 11 cm ve 10 cm kenarına sahip üçüncü kartonu seçmeliyiz

Oluşan yeni dikdörtgenin boyutları:

• 11 cm (ortak kenar)
• $7+10-3$ = 14 cm

Alanı: 11×14 = 154 cm²

Püf nokta: EBOB-EKOK problemlerini çözerken şekil çizmek sana büyük kolaylık sağlar!

Aralarında Asal Sayılar

Ortak böleni sadece 1 olan iki pozitif tam sayıya aralarında asal sayılar denir.

Örnek: 25 ve 32 sayıları aralarında asaldır.

• 25'in bölenleri: 1, 5, 25
• 32'nin bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Ortak bölenleri sadece 1 olduğundan aralarında asaldırlar.

Örnek: 18 ve 42 aralarında asal değildir.

• 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• 42'nin bölenleri: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Ortak bölenleri 1, 2, 3, 6 olduğundan aralarında asal değillerdir.

Aralarında asal sayılar için önemli özellikler:

• Aralarında asal sayıların EBOB'u 1'dir
• Aralarında asal sayıların çarpımı, bu sayıların EKOK'una eşittir
• Farklı iki asal sayı, aralarında asaldır
• 1 ile tüm pozitif tam sayılar aralarında asaldır
• Ardışık iki pozitif tam sayı aralarında asaldır
• Ardışık iki tek sayı aralarında asaldır
• Çift sayılar aralarında asal değildir

Kolay hatırlama: "Aralarında asal" demek "ortak çarpanları yok" demektir!

Aralarında Asal Sayılar Örnekler

İki sayının aralarında asal olup olmadığını nasıl belirleyeceğini bilmen çok önemli! Bunun için iki yöntem kullanabilirsin:

1. İki sayıyı asal çarpanlarına ayırıp ortak asal çarpan olup olmadığını kontrol et.
2. Her iki sayının da bölünebildiği bir sayı ara. Bulursan, sayılar aralarında asal değildir.

Unutma:

• Ardışık sayılar daima aralarında asaldır (3 ile 4, 17 ile 18 gibi)
• Ardışık tek sayılar daima aralarında asaldır
• Ardışık çift sayılar aralarında asal değildir
• A ile B aralarında asal ise EBOB(A, B) = 1 ve EKOK(A, B) = A×B'dir

2017-2018 Örnek Soru: 6A ve B8 iki basamaklı sayılardır. 6 ile A aralarında asaldır. B ile 8 aralarında asaldır. 6A sayısı B8 sayısından küçüktür. Bu şartları sağlayan kaç farklı A+B değeri vardır?

Çözüm:

• 6 ile aralarında asal olan A değerleri: 1, 5, 7
• 8 ile aralarında asal olan B değerleri: 1, 3, 5, 7, 9
• 6A < B8 şartını sağlayan (A, B) ikililerini bulalım:
  • A=1 için: B=7 veya B=9
  • A=5 için: B=7 veya B=9
  • A=7 için: B=7 veya B=9

Bu durumda A+B değerleri: 8, 10, 12, 14, 14, 16 olup, farklı değerler: 8, 10, 12, 14, 16 olmak üzere 5 tanedir.

Önemli taktik: Farklı durumlara ait listeler oluştururken sistematik ilerlemeyi unutma!

Üslü İfadeler Konu Anlatımı

LGS'de başarılı olmak için üslü ifadeleri çok iyi anlamalısın! Bu konuda temel kavramları öğrenecek, işlemleri kolaylaştıran kuralları göreceksin.

Üslü ifadeler, özellikle sayıları daha kısa göstermek ve büyük sayılarla işlem yapmak için kullanılır. Mesela 1.000.000 sayısını 10⁶ şeklinde yazabilirsin.

Bu konu, ilerleyen yıllarda göreceğin matematik konuları için de çok önemlidir. Üslü ifadeler olmadan logaritma, türev gibi konuları anlamak çok zordur.

Motivasyon: Üslü ifadeleri iyi anlarsan, LGS'de hem zaman kazanır hem de hata yapma riskin azalır!

Tam Sayıların Kuvvetleri

Üslü ifade, bir sayının kendisi ile belirli sayıda çarpımını kısaca gösterir. Şu şekilde yazılır: aⁿ

aⁿ = a×a×a×...×a (n tane a)

Üslü ifadede:

• a → taban
• n → kuvvet (üs)

Örnekler:

• 2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32
• 5² = 5×5 = 25
• 3⁴ = 3×3×3×3 = 81

Üslü ifadelerde önemli kurallar:

• Taban 1 olan üslü ifadelerin değeri 1'dir: 1⁸ = 1
• Her sayının birinci kuvveti kendisidir: 5¹ = 5
• Taban 0 ve kuvveti pozitif olan üslü ifadelerin değeri 0'dır: 0⁴ = 0 (0⁰ tanımsızdır)
• Kuvveti 0 olan üslü ifadelerin değeri 1'dir: 10⁰ = 1 (0⁰ hariç)
• Negatif kuvvetli ifadeler kesirli sayılardır: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8

Püf nokta: $-2$³ ≠ -2³ ifadelerinin farklı olduğunu unutma! $-2$³ = -8 iken, -2³ = -(2³) = -8'dir. Ancak $-2$⁴ = 16 ve -2⁴ = -16'dır!